確率論的論理

確率論理（確率論理、確率推論とも呼ばれる）では、確率と論理を使用して不確実な状況に対処します。確率論理は、従来の論理の真理値表を確率表現で拡張します。確率論理の難しさは、確率要素と論理要素の計算の複雑さが増す傾向があることです。その他の難しさには、デンプスター-シェーファー理論における信念融合の場合のように、直観に反する結果が生じる可能性も含まれます。主観論理で定義されるような、情報源の信頼性と確率に関する認識論的不確実性も、考慮すべき追加要素です。多種多様なコンテキストと問題に対処する必要性から、さまざまな提案がなされています。

確率論理には数多くの提案があります。大まかに言えば、それらは 2 つの異なるクラスに分類できます。マルコフ論理ネットワークなどの論理的含意に確率的拡張を試みる論理と、不確実性や証拠の欠如の問題に対処しようとする論理 (証拠論理) です。

確率の概念が異なる意味を持つ可能性があることは、啓蒙時代に確率が数学化されたにもかかわらず、数学的確率論が今日に至るまで、犯罪容疑者の有罪の「確率」を評価する際に刑事法廷でまったく使われていないことに注目することで理解できるだろう。^[1]

もっと正確に言えば、証拠論理では、陳述の客観的な真実性と、その陳述の真実性に関するわれわれの判断を区別する必要があり、その判断は、その陳述の真実性に対するわれわれの確信と区別されなければならない。したがって、容疑者の実際の有罪は、必ずしも裁判官の有罪の判断と同じではない。また、それは、犯罪の実行に数値的な確率を割り当て、それが有罪の数値的な閾値を超えているかどうかを判断することと同じではない。コインを投げて表か裏かが不確実性をもって予測されるのと同じように、容疑者 1 人に対する評決は、不確実性をもって有罪か無罪かになる可能性がある。容疑者の大集団がいれば、ある割合が有罪になる可能性がある。これは、表が出る確率が半分であるのと同じである。しかし、平均の法則を一人の犯罪者（またはコイン投げ一回）に関して解釈するのは間違いです。犯罪者が「少し有罪」なのは、コイン投げ一回で「少し表、少し裏」が出ると予測するのと同じで、どちらが出るかは不確かであるだけです。不確実性を数値確率として表現することは、物理量の科学的測定を行う際には許容されるかもしれませんが、それは「常識」的な推論と論理の文脈で私たちが認識する不確実性の数学的モデルにすぎません。法廷での推論と同様に、不確実な推論を採用する目的は、何らかの確率的含意を実行するのではなく、命題の信頼性を強化するための証拠を集めることです。

歴史的に、確率的推論を定量化する試みは古代にまで遡る。特に12世紀にスコラ学者の研究によって始まった、半証明の発明（有罪を証明するのに半証明が2つあれば十分である）、道徳的確実性の解明（行動するには十分な確実性だが絶対的確実性には及ばない）、カトリック確率論の発展（確立された教義の規則や専門家の意見には、たとえ蓋然性が低くても従うのが常に安全であるという考え）、事例に基づく推論である詭弁学、そしてラキシズムのスキャンダル（これにより、確率論はほとんどあらゆる発言を裏付けるために使用され、ほとんどあらゆる命題を裏付ける専門家の意見を見つけることが可能になった）などから、特に強い関心が寄せられていた。^[1]

以下は、古典論理と述語論理への確率的および証拠的拡張の提案のリストです。

• 「確率論理」という用語は、ジョン・フォン・ノイマンが1952年と1956年のカリフォルニア工科大学の一連の講義で発表した論文「確率論理と信頼できない構成要素からの信頼できる生物の合成」で初めて使用され、その後、1986年に出版されたニルス・ニルソンの論文で、文の真理値は確率であるとして使用された。^[2]提案された意味論的一般化は確率的論理的含意を誘導し、これはすべての文の確率が0または1のときに通常の論理的含意に還元される。この一般化は、有限の文の集合の一貫性を確立できる任意の論理システムに適用できる。
• 主観論理理論^[3]の中心概念は、与えられた論理文に含まれる命題変数のいくつかについての意見である。二項意見は単一の命題に適用され、命題の真実性に関する確率的および認識論的不確実性を表現するために、単一の確率値の 3 次元拡張として表される。議論意見の構造に基づく派生意見の計算のために、理論では、意見の乗算 ( AND )、共乗算 ( OR )、除算 ( UN-AND )、共除算 ( UN-OR )、^[4]条件付き演繹 ( MP )、および帰納的帰納 ( MT )、^{[5] 、ならびに}ベイズの定理など、さまざまな論理接続詞のそれぞれの演算子を提案している。^[6]
• ファジー論理によって提案された近似推論形式論は、モデルが確率分布であり、理論が下側エンベロープである論理を得るために使用できます。^[7]このような論理では、利用可能な情報の一貫性の問題は、部分的な確率的割り当ての一貫性の問題と厳密に関連しており、したがって、オランダの本の現象と関連しています。
• マルコフ論理ネットワークは、最大エントロピー原理(マルコフ連鎖が有限状態マシンの遷移に確率を割り当てる方法と同様に、エントロピーを最大化するように確率を割り当てる必要があるという考え方) に基づく不確実な推論の形式を実装します。
• Ben Goertzelの確率論理ネットワーク(PLN)などのシステムは、明示的な信頼度ランキングと、原子および文の確率を追加します。演繹と帰納の規則にはこの不確実性が組み込まれているため、純粋にベイジアンな論理アプローチ (マルコフ論理を含む) の難しさを回避し、デンプスター-シェーファー理論のパラドックスも回避できます。PLN の実装では、これらの拡張に従って、論理プログラミングのアルゴリズムを使用し、一般化しようとします。
• 確率論的議論の分野では、さまざまな形式的枠組みが提唱されている。例えば、「確率的ラベリング」 ^{[8]の枠組みは、確率空間を指し、標本空間は}議論グラフのラベリングの集合である。「確率論的議論システム」 ^{[9] [10]}の枠組みでは、確率は議論や論理文に直接結び付けられるわけではない。その代わりに、文に含まれる変数の特定のサブセットが、対応する部分σ-代数上の確率空間を定義すると仮定される。これにより、 に関して 2 つの異なる確率測度が誘導され、それぞれ支持度と可能性度と呼ばれる。支持度は、証明可能性 の非加法的な確率と見なすことができ、これは通常の論理的含意( の場合) と古典的な事後確率( の場合)の概念を一般化する。数学的には、この見解はデンプスター・シェーファー理論と互換性がある。${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\{\}}$${\displaystyle V=W}$
• 証拠推論の理論^[11]では、確率の非加法的な確率（または認識論的確率）も、論理的含意（証明可能性）と確率の両方の一般的な概念として定義されています。その考え方は、合理的なエージェントが世界について持っている知識の状態を表す認識論的演算子Kを考慮することで、標準的な命題論理を拡張することです。確率は、すべての命題文pの結果として得られる認識宇宙K pに対して定義され、これが分析者が利用できる最良の情報であると主張されています。この観点から、デンプスター-シェーファー理論は確率的推論の一般化された形式であると思われます。

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• Progicnet: 確率的論理と確率的ネットワーク
• 主観的論理のデモンストレーション
• 不正確な確率に関する学会