キャンセルプロパティ

数学において、消去可能性（または消去性）の概念は、逆元に依存しない可逆性の概念の一般化である。

要素 ${\displaystyle a}$マグマ の中で${\displaystyle (M,*)}$すべての に対して であれば、 は左キャンセル特性（または左キャンセル性） を持つ。${\displaystyle b}$ そして ${\displaystyle c}$ で ${\displaystyle M}$、${\displaystyle a*b=a*c}$常に意味する ${\displaystyle b=c}$。

要素 ${\displaystyle a}$ マグマの中で${\displaystyle (M,*)}$すべての に対して であれば、 は右キャンセル性を持つ（または右キャンセル可能である）。 ${\displaystyle b}$ そして ${\displaystyle c}$ で ${\displaystyle M}$、${\displaystyle b*a=c*a}$常に意味する ${\displaystyle b=c}$。

要素 ${\displaystyle a}$ マグマの中で${\displaystyle (M,*)}$左右両方で相殺できる場合、その関数は両側相殺特性（または相殺性）を持つ。

マグマ${\displaystyle (M,*)}$すべての ${\displaystyle a}$ マグマ中のものは左巻きであり、右巻きまたは両側巻きの性質についても同様の定義が適用される。

半群において、左可逆元は左消去可能であり、右および両側についても同様である。$\displaystyle a^{-1}}$は左逆です ${\displaystyle a}$、 それから${\displaystyle a*b=a*c}$暗示する${\displaystyle a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)}$これは、 ${\displaystyle b=c}$ 連想性によって。

例えば、すべての準群、したがってすべての群は消去可能である。

要素が${\textstyle a}$マグマの中で${\displaystyle (M,*)}$左キャンセル可能であるということは、関数が${\displaystyle g:x\mapsto a*x}$は単射である${\displaystyle x}$また、${\displaystyle M}$[ ^{1 ]}関数 ^​${\displaystyle g}$ 単射であるということは、ある形式の等式が与えられたときに、${\displaystyle a*x=b}$唯一の未知数は ${\displaystyle x}$可能な値は 1 つだけです ${\displaystyle x}$ 等式を満たす。より正確には、ある関数を定義することができる。 ${\displaystyle f}$の逆 ${\displaystyle g}$、すべてのに対して ${\displaystyle x}$、${\displaystyle f(g(x))=f(a*x)=x}$言い換えれば、すべての ${\displaystyle x}$ そしてyは ${\displaystyle M}$、 もし${\displaystyle a*x=a*y}$、 それから ${\displaystyle x=y}$[ ^{2 ]​}

同様に、要素 ${\displaystyle a}$ 右消去可能とは、関数が${\displaystyle h:x\mapsto x*a}$は単射であり、すべてのに対して ${\displaystyle x}$ そしてyは ${\displaystyle M}$、 もし${\displaystyle x*a=y*a}$、 それから ${\displaystyle x=y}$。

正の整数（すべて非負の整数）は加法に関して消去可能な半群を形成する。非負の整数は加法に関して消去可能なモノイドを形成する。これらはそれぞれ、準群ではない消去可能なマグマの例である。

任意の自由半群またはモノイドは消去法則に従い、一般に、群に埋め込まれる任意の半群またはモノイド（上記の例が明らかにそうであるように）は消去法則に従います。

別の観点から言えば、環の要素のうち零因子でない要素の乗法半群（問題の環が整数などの定義域である場合は、零でない要素の集合）の部分半群は、消去性質を持つ。これは、問題の環が非可換環や非単位元環であっても成り立つ。

整数、実数、複素数の加算と減算には相殺性質が成り立つが、ゼロによる乗算の例外のため乗算には成り立たない。吸収要素（例えば、${\displaystyle 0}$)

整数と実数は乗算で消去されないが、${\displaystyle 0}$それらはそれぞれ乗法において消去構造を形成する。

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