全単射、単射、全射

数学において、単射、全射、全単射は、引数（定義域からの入力式）と像（値域からの出力式）が互いにどのように関連付けられているか、または写像されているかによって区別される関数のクラスである。

関数は、定義域の要素を値域の要素にマッピングします。${\displaystyle f\colon X\to Y}$:

• 関数は、終域の各要素が終域の要素のうち最大で１つに写像される場合、または同等に、終域の異なる要素が終域の異なる要素に写像される場合、単射または一対一である。単射関数は、射影とも呼ばれる。^{[ 1 ]}表記法:

${\displaystyle \forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',}$

または、同等に（論理的転置を用いて）、

${\displaystyle \forall x,x'\in X,x\neq x'\implies f(x)\neq f(x').}$^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• 関数は、終域の各要素が定義域の少なくとも１つの要素によって写像される場合、すなわち、関数の像と終域が等しい場合に、全射または上写像である。全射関数は全射である。^{[ 1 ]}表記法:

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X,y=f(x).}$^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• 関数は、終域の各要素が終域のちょうど1 つの要素に写像される場合、つまり関数が単射かつ全射である場合、全単射( 1 対 1 かつ全射、 1対 1 対応、または可逆) である。全単射関数は全単射とも呼ばれる。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}つまり、単射と全射の定義を組み合わせると、

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists !x\in X,y=f(x),}$

どこ${\displaystyle \exists !x}$「xがちょうど1つ存在する 」という意味です。

• いずれの場合も（どの関数についても）、以下のことが成り立つ。

${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y,y=f(x).}$

単射関数は必ずしも全射である必要はなく（値域のすべての要素が引数に関連付けられるとは限らない）、全射関数も必ずしも単射である必要はなく（一部の像は複数の引数に関連付けられる場合がある）。単射性と全射性の組み合わせは、隣接する図に示されているとおりである。

関数は、値域の可能な各要素が最大で 1 つの引数によって写像される場合、単射（1 対 1 ）である。言い換えれば、関数は、異なる引数を異なる像に写像する場合、単射である。単射関数は単射である。^{[ 1 ]}正式な定義は次のとおりである。

機能${\displaystyle f\colon X\to Y}$すべての に対して であれば、 は単射である。${\displaystyle x,x'\in X}$、${\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.}$^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

注射に関する事実をいくつかご紹介します。

• 関数${\displaystyle f\colon X\to Y}$単射であるのは、${\displaystyle X}$空であるか、${\displaystyle f}$左可逆関数が存在する。つまり、関数が存在する。${\displaystyle g\colon f(X)\to X}$そのため${\displaystyle g\circ f=}$X上の恒等関数。ここで、${\displaystyle f(X)}$は${\displaystyle f}$。
• すべての関数は、その終域を像に制限すると全射となるため、すべての単射は像への全単射を誘導する。より正確には、すべての単射は${\displaystyle f\colon X\to Y}$は、次のように全単射とそれに続く包含関係として因数分解できます。${\displaystyle f_{R}\colon X\rightarrow f(X)}$なれ${\displaystyle f}$終域をその像に制限し、${\displaystyle i\colon f(X)\to Y}$包含マップは${\displaystyle f(X)}$の中へ${\displaystyle Y}$。 それから${\displaystyle f=i\circ f_{R}}$以下に全射の双対因数分解を示す。
• 2つの注射剤の組成は再び注射剤ですが、${\displaystyle g\circ f}$が単射である場合、次の結論しか得られない。${\displaystyle f}$単射である（図を参照）。
• すべての埋め込みは単射である。

関数は、終域の各要素が定義域の少なくとも 1 つの要素によって写像される場合、全射または全射である。言い換えれば、終域の各要素は空でない原像を持つ。同様に、関数の像が終域と等しい場合、関数は全射である。全射関数は全射である。^{[ 1 ]}正式な定義は次のとおりである。

機能${\displaystyle f\colon X\to Y}$すべての に対して であれば、 は全射である。${\displaystyle y\in Y}$、 がある${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle f(x)=y.}$^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

全射に関する事実をいくつか挙げます。

• 関数${\displaystyle f\colon X\to Y}$関数が全射であるのは、それが右可逆である場合に限る。つまり、関数が存在する場合に限る。${\displaystyle g\colon Y\to X}$そのため${\displaystyle f\circ g=}$恒等関数${\displaystyle Y}$（この記述は選択公理と同等である。）
• 与えられた固定画像に写像されるすべての引数を縮約することにより、すべての射影は、その定義域の商集合からその値域への全単射を誘導します。より正確には、関数が与えられた場合、${\displaystyle f}$定義域上で同値関係を定義する${\displaystyle f}$xとyが等価であるのは、それらが同じ像を持つ場合に限る。${\displaystyle f}$すると、この関係の同値類は、以下の逆像となる。${\displaystyle f}$画像の要素の${\displaystyle f}$これらの同値類の要素はすべて、${\displaystyle f}$同じ終域要素上で、この同値関係による商集合（同値類の集合）と像との間に全単射が誘導される。${\displaystyle f}$（これは、その終域です）${\displaystyle f}$（全射である）。さらに、${\displaystyle f}$は、正準投影の構成です。${\displaystyle f}$商集合への、そして商集合と終域との間の全単射${\displaystyle f}$。
• 2 つの全射の合成は再び全射になりますが、${\displaystyle g\circ f}$が全射である場合、次の結論しか得られない。${\displaystyle g}$は全射である（図を参照）。

関数が全単射であるとは、それが単射かつ全射である場合をいう。全単射関数は、全単射または一対一対応とも呼ばれる（単射を指す一対一関数と混同しないように）。関数が全単射であるのは、可能なすべての像がちょうど 1 つの引数によって写像される場合に限る。^{[ 1 ]}この同値条件は、形式的には次のように表現される。

機能${\displaystyle f\colon X\to Y}$すべての に対して が全単射である場合${\displaystyle y\in Y}$ユニークな${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle f(x)=y.}$^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

全単射に関する事実をいくつか挙げます。

• 関数${\displaystyle f\colon X\to Y}$関数が全単射であるのは、それが可逆である場合に限る。つまり、関数が存在する。${\displaystyle g\colon Y\to X}$そのため${\displaystyle g\circ f=}$恒等関数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f\circ g=}$恒等関数${\displaystyle Y}$この関数は、各画像をその固有の原像にマッピングします。
• 2 つの全単射の合成は再び全単射になりますが、${\displaystyle g\circ f}$が全単射であるならば、次の結論しか得られない。${\displaystyle f}$単射であり、${\displaystyle g}$は全射である（右の図と、単射と全射に関する上記の注釈を参照）。
• ある集合からそれ自身への全単射は、合成に関して群を形成し、これを対称群と呼ぶ。

各関数の定義域と値域を指定することは重要です。なぜなら、これらを変更することで、一見同じように見える関数でも異なる性質を持つ可能性があるからです。

単射と全射（全単射）

• 恒等関数 id _{X は}、空でないすべての集合Xに対して成り立ち、したがって特に${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x.}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}}$、したがってその逆もまた${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.}$
• 指数関数${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$（つまり、値域をその像に制限した指数関数）、したがってその逆関数である自然対数${\displaystyle \ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.}$ここ、${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$は正の実数を表します。
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}}$

単射と非単射

• 指数関数${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.}$

非単射かつ全射

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).}$

非単射かつ非全射

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{2}}$

• すべての関数について${\displaystyle f}$、 させて${\displaystyle X}$ドメインのサブセットであり、${\displaystyle Y}$終域の部分集合。${\displaystyle X\subset f^{-1}(f(X))}$そして${\displaystyle f(f^{-1}(Y))\subset Y}$、 どこ${\displaystyle f(X)}$は​​${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f^{-1}(Y)}$は​​${\displaystyle Y}$下${\displaystyle f}$。 もし${\displaystyle f}$単射である場合、${\displaystyle X=f^{-1}(f(X))}$、そしてもし${\displaystyle f}$は全射であるならば、${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=Y}$。
• すべての関数について${\displaystyle h:X\to Y}$射影を定義することができる${\displaystyle H:X\to h(X):x\mapsto h(x)}$そして注射${\displaystyle I:h(X)\to Y:y\mapsto y}$したがって、${\displaystyle h=I\circ H}$⁠ 。全射と単射の合成としてのこの分解は、同型を除いて一意である。つまり、このような分解が与えられた場合、一意の全単射が存在する。${\displaystyle \varphi :h(X)\to H(X)}$そのため${\displaystyle H(x)=\varphi (h(x))}$そして${\displaystyle I(\varphi (h(x)))=h(x)}$ すべての${\displaystyle x\in X.}$

集合のカテゴリーでは、単射、全射、全単射はそれぞれ単射、全射、同型に正確に対応します。^{[ 5 ]}

オックスフォード英語辞典には、S. Mac Laneが『Bulletin of the American Mathematical Society』 （1950 年）で名詞として「 injection 」という単語を使用し、EilenbergとSteenrodが『Foundations of Algebraic Topology』 （1952 年）で形容詞として「injective」という単語を使用していることが記録されている。^{[ 6 ]}

しかし、フランスのブルバキグループが（名詞と形容詞の両方として）単射-全射-全単射という用語を造語するまでは、広く採用されることはなかった。^{[ 7 ]}

• 水平線テスト
• 注入モジュール
• 順列

• 数学用語の初期の使用例：単射、全射、全単射の項目では、単射および関連用語の歴史について説明しています。