射影（数学）

数学において、射影とは、集合から集合自身への写像、あるいは数学的構造の自己準同型写像であり、冪等性を持つ、つまり集合自身との合成と等しい写像である。点または部分集合の像${\displaystyle S}$⁠投影の下でのは、 ⁠の投影と呼ばれます。${\displaystyle S}$⁠ .

投影の身近な例としては、平面（紙）に影を落とすことが挙げられます。点の投影は紙に映るその点の影であり、紙に映る点の投影（影）はその点自身です（冪等性）。3次元球の影は円盤です。もともと、投影の概念はユークリッド幾何学において、影の例のように、3次元ユークリッド空間をその中の平面に投影することを表すために導入されました。この種の投影の主なものは次の2つです。

• 点から平面への投影、または中心投影：C を投影中心と呼ぶ点とすると、 Cと異なる点PをCを含まない平面に投影すると、直線CPと平面との交点になります。直線 CP が平面に平行な点 P は、投影によって像を持ちませんが、平面の無限遠点に投影されると言われることがよくあります（この用語の形式化については、射影幾何学を参照してください）。点C自体の投影は定義されていません。
• 方向Dに平行な平面への投影、または平行投影：点Pの像は、平面と、点Pを通りDに平行な直線との交点です。正確な定義、および任意の次元への一般化については、「アフィン空間 §投影」を参照してください。 

数学における投影の概念は非常に古く、おそらく現実世界の物体が地面に落とす影という現象にその起源を持つと考えられます。この基本的な考え方は、まず幾何学の分野で、そして後に数学の他の分野で洗練され、抽象化されていきました。時代とともにこの概念には様々なバージョンが生まれましたが、今日では十分に抽象的な枠組みの中で、これらのバリエーションを統一的に扱うことができます。

地図学において、地図投影とは、地球表面の一部を平面上に投影した地図のことであり、場合によっては（常にではないが）、上記の意味での投影の限界となる。3D投影は、透視図法の基礎にもなっている。

2種類の投影法を統一し、投影中心以外の任意の点の中心投影によって像を定義する必要性が、射影幾何学の起源となっている。

一般に、定義域と終域が同じ集合（または数学的構造）である写像は、写像が冪等である場合、射影と呼ばれます。冪等性とは、射影がそれ自身との合成に等しいことを意味します。射影は、右逆写像を持つ写像を指す場合もあります。この2つの概念は、次のように密接に関連しています。集合Aからそれ自身への冪等写像をpとし（したがってp ∘ p = p）、B = p ( A )をpの像とします。写像p をAからBへの写像とみなしてπとし、BからAへの挿入写像をiとすると（したがってp = i ∘ π ）、 π ∘ i = Id _Bとなります（したがってπは右逆写像を持ちます）。逆に、πが右逆元iを持つ場合、π ∘ i = Id _Bはi ∘ π ∘ i ∘ π = i ∘ Id _B ∘ π = i ∘ πを意味します。つまり、p = i ∘ πは冪等です。

射影という概念は、さまざまな数学的状況に拡張または一般化されてきましたが、多くの場合、幾何学に関連していますが、常にそうとは限りません。例えば、次のようになります。

• 集合論において：
  • j^番目 の射影写像proj _jで代表される操作は、デカルト積X ₁ × ⋯ × X _{j × ⋯ × X n}の要素x = ( x ₁ , ..., x j _, ... , x n )を値proj _j ( x ) = x _jに取ります_。 [ ^{1 ]この}写像は常に全射であり、各空間X _{k が}位相を持つ場合、この写像は連続かつ 開写像でもあります。^{[ 2 ]}
  • 与えられた同値関係の下で要素をその同値類に写像する写像は、正準射影として知られています。^{[ 3 ]}
  • 評価マップは、固定されたxに対して関数fを値f ( x )に写像します。関数空間Y ^{X は}、デカルト積と同一視できます。${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$そして、評価マップはデカルト積からの投影マップである。
• 関係データベースとクエリ言語の場合、射影は次のように記述される単項演算です。 ${\displaystyle \Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)}$どこ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$は属性名の集合です。このような射影の結果は、R内のすべてのタプルを集合に制限したときに得られる集合として定義されます。${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$[ ^{4 ] [ 5 ] [ 6 ]} R^はデータベース関係です。
• 球面幾何学では、球面を平面に投影する方法は、プトレマイオス（紀元150年頃）が『平面図』で用いた。^{[ 7 ]}この方法は立体投影と呼ばれ、球面に接する平面と、接点と正反対の位置にある極Cを用いる。C以外の球面上の任意の点Pは、 Pの投影点で平面と交わる直線CPを決定する。^{[ 8 ]}この対応関係により、無限遠点をCに対応させると、球面は平面の一点コンパクト化となる。そうでなければ、平面上に投影されない。一般的な例として複素平面があり、そのコンパクト化はリーマン球面に対応する。あるいは、半球はグノモン投影を用いて平面に投影されることが多い。
• 線形代数において、2回適用しても変化しない線形変換: p ( u ) = p ( p ( u ))。言い換えれば、冪等演算子。例えば、3次元空間の点( x , y , z )を点( x , y , 0 )に写像する写像は射影である。このタイプの射影は、写像の定義域の次元数nと終域の次元数k≤nに自然に一般化できる。直交射影、射影(線形代数)を参照。直交射影の場合、空間は積として分解でき、射影演算子もその意味で射影である。^{[ 9 ] [ 10 ]}
• 関数解析と量子力学では、射影値測度を構成する際に、特定の種類の射影が用いられる。これらの分野では、射影とは自己共役冪等線形作用素のことである。
• 微分位相幾何学では、任意のファイバー束はその定義の一部として射影写像を含む。少なくとも局所的には、この写像は積位相幾何学の意味での射影写像のように見え、したがって開かつ全射である。
• 位相幾何学において、リトラクションとは、像上で恒等写像に制限される連続写像r : X → Xのことである。 ^{[ 11 ]}これは同様の冪等条件r ² = rを満たし、射影写像の一般化とみなすことができる。リトラクションの像は、元の空間のリトラクトと呼ばれる。恒等写像に同相なリトラクションは、変形リトラクションとして知られている。この用語は、圏論において任意の分裂全射準同型を指すためにも使用される。
• あるベクトルを別のベクトルに投影したスカラー量（またはレゾリューション）。
• 圏論では、上記の集合のデカルト積の概念は任意の圏に一般化できます。いくつかの対象の積は、各因子への標準的な射影射影を持ちます。特殊なケースとしては、集合のデカルト積、位相空間の積位相（常に全射かつ開集合）、または群の直積からの射影などがあります。これらの射影はしばしば全射射であり、全射である場合もありますが、必ずしもそうである必要はありません。^{[ 12 ]}

• クレイグ、トーマス（1882）ミシガン大学歴史数学コレクションからの投影に関する論文。
• ヘンリツィ、オラウス・マグヌス・フリードリヒ（1911年）。「投影」 。ブリタニカ百科事典。 Vol.  22（第11 版）。427–434ページ。