モノイドモナド

圏論（数学の一分野）において、モノイドモナドとは${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,T_{A,B},T_{0})}$モナドです${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$モノイド圏において${\displaystyle (C,\otimes,I)}$ファンクター${\displaystyle T:(C,\otimes ,I)\to (C,\otimes ,I)}$は緩いモノイド関手であり、自然な変換は${\displaystyle \eta }$そして${\displaystyle \mu }$モノイド自然変換である。言い換えれば、${\displaystyle T}$コヒーレンスマップを搭載${\displaystyle T_{A,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$そして${\displaystyle T_{0}:I\to TI}$特定の性質を満たし（繰り返しますが、それらは緩いモノイドです）、単位${\displaystyle \eta :id\Rightarrow T}$乗算${\displaystyle \mu :T^{2}\Rightarrow T}$モノイド自然変換である。モノイド性により${\displaystyle \eta }$射${\displaystyle T_{0}}$そして${\displaystyle \eta _{I}}$それらは必然的に等しい。

上記すべてを要約すると、モノイドモナドは2-カテゴリーのモナドである、という記述になります。${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$モノイド圏、緩いモノイド関手、およびモノイド自然変換について。

オプモノイドモナドは、さまざまな名前で研究されてきました。Ieke Moerdijk はこれらを「ホップモナド」として導入しましたが、^{[ 1 ]} Bruguières と Virelizier の研究では、「双代数」になぞらえて「バイモナド」と呼ばれ、^{[ 2 ]} 「ホップ代数」になぞらえて、対蹠点を持つオプモノイドモナドに「ホップモナド」という用語が留保されています。

オプモノイドモナドはモナドである${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$2-カテゴリーでは${\displaystyle {\mathsf {OpMonCat}}}$モノイド圏、オプラックスモノイド関手、モノイド自然変換。つまり、モナド${\displaystyle (T,\eta ,\mu )}$モノイド圏において${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$コヒーレンスマップとともに${\displaystyle T^{A,B}:T(A\otimes B)\to TA\otimes TB}$そして${\displaystyle T^{0}:TI\to I}$オプモノイド関手を構成する3つの公理と、単位を構成する4つの公理を満たす。${\displaystyle \eta }$そして乗算${\displaystyle \mu }$オプモノイド自然変換に。あるいは、オプモノイドモナドとは、アイレンベルク・ムーア代数の圏が忘却関手が強モノイドとなるようなモノイド構造を持つモノイド圏上のモナドのことである。^{[ 1 ] [ 3 ]}

モノイド圏の簡単な例${\displaystyle \operatorname {Vect} }$ベクトル空間のモナドは${\displaystyle -\otimes A}$、 どこ${\displaystyle A}$は双代数である。^{[ 2 ]}乗法と単位元は${\displaystyle A}$モナドの乗法と単位を定義する一方、モナドの余乗法と余単位は${\displaystyle A}$オプモノイド構造を生み出す。このモナドの代数は正しい。${\displaystyle A}$-モジュール。これらは、その基となるベクトル空間と同様の方法でテンソル化することができる。

• モノイドモナドのクライスリ圏は、モナドのモノイド構造によって誘導される標準的なモノイド構造を持ち、自由関手は強モノイドである。${\displaystyle C}$そして、クライスリ圏はこのモノイド構造に関してモノイド随伴である。これは、2-圏が${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$モナド用のKleisliオブジェクトがあります。
• モナドの2カテゴリー${\displaystyle {\mathsf {MonCat}}}$はモノイドモナドの2-カテゴリーである${\displaystyle {\mathsf {Mnd(MonCat)}}}$そしてそれは2-カテゴリーと同型である${\displaystyle {\mathsf {Mon(Mnd(Cat))}}}$モナドのカテゴリーにおけるモノイダル（または擬似モノイド）${\displaystyle {\mathsf {Mnd(Cat)}}}$、それらの間には（緩い）モノイド矢印があり、それらの間にはモノイドセルがある。^{[ 4 ]}
• オプモノイドモナドのアイレンベルク・ムーア圏は、忘却関手が強モノイドとなるような標準的なモノイド構造を持つ。^{[ 1 ]}したがって、2-圏は${\displaystyle {\mathsf {OpmonCat}}}$モナドのアイレンベルク・ムーアオブジェクトを持つ。^{[ 3 ]}
• モナドの2カテゴリー${\displaystyle {\mathsf {OpmonCat}}}$はモノイドモナドの2-カテゴリーである${\displaystyle {\mathsf {Mnd(OpmonCat)}}}$そしてそれは2-カテゴリーと同型である${\displaystyle {\mathsf {Opmon(Mnd(Cat))}}}$モナドのカテゴリーにおけるモノイダル（または擬似モノイド）${\displaystyle {\mathsf {Mnd(Cat)}}}$それらの間にオプモノイド矢印があり、それらの間にオプモノイド細胞がある。^{[ 4 ]}

集合の圏における以下のモナドは、デカルトモノイド構造を持つモノイドモナドである。

• パワーセットモナド${\displaystyle (\mathbb {P} ,\varnothing ,\cup )}$確かに、関数があります${\displaystyle \mathbb {P} (X)\times \mathbb {P} (Y)\to \mathbb {P} (X\times Y)}$ペアを送る${\displaystyle (X'\subseteq X,Y'\subseteq Y)}$部分集合から部分集合へ${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X'{\text{ and }}y\in Y'\}\subseteq X\times Y}$この関数はXとYにおいて自然関数です。${\displaystyle \{1\}\to \mathbb {P} (\varnothing )}$さらに、${\displaystyle \mu ,\eta }$モノイド自然変換は、 ${\displaystyle \mathbb {P} }$モノイドモナドとして確立される。
• 確率分布（Giry）モナド。

集合の圏（デカルトモノイド構造を持つ）上の以下のモナドは、モノイドモナドではない。

• もし${\displaystyle M}$モノイドである場合、${\displaystyle X\mapsto X\times M}$はモナドですが、一般にはモノイド構造を期待する理由はありません（${\displaystyle M}$（可換である）。