可換図

数学、特に圏論において、可換図とは、図の中の始点と終点が同じすべての有向パスが同じ結果につながるような図のことである。 ^[1]可換図は圏論において代数学における方程式の役割を果たすと言われている。^[2]

可換図は多くの場合、次の 3 つの部分で構成されます。

• オブジェクト（頂点とも呼ばれる）
• 射影（矢印またはエッジとも呼ばれる）
• パスまたはコンポジット

代数学のテキストでは、射の種類はさまざまな矢印の使用法で表すことができます。

• 単相性は[ ^3]または^[4]でラベル付けされることがあります。${\displaystyle \hookrightarrow}$${\displaystyle \rightarrowtail}$
• エピモーフィズムはでラベル付けされる場合があります。${\displaystyle \twoheadrightarrow}$
• 同型性はでラベル付けされることがあります。${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• 破線の矢印は通常、示された射が存在するという主張を表します（図の残りの部分が成り立つ場合）。矢印にはオプションで というラベルが付けられることもあります。 ${\displaystyle \exists }$
  • 射影がさらに一意である場合、破線の矢印はまたは とラベル付けされます。${\displaystyle !}$${\displaystyle \exists !}$
• 射が 2 つの矢印の間で作用する場合 (高次圏理論の場合など)、それは自然変換と呼ばれ、 とラベル付けされることもあります(この記事の下部を参照)。${\displaystyle \Rightarrow}$

異なる矢印の意味は完全に標準化されているわけではありません。単射、エピモーフィズム、同型に使用される矢印は、モデルカテゴリ内のコファイブレーション、ファイブレーション、弱同値だけでなく、単射、全射、全単射にも使用されます。

可換性は、任意の有限数の辺（1 辺または 2 辺を含む）を持つ多角形に対して意味を持ち、すべての多角形サブダイアグラムが可換である場合、そのダイアグラムは可換です。

図は非可換である場合があり、つまり、図内の異なるパスを合成しても同じ結果が得られない可能性があることに注意してください。

左の図は第一同型定理を表し、三角形の可換性は を意味します。右の図では、正方形の可換性は を意味します。 ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

下の図が可換となるためには、3 つの等式が満たされている必要があります。

1. ${\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}$
2. ${\displaystyle m\circ g=G\circ l}$
3. ${\displaystyle r\circ h=H\circ m}$

ここで、最初の等式は最後の 2 つの等式から導かれるので、図が可換であるためには (2) と (3) が真であることを示すだけで十分です。しかし、等式 (3) は一般に他の 2 つからは導かれないため、図が可換であることを示すには、一般に等式 (1) と (2) だけでは不十分です。

ダイアグラム追跡（ダイアグラム検索とも呼ばれる）は、特にホモロジー代数で使用される数学的証明の方法であり、可換ダイアグラムの要素をトレースすることで、何らかの射の性質を確立します。ダイアグラム追跡による証明では、通常、単射写像や全射写像、正確なシーケンスなど、ダイアグラムの性質を正式に使用します。^[5]三段論法が構築され、ダイアグラムのグラフィカルな表示は視覚的な補助に過ぎません。その結果、目的の要素または結果が構築または検証されるまで、ダイアグラムの周りの要素を「追跡」することになります。

図表追跡による証明の例としては、 5 つの補題、蛇の補題、ジグザグの補題、9 つの補題などで典型的に示される証明が挙げられます。

高次の圏理論では、対象と矢印だけでなく、矢印間の矢印、矢印間の矢印間の矢印、などについても無限に考えます。たとえば、小さな圏Catの圏は自然に 2 圏であり、その矢印は関手で、自然変換は関手間の矢印です。この設定では、可換図にはこれらの高次の矢印も含まれる場合があり、多くの場合、次のスタイルで表されます。たとえば、次の (やや自明な) 図は、2 つの圏CとD を、2 つの関手F、G  : C → D、および自然変換α  : F ⇒ Gとともに表しています。 ${\displaystyle \Rightarrow}$

2カテゴリには2種類の構成（縦構成と横構成と呼ばれる）があり、貼り付け図で表現することもできます（例については 2カテゴリ#定義を参照）。

カテゴリCの可換図式は、インデックス カテゴリJからCへの関数として解釈できます。この関数を図式と呼びます。

より正式には、可換図は、半順序カテゴリによってインデックス付けされた図の視覚化です。このような図には通常、次のものが含まれます。

• インデックスカテゴリ内の各オブジェクトのノード、
• 射の生成集合の矢印（恒等写像と合成として表現できる射は省略）
• 図の可換性（2 つのオブジェクト間のマップの異なる構成の等価性）は、半集合カテゴリ内の 2 つのオブジェクト間のマップの一意性に対応します。

逆に、可換図式が与えられた場合、次の半集合カテゴリが定義されます。

• オブジェクトはノードであり、
• 任意の2つのオブジェクト間に射が存在するのは、ノード間に（有向）パスが存在する場合のみである。
• この射は一意であるという関係があります（マップの任意の合成はそのドメインとターゲットによって定義されます。これが可換公理です）。

しかし、すべての図が可換であるわけではありません（図の概念は、可換図を厳密に一般化したものです）。簡単な例として、自己準同型（）を持つ単一のオブジェクトの図、またはイコライザーの定義で使用される2 つの平行矢印（ 、つまり、自由矢筒と呼ばれることもある）を持つ単一のオブジェクトの図は、必ずしも可換である必要はありません。さらに、オブジェクトまたは射の数が多い（または無限である）場合、図は乱雑になったり、描画が不可能になったりすることがあります。 ${\displaystyle f\colon X\to X}$${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

• 数学図

• MathWorldでの図の追跡
• WildCats は、 Mathematica用のカテゴリ理論パッケージです。オブジェクト、射、カテゴリ、関数、自然変換の操作と視覚化を行います。