ジリー・モナド

数学において、ジリー・モナドは、可測空間に、その空間上の確率測度の空間を割り当て、正準シグマ代数を備えた構成である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}これは確率モナドの主要な例の1つである。

これは、確率論において、パラメータに測定可能に依存する確率測度（マルコフ核を生み出す）を考える場合、または確率測度の上に確率測度がある場合（例えば、デ・フィネッティの定理など）に暗黙のうちに使用されます。

多くの反復可能な構成と同様に、それは可測空間の圏上のモナドの圏論的構造を持っています。

ジリー・モナドは、他のすべてのモナドと同様に、3つの構造から構成されています。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• この場合、可測空間に値を割り当てる関数的割り当て${\displaystyle X}$確率測度の空間${\displaystyle PX}$その上に;
• 自然地図${\displaystyle \delta _{X}:X\to PX}$これは単位と呼ばれ、この場合、空間の各要素にその要素上のディラック測度を割り当てる。
• 自然地図${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}:PPX\to PX}$これは乗算と呼ばれ、この場合、確率測度上の各確率測度にその期待値を割り当てます。

シグマ代数の特性の一つ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$測定可能な空間が与えられた${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$可測関数間には全単射対応が存在する。${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$マルコフカーネル${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$これにより、マルコフカーネルを、測定可能なパラメータ化された確率尺度として等価的に見ることができる。^{[ 10 ]}

より詳細に言うと、測定可能な関数が与えられた場合${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$マルコフカーネルを取得できる${\displaystyle f^{\flat }:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$次のように、

${\displaystyle f^{\flat }(B|x)=f(x)(B)}$

すべての${\displaystyle x\in X}$そしてあらゆる測定可能な${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$（ご了承ください${\displaystyle f(x)\in PY}$は確率測度である）。逆に、マルコフカーネルが与えられた場合${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$測定可能な関数を形成できる${\displaystyle k^{\sharp }:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$マッピング${\displaystyle x\in X}$確率測度へ${\displaystyle k^{\sharp }(x)\in PY}$定義される

${\displaystyle k^{\sharp }(x)(B)=k(B|x)}$

あらゆる測定可能な${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$この2つの割り当ては互いに逆の関係にある。

圏論の観点から、この対応関係を随伴として解釈することができる。

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)}$

可測空間の圏とマルコフ核の圏の間。特に、マルコフ核の圏は、ジリー・モナドのクライスリ圏と見なすことができる。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

測定可能な空間が与えられた場合${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$測定可能な空間を形成できる${\displaystyle (PX,{\mathcal {PX}})\times (PY,{\mathcal {PY}})=(X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$積シグマ代数、すなわち可測空間の圏における積を用いて。確率測度が与えられた場合${\displaystyle p\in PX}$そして${\displaystyle q\in PY}$積の尺度を形成できる${\displaystyle p\otimes q}$の上${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$これにより、自然で測定可能な地図が得られます。

${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})\times (PY,{\mathcal {PG}})\to {\big (}P(X\times Y),{\mathcal {P(F\times G)}}{\big )}}$

通常は以下で示される${\displaystyle \nabla }$または${\displaystyle \otimes }$[ ^{4 ]​}

地図${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$は一般に同型写像ではない。なぜなら、上には確率測度が存在するからである。${\displaystyle X\times Y}$これらは、例えば相関関係の場合のように、積分布ではありません。ただし、マップは${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$そして同型性${\displaystyle 1\cong P1}$Giry モナドをモノイドモナドにし、特に可換強モナドにする。^{[ 4 ]}

• 測定可能な空間${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$は標準ボレルなので、${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})}$したがって、ジリー・モナドは標準ボレル空間の完全な部分圏に制限される。^{[ 1 ] [ 4 ]}
• ジリー・モナドの代数には、ユークリッド空間のコンパクトな凸部分集合と、拡張​​された正の実数直線が含まれる。${\displaystyle [0,\infty ]}$代数構造マップは期待値を取ることによって与えられる。^{[ 11 ]}例えば、${\displaystyle [0,\infty ]}$構造マップ${\displaystyle e:P[0,\infty ]\to [0,\infty ]}$は

${\displaystyle p\longmapsto \int _{[0,\infty )}x\,p(dx)}$

いつでも${\displaystyle p}$サポートされているのは${\displaystyle [0,\infty )}$そして有限の期待値を持ち、${\displaystyle e(p)=\infty }$さもないと。

ジリー・モナドの有限バージョンがあり、ここでは次のように表記される。${\displaystyle F}$セットをマッピングする${\displaystyle S}$凸結合の集合へ${\displaystyle S.}$したがって、例えば、${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$正式な組み合わせ${\displaystyle 0.2a+0.2b+0.6c}$含まれるもの${\displaystyle FS}$。

• 混合分布
• 化合物分布
• ド・フィネッティの定理
• 測定可能な空間
• マルコフカーネル
• モナド（圏論）
• モナド（関数型プログラミング）
• 測定可能な空間のカテゴリー
• マルコフカーネルのカテゴリ
• カテゴリー確率

• nLabにおける確率、測度、評価のモナド。
• https://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

• 確率モナドとは何か？（ビデオチュートリアル）