強いモナド

圏論では、強いモナドは、強さと呼ばれる追加の自然変換を持つモノイド圏上のモナドであり、強さはモナドがモノイド積とどのように相互作用するかを制御します。

強いモナドは理論計算機科学において、副作用のある計算をモデル化するために重要な役割を果たしている^[1]。

（左）強いモナドとは、モノイド圏（C、⊗、I）上のモナド（T、η、μ）と、（テンソル）左強さと呼ばれる自然変換t _A,B  : A ⊗ TB → T（A ⊗ B ）を伴うものであり、図

、、

、 そして

すべてのオブジェクトA、B、Cについて可換です。

対称モノイド圏上の任意の強いモナドTに対して、右強さの自然変換は次のように定義できる。

$${\displaystyle t'_{A,B}=T(\gamma _{B,A})\circ t_{B,A}\circ \gamma _{TA,B}:TA\otimes B\to T(A\otimes B).}$$

強いモナドTは、図

すべてのオブジェクトとに対して可換です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

可換モナドのクライスリカテゴリは標準的な方法で対称モノイドです。Guitart ^[2]の系7とPower & Robison ^{[3]の系4.3を参照してください。モナドが強いが必ずしも可換ではない場合、そのクライスリカテゴリは}プレモノイドカテゴリです。

可換強モナドに関する興味深い事実の一つは、それが対称 モノイドモナドと「同じ」であるということである。^[4]より明確に言えば、

• 可換な強いモナドは対称的なモノイドモナドを定義する。${\displaystyle (T,\eta,\mu,t)}$${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,m)}$$${\displaystyle m_{A,B}=\mu _{A\otimes B}\circ Tt'_{A,B}\circ t_{TA,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$
• 逆に対称モノイドモナドは可換な強いモナドを次のように定義する。${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,m)}$${\displaystyle (T,\eta,\mu,t)}$$${\displaystyle t_{A,B}=m_{A,B}\circ (\eta _{A}\otimes 1_{TB}):A\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$

そして、一方のプレゼンテーションと他方のプレゼンテーション間の変換は全単射です。

• nLabの強いモナド