定義の分野

数学において、代数多様体Vの定義体とは、 Vを定義する多項式の係数が属することができる最小の体である。係数が体Kに属する多項式が与えられた場合、より小さな体kが存在し、 k上で定義される他の多項式がVを定義するかどうかは明らかではない。

定義域の問題は、ディオファントス幾何学において重要な問題である。

この記事全体を通して、k は体を表します。体の代数的閉包は、上付き文字「alg」を付けることで表されます。例えば、 kの代数的閉包はk ^algです。記号Q、R、C、およびF _{p は}、それぞれ、有理数体、実数体、複素数体、およびp個の要素を含む有限体を表します。 体F上のアフィンn空間はA ⁿ ( F )で表されます。

アフィン多様体に関する以下の結果と定義は、A ⁿ ( k ^alg ) をk ^alg上のn − 1次元の射影空間に置き換え、すべての多項式が同次であることを要求することにより、射影多様体に変換できます。  

k代数集合は、多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ]の部分集合のA ⁿ ( k ^alg )における零点軌跡です。 k多様体とは、既約なk代数集合、すなわち厳密に小さい 2 つのk代数集合の和集合ではない集合です。k 準同型とは、定義多項式の係数がkに属するk代数集合間の正則関数です。  

A ⁿ ( k ^alg )の零点軌跡をA ⁿ ( k )ではなく考慮する理由の 1 つは、2 つの異なるk代数集合X ₁とX ₂に対して、X ₁ ∩ A ⁿ ( k ) とX ₂ ∩ A ⁿ ( k ) の共通部分 が同一になる可能性があることです。実際、 k が代数的に閉じていない場合、 k [ x ₁ , ..., x _n ]の任意の部分集合のA ⁿ ( k ) の零点軌跡は、 k [ x ₁ , ..., x _n ]の単一の要素の零点軌跡になります。    

k多様体は、絶対的に既約である場合、すなわち、厳密に小さい 2 つの k alg 代数集合の和集合ではない場合に、多様体と呼ばれます。多様体V^は、k alg [ x 1 , ... ^, x n _]のV上_で消滅するすべての多項式が、 k [ x ₁ , ..., x _n ]のV上で消滅する多項式の線形結合( k ^alg上) である場合に、 k上で定義されます。k代数集合は、 k ^algの無限個の部分体Lに対して、 L代数集合でもあります。多様体Vの定義体とは、 VがL上で定義されたL多様体であるようなk ^{algの部分体}Lのことです。    

言い換えれば、k多様体Vがk上で定義された多様体であるのは、Vの関数体k ( V ) がWeilの意味でkの正則拡大である場合に限る。つまり、k上で線形独立なk ( V )のすべての部分集合はk ^alg上でも線形独立である。言い換えれば、これらのkの拡大は線形的に互いに素である。

アンドレ・ヴェイユは、多様体Vのすべての定義場の共通部分がそれ自体定義場であることを証明した。これにより、任意の多様体は一意の最小定義場を持つと言える。しかし、これは抽象多様体には当てはまらず、実際には反例が存在する。^{[ 1 ]}

1. x ₁ ² + x ₂ ²の零点軌跡は、 Q多様体とQ ^alg代数集合の両方であるが、多様体でもQ ^alg多様体でもない。なぜなら、それは多項式x ₁ + i x ₂とx ₁ − i x _{2によって定義される}Q ^alg多様体の和集合だからである。     
2. F _p ( t )をF _pの超越拡大とすると、多項式x ₁ ^p − tは多項式環 ( F _p ( t )) ^alg [ x ₁ ]において ( x ₁ − t ^{1/ p} ) ^pに等しくなります。 x ₁ ^p − tで定義されるF _p ( t ) 代数集合Vは多様体であり、一点からなるため絶対既約です。しかし、V はF _p ( t )上で定義されていません。なぜなら、V はx ₁ − t ^{1/ p}の零点軌跡でもあるからです。         
3. 複素射影直線は射影R多様体である。（実際には、定義の最小体としてQを持つ多様体である。）実射影直線をリーマン球面上の赤道とみなすと、複素射影直線に対する複素共役の座標ごとの作用は、同じ経度で反対の緯度を持つ点を交換する。
4. 同次多項式x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ²で定義される射影R多様体Wもまた、最小定義体Qを持つ多様体である。次の写像は、複素射影直線からWへのC同型を定義する。( a , b ) → (2 ab , a ² − b ² , −i( a ² + b ² ))。この写像を用いてW をリーマン球面と同一視すると、 Wに対する複素共役の座標ごとの作用は、球面の反対の点を交換する。複素射影直線は、 WとR同型にはなり得ない。なぜなら、前者は実数点、複素共役によって固定される点を持つが、後者は実数点を持たないからである。        

スキーム理論を通して任意の体上の多様体を定義する利点の1つは、そのような定義が本質的であり、周囲のアフィンn空間への埋め込みに依存しないことである。

k代数集合は、Spec ( k )上の有限型の分離・縮約スキームである。k多様体は、既約なk代数集合である。k射は、 Spec( k )上のスキームとみなされるk代数集合間の射である。

kの任意の代数的拡大Lに対して、与えられたk代数的集合Vに関連付けられたL代数的集合は、スキームV × _{Spec( k )} Spec( L )のファイバー積である。k多様体は、関連付けられたk ^alg代数的集合が既約スキームである場合に絶対既約である。この場合、k多様体は多様体と呼ばれる。絶対既約k多様体は、関連付けられたk ^alg代数的集合が既約スキームである場合にk上で定義されている。多様体Vの定義体とは、 k ^algの部分体 L であって、W × Spec ₍ k ∩ L ) Spec( k )がVと同型であり、 W × Spec( _{k ∩ L )} Spec( L ₎上の既約スキームの圏の最終対象がL上で定義された L 多様体_{であるような}k ∩ _L多様体_Wが存在するものである。  

アフィン多様体と射影多様体の定義と同様に、k多様体は、一般点における構造層の茎がkの正則拡大である場合にk上で定義された多様体であり、さらに、すべての多様体は最小定義体を持つ。

スキーム理論の定義の欠点の 1 つは、Lがkの拡張でない場合、k上のスキームはL値点を持つことができないことです。たとえば、有理点(1,1,1) は方程式x ₁ + i x ₂ - (1+i) x ₃の解ですが、対応するQ [i] 多様体V には Spec( Q ) 値点がありません。定義体の 2 つの定義も矛盾しています。たとえば、 Vの (スキーム理論の) 最小定義体はQですが、最初の定義ではQ [i]になります。この矛盾の理由は、スキーム理論の定義では基底変換までの多項式設定しか追跡していないためです。この例では、これらの問題を回避する 1 つの方法は、Q多様体 Spec( Q [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]/( x ₁ ² + x ₂ ² + 2 x ₃ ² - 2 x ₁ x ₃ - 2 x ₂ x ₃ )) を使用することです。これに関連付けられたQ [i]-代数集合は、Q [i]-多様体 Spec( Q [i][ x ₁ , x ₂ , x ₃ ]/( x ₁ + i x ₂ - (1+i) x ₃ )) とその複素共役の和集合です。             

kの絶対ガロア群Gal( k ^alg / k ) は、多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ] の部分集合A ⁿ ( k ^alg ) の零点軌跡に自然に作用します。一般に、V がk上のスキーム(例えばk代数集合) である場合、Gal( k ^alg / k )は Spec( k alg ) への作用を介して、V × _{Spec( k )} Spec( k ^alg )に自然に作用し^ます。    

V が完全体k上で定義された多様体である場合、スキームV は、スキームV  × _{Spec( k )}  Spec( k ^alg ) と、後者のスキームに対するGal( k ^alg / k )の作用から復元できます。すなわち、開部分集合U上のVの構造層の切断は、 U × _{Spec( k )} Spec( k ^alg ) 上のV × _{Spec( k )} Spec( k ^alg )の構造層の切断と正確に一致し、その残差はU × _Spec( k ) Spec ( k alg ₎内の各 Gal( _k ^alg / k )軌道上で一定です。アフィンの場合、これは^、絶対ガロア群の零点への作用が、消滅多項式からなる k [ x 1 , ..., x n ] の部分集合を復元するのに十分である_ことを意味し_ます。        

一般に、この情報だけではV を復元するには不十分です。( F _p ( t )) ^{algにおける}x ₁ ^p − tのゼロ軌跡の例では、多様体は単一の点から構成されているため、絶対ガロア群の作用では、消滅多項式のイデアルがx ₁ − t ^{1/ p}によって生成されたのか、x ₁ ^p − tによって生成されたのか、あるいは実際には、pの他のべき乗に累乗されたx ₁ − t ^{1/ p}によって生成されたのかを区別することはできません。        

k ^algの任意の部分体Lと任意のL多様体Vに対して、 k ^algの自己同型 σ はV をσ( L ) 多様体に同型的に写像します。

• フリード、マイケル・D. 、モシェ・ヤルデン（2005）。フィールド算術。シュプリンガー。p .  780。doi : 10.1007/ b138352。ISBN 3-540-22811-X。
  • この記事で使用されている用語は、フリードとヤルデンの著書で使用されている用語と一致しており、彼らは品種の命名法としてワイルの命名法を採用している。ここで参照されている第2版には、この命名法とより現代的な分類体系との間の対応表を提供する小節も含まれている。
• クンツ、エルンスト（1985）。可換代数と代数幾何学入門。ビルクハウザー。p.  256。ISBN 0-8176-3065-1。
  • クンツは厳密にはアフィン多様体と射影多様体およびスキームを扱っているが、ある程度はヴァイルの多様体の定義とグロタンディークのスキームの定義の関係についても触れている。
• マムフォード、デイビッド（1999）。 『多様性とスキームの赤本』。シュプリンガー。pp. 198–203。doi : 10.1007 / b62130。ISBN  3-540-63293-X。
  • マムフォードは本書の中で定義の体のような算術的な問題についてはわずか1章しか割いていないが、その中で本稿で述べた多くのスキーム理論的な結果を概括的に扱っている。