アレクサンドロフ拡張

数学の位相幾何学の分野において、アレクサンドロフ拡大とは、単一の点を接続した結果の空間がコンパクトになるようにすることで非コンパクトな位相空間を拡張する方法である。これは、ロシアの数学者パベル・アレクサンドロフにちなんで名付けられている。より正確には、位相空間Xとすると、 Xのアレクサンドロフ拡大は、あるコンパクト空間X * と開いた埋め込みc  :  X  →  X * であり、 X *におけるXの補集合は単一の点 (通常は ∞ と表記) で構成される。写像cがハウスドルフ・コンパクト化であるための必要十分条件は、 X が局所コンパクトで非コンパクトなハウスドルフ空間である場合である。そのような空間に対して、アレクサンドロフ拡大は1 点コンパクト化またはアレクサンドロフ・コンパクト化と呼ばれる。アレクサンドロフ・コンパクト化の利点は、その単純でしばしば幾何学的に意味のある構造と、すべてのコンパクト化の中で正確な意味で最小であるという事実にある。欠点は、任意の位相空間に対して存在するストーン-チェフのコンパクト化とは異なり、局所コンパクトで非コンパクトなハウスドルフ空間のクラスに対してのみハウスドルフのコンパクト化を与えるという点です（ただし、チコノフ空間に対しては正確に埋め込みを提供します）。

1 点コンパクト化の幾何学的に魅力的な例は、逆ステレオ射影によって与えられます。ステレオ射影Sは、単位球から北極 (0,0,1) を除いたものからユークリッド平面への明示的な同相写像を与えることを思い出してください。逆ステレオ射影は、追加点 を接合することによって得られるコンパクトなハウスドルフ空間への開いた稠密な埋め込みです。ステレオ射影の下では、緯度円は平面円 にマッピングされます。したがって、穴の開いた球面キャップによって与えられるの削除された近傍基底は、閉じた平面ディスク の補集合に対応します。より定性的に、 における近傍基底は、Kが のコンパクトな部分集合を通る集合によって提供されます。この例には、一般的な場合の重要な概念がすでに含まれています。 ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$${\displaystyle z=c}$${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle c\leq z<1}$${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

を、稠密な像と一点剰余を持つ、位相空間Xからコンパクトなハウスドルフ位相空間Yへの埋め込みとします。このとき、c ( X ) はコンパクトなハウスドルフ空間で開いているので、局所コンパクトなハウスドルフであり、したがってその同相逆像Xも局所コンパクトなハウスドルフです。さらに、Xがコンパクトであれば、c ( X ) はYで閉じているため、稠密ではありません。したがって、空間がハウスドルフの一点コンパクト化を許容できるのは、それが局所コンパクトで、非コンパクトで、ハウスドルフである場合のみです。さらに、このような一点コンパクト化では、Xにおけるxの近傍基底の像は、 c ( X ) におけるc ( x )の近傍基底を与え、コンパクト ハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトであるためには、それが閉じている必要があるため、 の開近傍は、コンパクト補集合を持つXの部分集合のcによる像に隣接させることによって得られるすべての集合でなければなりません。 ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$

を位相空間とします。 を、 Xのすべての開集合と、 CがXで閉じてコンパクトである形式のすべての集合を開集合として取って位相化します。ここで、はにおけるの補集合を表します。 はの開近傍であり、したがって の任意の開被覆には のコンパクト部分集合を除くすべてが含まれるため、はコンパクトであることに 注意してください(Kelley 1975、p. 150)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}$${\displaystyle X\setminus C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \infty,}$${\displaystyle \{\infty \}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X^{*},}$${\displaystyle X^{*}}$

この空間はXのアレクサンドロフ拡大と呼ばれる（ウィラード、19A）。包含写像に同じ名前が使われることもある。${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle c:X\to X^{*}.}$

上記の説明から、以下の特性がわかります。

• 写像c は連続かつ開写像である。つまり、写像Xを の開集合として埋め込む。${\displaystyle X^{*}}$
• スペースはコンパクトです。${\displaystyle X^{*}}$
• Xが非コンパクトである場合、像c ( X ) は において稠密です。${\displaystyle X^{*}}$
• 空間がハウスドルフである場合、かつXがハウスドルフかつ局所コンパクトである場合に限ります。${\displaystyle X^{*}}$
• Xが T ₁である場合に限り、空間はT ₁です。${\displaystyle X^{*}}$

特に、アレクサンドロフ拡大は、 Xがハウスドルフ、非コンパクト、かつ局所コンパクトである場合に限り、 X のハウスドルフコンパクト化です。 この場合、これはXの1 点コンパクト化またはアレクサンドロフコンパクト化と呼ばれます。 ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$

上の議論から、1 点剰余を持つ任意のハウスドルフコンパクト化は、必然的に (アレクサンドロフコンパクト化と同型である) ことを思い出してください。特に、がコンパクトなハウスドルフ空間であり、がの極限点(つまり、の孤立点ではない)である場合、は のアレクサンドロフコンパクト化です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus \{p\}}$

X を任意の非コンパクトなティコノフ空間とする。コンパクト化の同値類の集合上の自然な半順序付けの下では、任意の極小元はアレクサンドロフ拡大と同値である (Engelking、定理 3.5.12)。したがって、非コンパクトなティコノフ空間は、局所コンパクトである場合に限り、極小コンパクト化を許容する。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

を任意の非コンパクト位相空間とします。単一の点を追加することによって得られるのすべてのコンパクト化（必ずしもハウスドルフではない）を決定したい場合があります。これは、この文脈では1 点コンパクト化とも呼ばれます。つまり、 が で稠密であり、から誘導される上の部分空間位相が元の位相と同じであるようなコンパクト位相を与えるすべての可能な方法を決定したいのです。位相に関する最後の適合性条件は、 がコンパクトでないため がで稠密であることを自動的に意味し、したがって はコンパクト空間で閉じることはできません。また、包含写像は必然的に開いた埋め込みであること、つまり はで開いており、 上の位相はのすべての要素を含まなければならないことも事実です。^[1] したがって 上の位相はの近傍によって決定されます。 の任意の近傍は、前述のように の 閉じたコンパクト部分集合の における補集合に必然的になります。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c:X\to X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$

をコンパクト化するトポロジーは次のとおりです。 ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$

• 上記で定義したのアレクサンドロフ拡大。ここで、 のすべての閉じたコンパクト部分集合の補集合を の近傍としてとります。これは、 の 1 点コンパクト化を実現する最大の位相です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$
• 開いた拡張位相。ここでは、 の単一の近傍、つまり空間 全体を追加します。これは、 の 1 点コンパクト化を実現する最小の位相です。${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$
• 上記の 2 つの位相の中間の位相。 の近傍については、 のすべての閉じたコンパクト部分集合の補集合の適切なサブファミリーを選択する必要があります。たとえば、すべての有限閉じたコンパクト部分集合の補集合、またはすべての可算閉じたコンパクト部分集合の補集合などです。${\displaystyle \infty }$${\displaystyle X}$

• 正の整数の集合の 1 点コンパクト化は、順序位相を持つK = {0} U {1/ n | nは正の整数}からなる空間に同相です。
• 位相空間 内の数列が内の点に収束するための必要十分条件は、および内のに対してによって与えられる写像が連続である場合です。ここで は離散位相を持ちます。${\displaystyle \{a_{n}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$${\displaystyle f(n)=a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle f(\infty )=a}$${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 多項式空間は、離散的で局所的にコンパクトなハウスドルフ空間の 1 点コンパクト化の累乗の連続像である位相空間として定義されます。

• n次元ユークリッド空間R ⁿの 1 点コンパクト化はn球面S ⁿに同相である。上記のように、この写像はn次元逆立体射影として明示的に与えることができる。
• 半閉区間 [0,1) のコピーの積、つまり の 1 点コンパクト化は、 （と同相） です。${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [0,1)^{\kappa }}$${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$
• 連結な部分集合の閉包は連結なので、非コンパクトな連結空間のアレクサンドロフ拡大は連結である。しかし、一点コンパクト化は連結されていない空間を「連結」することがある。例えば、区間 (0,1) の有限個のコピーの非連結和の一点コンパクト化は円のくさびである。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• 区間 (0,1) の可算個数の複製の非交差和集合の一点コンパクト化はハワイアンイヤリングです。これはコンパクトではない可算個の円のくさびとは異なります。
• コンパクトハウスドルフと の任意の閉部分集合が与えられたとき、 の1点コンパクト化はであり、ここでスラッシュは商空間 を表す。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus C}$${\displaystyle X/C}$
• とが局所コンパクトハウスドルフならば、スマッシュ積はとなる。スマッシュ積の定義を思い出してほしい。はウェッジ和であり、また / は商空間を表す。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}$${\displaystyle A\vee B}$

アレクサンドロフ拡大は、適切な連続写像を射とする位相空間のカテゴリから、連続写像を対象とし、から への射が となる連続写像のペアとなるカテゴリへの関手として考えることができる。特に、同相空間は同型アレクサンドロフ拡大を持つ。 ${\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}$${\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}$${\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$

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• ウォールマンコンパクト化– T ₁位相空間 のコンパクト化

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