メリン反転定理

数学において、メリン逆変換公式（ヒャルマー・メリンにちなんで名付けられている）は、逆メリン変換、またはそれと同等の逆両側ラプラス変換が定義され、変換された関数を復元するための条件を示しています。

がストリップ上で解析的であり、 aとbの間の任意の実数値cに対して一様にゼロに近づき 、そのような線に沿った積分が絶対収束する場合、 ${\displaystyle \varphi (s)}$${\displaystyle a<\Re (s)<b}$${\displaystyle \Im (s)\to \pm \infty }$

${\displaystyle f(x)=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$

私たちはそれを持っています

${\displaystyle \varphi (s)=\{{\mathcal {M}}f\}=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$

逆に、が正の実数上で区分的に連続で、任意のジャンプ不連続点において極限値の中間の値を取ると仮定し、積分 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx}$

は、のとき絶対収束します。そして、そのメリン変換から逆メリン変換を介して回復できます。これらの結果は、変数変換によってメリン変換をフーリエ変換に関連付け、適切なバージョンのフーリエ逆変換定理を適用することで得られます。^[1]${\displaystyle a<\Re (s)<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi}$

が連続であれば、 の有界条件は強化されます 。 がストリップ で解析的であり、 （Kは正の定数）であれば、反転積分 によって定義されるように が存在し、 は連続です。さらに、 のメリン変換は、少なくとも に対してです。 ${\displaystyle \varphi (s)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varphi (s)}$${\displaystyle a<\Re (s)<b}$${\displaystyle |\varphi (s)|<K|s|^{-2}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle a<\Re (s)<b}$

一方、一般化された関数である 元の関数を受け入れる場合は、 に対する有界条件を緩和して、 を開ストリップに含まれる任意の閉ストリップにおける多項式成長の有界条件にすることができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle a<\Re (s)<b}$

この定理のバナッハ空間版も定義できる。正実数上の 複素数値関数の重み付きL ^p空間を次のように呼ぶと 、${\displaystyle L_{\nu ,p}(R^{+})}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|=\left(\int _{0}^{\infty }|x^{\nu }f(x)|^{p}\,{\frac {dx}{x}}\right)^{1/p}}$

ここでνとpは固定された実数で、 の場合、が に 属し、 の場合、はに属し、 の場合、 ${\displaystyle p>1}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L_{\nu ,p}(R^{+})}$${\displaystyle 1<p\leq 2}$${\displaystyle \varphi (s)}$${\displaystyle L_{\nu ,q}(R^{+})}$${\displaystyle q=p/(p-1)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\nu -i\infty }^{\nu +i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$

ここでは、測度ゼロの集合を除いてどこでも同一の関数が識別されます。

両側ラプラス変換は次のように定義される。

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

これらの定理はこれにもすぐに適用できます。

• メリン変換
• ナフビンの定理

• Flajolet, P. ; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). 「メリン変換と漸近解析: 調和和」(PDF) .理論計算機科学. 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-E.
• McLachlan, NW (1953)。複素変数理論と変換計算。ケンブリッジ大学出版局。
• ポリアニン、AD; マンジロフ、AV (1998)。積分方程式ハンドブック。ボカラトン: CRC プレス。ISBN 0-8493-2876-4。
• Titchmarsh, EC (1948)。『フーリエ積分理論入門』（第2版）。オックスフォード大学出版局。
• Yakubovich, SB (1996)。インデックス変換。ワールドサイエンティフィック。ISBN 981-02-2216-5。
• Zemanian, AH (1968)。一般化積分変換。John Wiley & Sons。

• EqWorld: 数式の世界における積分変換の表。