セント（音楽）

セントは、音楽の音程を表すのに使用される対数の測定単位です。十二音平均律では、オクターブを100 セントずつの 12 の半音に分割します。通常、セントは小さな音程を表したり、イントネーションを確認したり、異なる調律システムで比較可能な音程の大きさを比較したりするために使用されます。人間にとって、1 セントは連続する音の間では認識できないほど小さいです。

アレクサンダー・ジョン・エリスが説明したセントは、17世紀にフアン・カラムエル・イ・ロブコヴィッツが始めた対数による音程測定の伝統に従っています。 ^{[a]エリスは}ロバート・ホルフォード・マクドウェル・ボサンケットの提案により、半音の100分の1、1200√2を測定の基準とすることを選択しました^。エリスは世界中の楽器を広範囲に測定し、使用された音階を報告および比較するためにセントを使用し、^[1]さらにヘルマン・フォン・ヘルムホルツの『音の感覚について』の1875年版でこのシステムを説明し、使用しました。これは音楽の音高と音程を表現および比較するための標準的な方法になりました。^{[2] [3]}

1885年に芸術協会誌に掲載されたアレクサンダー・ジョン・エリスの論文「各国の音楽音階について」^[1]は、各国の音楽音階を比較対照して研究する際に使用するセントシステムを公式に導入した。セントシステムはすでにエリスの著書「音楽の音高の歴史」で定義されており、エリスは次のように書いている。「隣り合う音符のペアが等音を形成すると仮定すると、その間に99の音が挟まれ、互いに正確に等間隔になるので、オクターブを1200の等音の100分の1に分割することになる。簡単に言うと、セントと呼ばれる。」 ^[4]

エリスは1880年の著書『音高の歴史』^[5]で音高を「音が聞こえる間、空気の粒子が毎秒行う二重または完全な振動の回数」と定義した。[6] 彼は後に音高を「特定の調律システムにおける他のすべての音高を決定する、任意の名前の付いた音高、またはV（「二重振動」の略）である」と定義した。[7] 彼は、これらの音が連続して鳴らされると楽器の音階を形成し、2つの^音の間隔は「小さい方の音高番号と大きい方の音高番号の比率、または大きい方の音高番号を小さい方の音高番号で割った分数」で測定されると述べている。^[8] 絶対音高と相対音高もこれらの比率に基づいて定義された。^[8]

エリスは、「調律師の目的は、楽器全体にわたって、隣接する2つの指のキーに対応する2つの音の間隔を正確に同じにすることです。その結果は平均律または調律と呼ばれ、現在ヨーロッパ全土で使用されているシステムです。 」と述べています。 ^[9]彼はさらに、セントでの比率の測定を近似するための計算を示し、「一般的なルールとして、最も近いセントの整数を超える必要はありません。」と付け加えています。^[10]

エリスはこの論文で、セント システムをさまざまな国の音階に適用している。これには、(I. 7 音階) 古代ギリシャと近代ヨーロッパ、^[11]ペルシャ、アラビア、シリア、スコットランド高地、^[12]インド、^[13]シンガポール、^[14]ビルマ^[15]とシャム、^[16] (II. 5 音階) 南太平洋、^[17]西アフリカ、^[18]ジャワ、^[19]中国^[20]と日本が含まれる。^[21]そして、彼は「音階は 1 つではなく、「自然」でもなく、ヘルムホルツによって見事に解明された音楽の音の構成法則に必ずしも基づいているわけでもなく、非常に多様で、非常に人工的で、非常に気まぐれである」という結論に達している。^[22]

セントは、2つの周波数の比率を表す単位です。平均律の半音（ピアノの2つの隣り合う鍵盤の間隔）は、定義上100セントです。オクターブ（周波数比が2:1の2つの音）は12半音、つまり1200セントです。1セント離れた周波数の比率は、 2 ^{1 ⁄ 1200} = ¹²⁰⁰ √ 2、つまり2の1200乗根に等しく、およそ1.000 577 7895。したがって、周波数を 1 セント上げることは、元の周波数にこの定数を掛けることに相当します。周波数を 1200 セント上げると、周波数は 2 倍になり、オクターブになります。

2 つの音の周波数と周波数がわかっている場合、からまでの間隔を測定するセント数は次のようになります。 ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}$

同様に、から までの区間のセント数がわかっている場合、 は次のようになります。 ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle f_{2}=f_{1}\times 2^{\frac {c}{1200}}\,.}$

純正律の長三度は周波数比が 5:4 または約 386 セントですが、平均律では 400 セントです。この 14 セントの差は半音の約 7 分の 1 であり、聞き取れるほどの大きさです。

xが0から1 ⁄ 12に増加すると、関数2 ^xはほぼ直線的に増加します。1.000 00から1.059 46となり、区分線形近似が可能である。したがって、セントは対数スケールを表すが、小さな間隔（100セント未満）は線形関係1 + 0.000 5946 は真の指数関係 2  ^{c ⁄ 1200}の代わりに使用されます。 が 0 または 100 のときは丸め誤差はゼロで、= 50 のときは約 0.72 セント高くなります (正しい値は 2 ^{1 ⁄ 24}  ≅ です )。${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$1.029 30は1 +で近似される 0.000 5946  × 50 ≅ 1.02973)。この誤差は人間の聞き取れる範囲をはるかに下回っており、この区分線形近似はほとんどの実用的な目的に適しています。

人間が何セントまで知覚できるかを確定することは困難であり、この精度は人によって大きく異なります。ある著者は、人間は約 5～6 セントのピッチの違いを区別できると述べています。^[23] 知覚できる閾値は、技術的にはJND ( Just Noticeable Difference ) として知られ、周波数、振幅、音色の関数として変化します。ある研究では、音質の変化により、適切な値から ±12 セントずれたピッチを音程外れとして認識する学生ミュージシャンの能力が低下しました。^[24] また、音調のコンテキストが増えると、リスナーがピッチをより正確に判断できることも判明しています。^[25]「数セント未満の音程はメロディックなコンテキストでは人間の耳には聞こえませんが、ハーモニーでは非常に小さな変化がビートやコードの粗さに大きな変化をもたらす可能性があります。」^[26]

ビブラートのかかった音程を聞くと、人間は平均周波数を音程の中心として知覚するという証拠がある。^[27]シューベルトのアヴェ・マリアの現代演奏に関するある研究では、ビブラートの幅は通常±34セントから±123セントの範囲で、平均は±71セントであり、ヴェルディのオペラアリアではより大きな変動が見られた。^[28]

正常な成人は25セントほどの小さな音程の違いを非常に確実に認識することができます。しかし、音楽失調症の成人は100セント未満の音程の違いを認識するのが難しく、時には100セント以上の音程の違いを認識するのに苦労します。^[29]

音程を対数で表す方法は、対数自体と同じくらい古いものです。対数は1614年にネイピア卿によって発明されました。 ^[30] 1647年には早くも、フアン・カラムエル・イ・ロブコヴィッツ（1606-1682）がアタナシウス・キルヒャーへの手紙の中で、音楽における底2の対数の使用について説明しています。^[31]この底では、オクターブは1で表され、半音は1/12で表されます。

ジョセフ・ソヴールは、1701 年の著書『音響と音楽の原理』で、おそらく表が利用可能だったため、10 進対数の使用を提案しました。彼は、小数点 3 桁で計算される対数を使用しました。10 進対数の 2 は約 0.301 に等しく、ソヴールはこれを 1000 倍して 1 オクターブの 301 単位を得ました。より扱いやすい単位にするために、彼は 7/301 を取って 1/43 オクターブの単位を得ることを提案しました。^[b]したがって、オクターブは 43 の部分に分割され、「メリド」と呼ばれ、さらに 7 つの部分に分割され、「ヘプタメリド」と呼ばれます。ソヴールは、各ヘプタメリドをさらに 10 に分割する可能性も考えましたが、実際にはそのような微細な単位は使用しませんでした。^[32]

フェリックス・サバール（1791-1841）はソヴールのシステムを引き継いだが、2の対数の小数点以下の桁数を制限しなかったため、彼の単位の値は資料によって異なる。小数点が5桁の場合、10を底とする2の対数は0.30103となり、1オクターブあたり301.03サバールとなる。^[33]この値は、1/301または1/300オクターブに丸められることが多い。^{[34] [35]}

19世紀初頭、ガスパール・ド・プロニーは、平均律における半音に相当する対数単位 を底とする単位を提案した。 ^[36]アレクサンダー・ジョン・エリスは1880年に、彼が記録または計算した多数のピッチ標準について記述しており、プロニーでは小数点第2位、つまり半音の1/100の精度で示し、基準点として採用した理論上のピッチ370Hzとの間隔を示した。^{[37 ]}${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$

センチトーン（またはイリング）は、音楽の音程（2 ^{1 ⁄ 600}）であり、2セント（2 ^{2 ⁄ 1200}）^{[39] [40]}に等しい。これは、ウィドガスト・イリングが著書『音楽における真の音程^』 （1898年）で1オクターブあたり600ステップとして提案し、後にジョセフ・ヤッセルが著書『進化する調性の理論』 （1932年）で平均律全音あたり100ステップとして提案した計測単位（演奏ⓘ）である。 ${\displaystyle {\sqrt[{600}]{2}}}$

アイリングは、グラード/ヴェルクマイスター（1.96セント、ピタゴラスコンマあたり12 ）とシズマ（1.95セント）がほぼ同じ（1オクターブあたり約614ステップ）であり、どちらも1オクターブあたり600ステップ（2セント）で近似できることに注目しました。^{[41]ヤッセルは}デシトーン、センチトーン、ミリトーン（全音あたり10、100、1000ステップ = 1オクターブあたり60、600、6000ステップ = 20、2、0.2セント）を推奨しました。 ^{[42] [43]}

例えば、平均律完全五度＝700セント＝175.6サバール＝583.3ミリオクターブ＝350センチトーン。^[44]

次のオーディオ ファイルは、さまざまな音程を再生します。いずれの場合も、最初に再生される音は中央の C です。次の音は、セントで指定された値だけ C より高くなります。最後に、2 つの音が同時に再生されます。

ピッチ差の JND は 5 ～ 6 セントであることに注意してください。別々に演奏すると、音に聞き取れる違いは見られませんが、一緒に演奏すると、うなり音が聞こえる場合があります (たとえば、中央の C と 10 セント高い音を演奏した場合)。特定の瞬間に、2 つの波形は、その瞬間の位相関係に応じて、多かれ少なかれ互いに強め合ったり打ち消したりします。ピアノ調律師は、2 本の弦を同時に鳴らしたときのうなり音のタイミングを測ることで、調律の正確さを検証できます。

^{中央の C とⓘ}より 1 セント上を演奏します。ビート周波数 = 0.16 Hz中央の C と^ⓘ
より 10.06 セント上を演奏します。ビート周波数 = 1.53 Hz^{中央の C とⓘ}
より 25 セント上を演奏します。ビート周波数 = 3.81 Hz

1セント間隔

正弦波は中央 C、中央 C 1 セントシャープで再生され、その後両方が同時に再生されます。

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12セント間隔

正弦波は中央 C、中央 C 12 セント高いところで再生され、その後両方が同時に再生されます。

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24セント間隔

正弦波は中央 C、中央 C 24 セント高くで再生され、その後両方が同時に再生されます。

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• セント換算: 整数比からセントへの変換 2017-04-22 にWayback Machineでアーカイブ[整数に丸め]
• セント換算: さまざまな機能を備えたオンラインユーティリティ