重ね合わせの原理

重ね合わせの原理[ ¹^]（重ね合わせの性質とも呼ばれる^）は、すべての線形システムにおいて、2つ以上の刺激によって引き起こされる正味の応答は、各刺激が個別に引き起こすであろう応答の合計であると述べている。したがって、入力Aが応答Xを生成し、入力Bが応答Yを生成する場合、入力( A + B )は応答( X + Y )を生成する。

関数 $F(x)$ 重ね合わせの原理を満たす関数は線形関数と呼ばれる。重ね合わせは、加法性と加法性の2つのより単純な性質によって定義できる。 $F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})$ 均質性 $F(ax)=aF(x)$ スカラー $a$ の場合。

この原理は、多くの物理システムを線形システムとしてモデル化できるため、物理学や工学において多くの応用例があります。例えば、梁は、入力刺激が梁にかかる荷重、出力応答が梁のたわみである線形システムとしてモデル化できます。線形システムの重要性は、数学的に解析しやすい点にあります。フーリエ変換やラプラス変換などの周波数領域線形変換法や線形作用素理論など、適用可能な数学的手法が豊富に存在します。ただし、物理システムは一般的に近似的に線形であるため、重ね合わせの原理は真の物理的挙動の近似にすぎません。

重ね合わせの原理は、代数方程式、線形微分方程式、およびそれらの形式の方程式系を含む、あらゆる線形システムに適用されます。刺激と応答は、数値、関数、ベクトル、ベクトル場、時間変動信号、または特定の公理を満たすその他のオブジェクトである可能性があります。ベクトルまたはベクトル場が関係する場合、重ね合わせはベクトル和として解釈されることに注意してください。重ね合わせが成り立つ場合、定義により、これらの関数に適用されるすべての線形演算（勾配、微分、積分など）についても自動的に成り立ちます（存在する場合）。

フーリエ解析および類似の方法との関連性

（線形システムにおいて）非常に一般的な刺激を、特定の単純な形式の刺激の重ね合わせとして記述することで、多くの場合、応答の計算が容易になる。

例えば、フーリエ解析では、刺激は無限に多くの正弦波の重ね合わせとして表されます。重ね合わせの原理により、これらの正弦波はそれぞれ個別に解析でき、個々の応答を計算することができます。（応答自体も正弦波であり、刺激と同じ周波数ですが、一般的に振幅と位相は異なります。）重ね合わせの原理によれば、元の刺激に対する応答は、個々の正弦波応答の総和（または積分）となります。

別の一般的な例として、グリーンの関数解析では、刺激は無限に多くのインパルス関数の重ね合わせとして表され、応答はインパルス応答の重ね合わせとして表されます。

フーリエ解析は、特に波動の解析によく用いられます。例えば、電磁気理論では、通常の光は平面波（周波数、偏光、方向が一定の波）の重ね合わせとして記述されます。重ね合わせの原理が成り立つ限り（多くの場合成り立ちますが、常に成り立つとは限りません。非線形光学を参照してください）、あらゆる光波の挙動は、これらのより単純な平面波の挙動の重ね合わせとして理解することができます。

波の重ね合わせ

波は通常、空間と時間におけるいくつかのパラメータの変化によって記述されます。例えば、水波では高さ、音波では圧力、光波では電磁場などが挙げられます。このパラメータの値は波の振幅と呼ばれ、波自体は各点における振幅を指定する関数です。

波動系においては、ある時点における波形は、波の発生源（すなわち、波を生成または影響を与える外部力）と系の初期条件の関数となります。多くの場合（例えば、古典的な波動方程式など）、波動を記述する方程式は線形です。このような場合、重ね合わせの原理を適用できます。つまり、同じ空間を伝播する2つ以上の波によって生じる正味の振幅は、個々の波がそれぞれ単独で生成する振幅の合計となります。例えば、互いに向かって伝播する2つの波は、反対側で歪みを生じることなく、互いにすれ違います。（上の図を参照。）

波の回折と波の干渉

波の重ね合わせに関して、リチャード・ファインマンは次のように書いています。^{[ 2 ]}

干渉と回折の違いを満足に定義できた人はこれまでいません。これは単に用語の使い方の問題であり、両者の間に明確な物理的差異はありません。大まかに言えば、干渉する光源が2つなど少数の場合、その結果は通常干渉と呼ばれますが、光源の数が多い場合は回折という言葉がより頻繁に使われるようです。

他の著者らは次のように詳しく述べている。^{[ 3 ]}

その違いは便宜上、慣習上のものです。重ね合わせる波が、例えば2つといった少数のコヒーレントな波源から発生する場合、その効果は干渉と呼ばれます。一方、重ね合わせる波が、波面を微小なコヒーレントな波（波源）に分割することによって発生する場合、その効果は回折と呼ばれます。つまり、この2つの現象の違いは程度の問題に過ぎず、基本的には重ね合わせ効果の2つの極限的なケースなのです。

また別の情報源も同意している：^{[ 4 ]}

ヤングが観測した干渉縞は二重スリットの回折パターンであったため、この章［フラウンホーファー回折］は第8章［干渉］の続きである。一方、光学者でマイケルソン干渉計を回折の例として考える人はほとんどいないだろう。回折の重要なカテゴリーのいくつかは、波面の分割に伴う干渉に関係しているため、ファインマンの観測は、振幅の分割と波面の分割を区別することの難しさをある程度反映している。

波の干渉

波の干渉現象はこの考えに基づいています。2つ以上の波が同じ空間を通過するとき、各点における正味の振幅は、個々の波の振幅の合計になります。ノイズキャンセリングヘッドホンなどの場合、合計された振幅は個々の波の振幅よりも小さくなります。これは破壊的干渉と呼ばれます。一方、ラインアレイなどの場合、合計された振幅は個々の波の振幅よりも大きくなります。これは建設的干渉と呼ばれます。

緑色の波が右方向に伝播し、青色の波が左方向に伝播する場合、各地点における赤色の波の正味振幅は、個々の波の振幅の合計になります。

線形性からの逸脱

ほとんどの現実的な物理現象において、波動を支配する方程式は近似的に線形であるに過ぎません。このような場合、重ね合わせの原理は近似的にしか成り立ちません。一般的に、波動の振幅が小さくなるにつれて、近似の精度は向上する傾向があります。重ね合わせの原理が厳密には成り立たない場合に生じる現象の例については、「非線形光学」および「非線形音響」の記事を参照してください。

量子重ね合わせ

量子力学では、特定の種類の波がどのように伝播し、どのように振る舞うかを計算することが主要な課題です。波は波動関数によって記述され、その振る舞いを支配する方程式はシュレーディンガー方程式と呼ばれます。波動関数の振る舞いを計算する主要なアプローチは、それを特定の種類の他の波動関数（振る舞いが特に単純な定常状態）の重ね合わせ（「量子重ね合わせ」と呼ばれる）として記述することです。シュレーディンガー方程式は線形であるため、重ね合わせの原理によって元の波動関数の振る舞いをこのように計算できます。^[⁵^]

量子力学的状態空間の射影的な性質は、量子力学的状態が射影ヒルベルト空間における光線であってベクトルではないため、いくらか混乱を招きます。ディラックによれば、「ある状態に対応するケットベクトルにゼロ以外の任意の複素数を乗じると、結果として得られるケットベクトルは同じ状態に対応する」^[⁶^] 。しかし、重ね合わせ光線を構成する2つの光線の和は定義されていません。そのため、ディラック自身は、例えばケットベクトルを分解または分割するために、状態のケットベクトル表現を使用しています。 $|\psi _{i}\rangle$ 成分ケットベクトルの重ね合わせへ $|\phi _{j}\rangle$ として： $|\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,$ どこで $C_{j}\in {\textbf {C}}$ の同値類 $|\psi _{i}\rangle$ 相対位相に明確な意味を与えることができる $C_{j}$ ., ^{[ 7 ]}しかし絶対値 (すべての $C_{j}$ ）相変化 $C_{j}$ 同値類には影響しない $|\psi _{i}\rangle$ 。

このページの主な箇所で示されている重ね合わせと量子重ね合わせの間には、正確な対応関係が存在します。例えば、2準位量子力学系（キュービット）の純粋状態を表すブロッホ球は、様々な種類の古典的な純粋偏光状態を表すポアンカレ球としても知られています。

しかしながら、量子重ね合わせの話題に関して、クレイマーズは次のように書いています。「[量子]重ね合わせの原理は、古典物理学には類例がありません」。ディラックによれば、「量子力学で起こる重ね合わせは、古典理論で起こる重ね合わせとは本質的に異なる性質のものです[原文ではイタリック体]」。^[⁸^] ディラックの推論には観測の原子性が含まれていますが、位相に関しては、実際には時間並進対称性から導かれる位相並進対称性を意味しており、これは古典的な偏光状態について上で示したように、古典的な状態にも適用できます。

境界値問題

境界値問題の一般的なタイプは、（抽象的に言えば）ある方程式を満たす関数yを見つけることである。 $F(y)=0$ 境界指定を伴う $G(y)=z.$ 例えば、ディリクレ境界条件を持つラプラス方程式では、F は領域R内のラプラシアン演算子、G はy をRの境界に制限する演算子、z はRの境界上でy が等しくなければならない関数となります。

FとGが両方とも線形演算子である場合、重ね合わせの原理によれば、最初の方程式の解の重ね合わせは、最初の方程式の別の解となる。 $F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,$ 境界値は重ね合わされる。 $G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2})。$ これらの事実を利用して、最初の方程式の解のリストを作成できれば、それらの解を慎重に重ね合わせることで、2番目の方程式を満たすようにすることができます。これは、境界値問題に取り組む一般的な方法の1つです。

加法状態分解

単純な線形システムを考えてみましょう。 ${\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.$

重ね合わせの原理により、システムは以下のように分解できる。 ${\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}$ と $x=x_{1}+x_{2}.$

重ね合わせの原理は線形システムにのみ適用可能です。しかし、加法状態分解は線形システムと非線形システムの両方に適用できます。次に、非線形システムを考えてみましょう。 ${\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},$ どこ $\phi$ これは非線形関数です。加法状態分解により、システムは次のように加法分解できます。 ${\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}$ と $x=x_{1}+x_{2}.$

この分解は、コントローラの設計を簡素化するのに役立ちます。

その他の応用例

電気工学において、線形回路では、入力（印加される時間変化する電圧信号）は、出力（回路内の任意の場所における電流または電圧）と線形変換によって関連付けられます。したがって、入力信号の重ね合わせ（つまり和）は、応答の重ね合わせを生み出します。
物理学において、マクスウェル方程式は、電荷と電流の（時間的に変化する可能性のある）分布が、線形変換によって電場と磁場と関連付けられることを示唆している。したがって、重ね合わせの原理を用いることで、与えられた電荷と電流の分布から生じる場の計算を簡略化することができる。この原理は、熱方程式など、物理学で生じる他の線形微分方程式にも適用できる。
工学では、重ね合わせ法は、影響が線形である場合（つまり、各荷重が他の荷重の結果に影響を与えず、各荷重の影響が構造システムの形状を大きく変化させない場合）に、複合荷重による梁や構造物のたわみを解くために使用されます。[ ^{9 ]モード}重ね合わせ法は、固有振動数とモード形状を使用して、線形構造の動的応答を特徴付けます。^{[ 10 ]}
水文地質学において、重ね合わせの原理は、理想的な帯水層で揚水を行う2つ以上の井戸の水位低下に適用される。この原理は、解析要素法において、単一のモデルに組み合わせ可能な解析要素を開発するために用いられる。
プロセス制御において、重ね合わせの原理はモデル予測制御に用いられる。
重ね合わせの原理は、非線形システムの既知の解からの小さなずれを線形化によって解析する場合に適用できます。

歴史

レオン・ブリルアンによれば、重ね合わせの原理は1753年にダニエル・ベルヌーイによって初めて提唱された。「振動系の一般的な運動は、その固有振動の重ね合わせによって与えられる」。この原理はレオンハルト・オイラー、そしてジョセフ・ラグランジュによって否定された。ベルヌーイは、あらゆる共鳴体は明確な振動周波数を持つ一連の単純モードで振動できると主張した。彼が以前に示唆したように、これらのモードは重ね合わせることでより複雑な振動を生み出すことができる。オイラーはベルヌーイの回想録に対する反応の中で、振動する弦の問題の物理的側面を最もよく発展させた同僚を称賛したが、多モード解の一般性と優位性を否定した。^{[ 11 ]}

その後、主にジョセフ・フーリエの研究を通じて受け入れられるようになった。^{[ 12 ]}

参考文献

↑ペンギン物理学辞典、ヴァレリー・イリングワース編、1991年、ペンギンブックス、ロンドン。
↑『物理学講義』第1巻、1963年、30-31ページ、アディソン・ウェスリー出版、マサチューセッツ州レディング
↑ NK VERMA、『エンジニアのための物理学』、PHI Learning Pvt. Ltd.、2013年10月18日、361ページ。
↑ティム・フリーガード著『波動の物理学入門』、ケンブリッジ大学出版局、2012年11月8日。
↑量子力学、クレイマーズ著、HA出版社ドーバー、1957年、62ページISBN 978-0-486-66772-0
↑ディラック、PAM (1958)。『量子力学の原理』第4版、オックスフォード、英国：オックスフォード大学出版局、p. 17。
↑ Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "量子力学における幾何学的位相の理解：初歩的な例". Foundations of Physics . 23 (2): 185–195 . Bibcode : 1993FoPh...23..185S . doi : 10.1007/BF01883623 . S2CID 121930907 .
↑ディラック、PAM (1958)。『量子力学の原理』第4版、オックスフォード、英国：オックスフォード大学出版局、p. 14。
↑機械工学設計、ジョセフ・エドワード・シグリー、チャールズ・R・ミシュケ、リチャード・ゴードン・ブディナス著、2004年マグロウヒル・プロフェッショナル出版、192ページ、 ISBN 0-07-252036-1
↑有限要素法、Bathe, KJ、Prentice-Hall、Englewood Cliffs、1996年、785ページISBN 0-13-301458-4
↑波動伝播の数値解析に関するトピックス、バスク応用数学センター、2012年、スペイン、 39ページ
↑ブリルアン、L. (1946).周期構造における波動伝播：電気フィルターと結晶格子、マグロウヒル、ニューヨーク、p. 2。

さらに読む

ハーバーマン、リチャード（2004）。応用偏微分方程式。プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-065243-0。
音波の重ね合わせ

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある重ね合わせの原理に関連するメディア
Wiktionaryにおける「干渉」の辞書定義

[1] ペンギン物理学辞典、ヴァレリー・イリングワース編、1991年、ペンギンブックス、ロンドン。

[2] 『物理学講義』第1巻、1963年、30-31ページ、アディソン・ウェスリー出版、マサチューセッツ州レディング

[3] NK VERMA、『エンジニアのための物理学』、PHI Learning Pvt. Ltd.、2013年10月18日、361ページ。

[4] ティム・フリーガード著『波動の物理学入門』、ケンブリッジ大学出版局、2012年11月8日。

[QuaMech-5] 量子力学、クレイマーズ著、HA出版社ドーバー、1957年、62ページISBN 978-0-486-66772-0

[6] ディラック、PAM (1958)。『量子力学の原理』第4版、オックスフォード、英国：オックスフォード大学出版局、p. 17。

[7] Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "量子力学における幾何学的位相の理解：初歩的な例". Foundations of Physics . 23 (2): 185–195 . Bibcode : 1993FoPh...23..185S . doi : 10.1007/BF01883623 . S2CID 121930907 .

[8] ディラック、PAM (1958)。『量子力学の原理』第4版、オックスフォード、英国：オックスフォード大学出版局、p. 14。

[9] 機械工学設計、ジョセフ・エドワード・シグリー、チャールズ・R・ミシュケ、リチャード・ゴードン・ブディナス著、2004年マグロウヒル・プロフェッショナル出版、192ページ、 ISBN 0-07-252036-1

[10] 有限要素法、Bathe, KJ、Prentice-Hall、Englewood Cliffs、1996年、785ページISBN 0-13-301458-4

[11] 波動伝播の数値解析に関するトピックス、バスク応用数学センター、2012年、スペイン、 39ページ

[12] ブリルアン、L. (1946).周期構造における波動伝播：電気フィルターと結晶格子、マグロウヒル、ニューヨーク、p. 2。

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