加法状態分解

加法状態分解は、システムを元のシステムと同じ次元を持つ2 つ以上のサブシステムに分解するときに発生します。 ^[¹^]^[²^]制御分野でよく使用される分解は、システムを 2 つ以上の低次サブシステムに分解することであり、ここでは低次サブシステム分解と呼びます。これに対し、加法状態分解は、システムを元のシステムと同じ次元を持つ 2 つ以上のサブシステムに分解することです。^[³^]

例えばシステム $Pを考えると、それは 2 つのサブシステム$ $P p$ と $P s$ に分解され、それぞれ $dim(P p) = n p$ および $dim(P s) = n s$ となります。低次のサブシステム分解は以下を満たします。

n=n_{p}+n_{s}{\text{ および }}P=P_{p}\oplus P_{s}

対照的に、加法状態分解は以下を満たす。

n=n_{p}=n_{s}{\text{ および }}P=P_{p}+P_{s}

動的制御システムについて

次のような「オリジナル」システムを考えてみましょう。

どこ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 。

まず、元のシステムと同じ次元を持つ「プライマリ」システムを導入します。

どこ $x_{p}\in \mathbb {R} ^{n}.$

元のシステムとプライマリシステムから、以下の「セカンダリ」システムが導き出される。

{\dot {x}}-{\dot {x}}_{p}=f(t,x,u)-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x(0)=x_{0}

新しい変数 $x_{s}\in \mathbb {R} ^{n}$ 以下のように定義されます。

すると、二次システムは次のようにさらに記述できる。

定義（３）より、

x(t)=x_{p}(t)+x_{s}(t),

t\geq 0.

そのプロセスは、この図に示されています。

例

例１

実際、加法状態分解の概念は、既存の文献で暗黙のうちに言及されている。既存の例としては、誤差ダイナミクスを導出するために参照システムを必要とするトラッキングコントローラの設計が挙げられる。参照システム（プライマリシステム）は、次のように与えられると仮定される。

{\dot {x}}_{r}=f(t,x_{r},u_{r}),

x_{r}(0)=x_{r,0}

基準システムに基づいて、誤差ダイナミクス（二次システム）は次のように導出される。

{\dot {x}}_{e}=f(t,x_{e}+x_{r},u)-f(t,x_{r},u_{r}),

x_{e}(0)=x_{0}-x_{r,0}

どこ $x_{e}=x-x_{r}$

これは、適応制御を用いる際に、追跡問題を安定化問題に変換するためによく用いられる手順です。

例２

次のようなシステム群を考えてみましょう。

（５）を元のシステムとして選択し、プライマリシステムを以下のように設計する。

すると、二次システムは規則（4）によって決定される。

加法状態分解により

e(t)=e_{p}(t)+e_{s}(t)

以来

\|e(t)\|\leq \|e_{p}(t)\|+\|e_{s}(t)\|

追跡誤差 $e (t)は$ $、$ $e p (t)$ と $e s (t)$ を別々に解析することができます。e p ( t ) と e s ( t ) が有界かつ小さい場合 $、 e (t$ ) $も同様に有界かつ$ 小さい値となります $。幸いなこと$ に、( 6 ) は線形時不変システムであり、二次システム ( 7 ) とは独立していることに注意してください。二次システム ( 7 ) の解析には、伝達関数などの多くのツールが利用可能です。対照的に、伝達関数ツールは、時間変動する元のシステム ( 5 ) に直接適用することはできません。

例３

次のような非線形システムのクラスを考えてみましょう。

ここで $、x 、 y 、 uは$ それぞれ状態、出力、入力を表し、関数 $φ （•）$ は非線形です。目的は、 $t$ $\to \infty$ のとき $y$ $-$ $r$ $\to 0$ となるように $u を$ 設計することです。( 8 )を元のシステムとして選択し、プライマリシステムを次のように設計します。

すると、二次システムは規則（4）によって決定される。

ここで、 $u s = u p$ です。すると、 $x = x p + x s$ および $y = y p + y s$ となります。ここで、タスク $y p \to 0$ は線形時不変システム ( 9 ) に割り当てられます (線形時不変システムは非線形システムよりも単純です)。一方、タスク $x s \to 0は$ 非線形システム( 10 )に割り当てられます(安定化制御問題は追跡問題よりも単純です)。2 つのタスクが達成されると、 $y = y p + y s \to 0$ となります。基本的な考え方は、元のシステムを、より単純なサブタスクを担当する 2 つのサブシステムに分解することです。次に、2 つのサブタスクのコントローラを設計し、最後にそれらを組み合わせて元の制御タスクを達成します。このプロセスは次の図に示されています。

重ね合わせの原理との比較

加法状態分解を暗黙的に用いるよく知られた例として、物理学や工学で広く用いられている重ね合わせの原理があります。重ね合わせの原理は、すべての線形システムにおいて、ある場所と時間における2つ以上の刺激によって引き起こされる正味の応答は、それぞれの刺激が個別に引き起こすであろう応答の合計に等しい、と述べています。単純な線形システムの場合：

{\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})

、

x(0)=0

重ね合わせの原理の記述は、 $x = x p + x s$ を意味する。

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+Bu_{1},x_{p}(0)=0

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+Bu_{2},x_{s}(0)=0

明らかに、この結果は加法状態分解からも導き出すことができる。さらに、重ね合わせの原理と加法状態分解の間には以下の関係がある。表1から、加法状態分解は線形システムだけでなく非線形システムにも適用できることがわかる。

アプリケーション

加法状態分解は安定化制御に使用され、^{[ 4 ]}加法出力分解に拡張できます。^{[ 5 ]}

参考文献

↑ Olof Staffans (2005年2月24日). Well-Posed Linear Systems . Cambridge University Press. pp. 13 –. ISBN 978-0-521-82584-9。
↑異種環境におけるサービス品質の提供。エルゼビア。626ページ以降。ISBN 978-0-444-51455-4。
↑ David Eisenbud (1999年7月1日). Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computational Methods . Springer Singapore. pp. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0。
↑ Quan Quan、Guangxun Du、Kai-Yuan Cai。「不確実MIMOシステムの一種に対する加算状態分解動的逆安定化制御」、 https://arxiv.org/abs/1211.6821
↑ Quan Quan、Kai-Yuan Cai。「ある種の不確実線形時不変システムに対する加算出力分解に基づく動的逆追従制御」、第51回IEEE意思決定および制御会議、2012年、米国ハワイ州マウイ島、2866～2871頁。

さらに読む

Quan, Quan および Kai-Yuan Cai (2009). 「加法分解とその内部モデルベース追跡への応用」.第 48 回 IEEE 意思決定および制御会議と第 28 回中国制御会議の合同会議、上海、中国。817–822。
Quan Quan、Hai Lin、Kai-Yuan Cai (2014)「不確実システムの一種に対する加法状態分解による出力フィードバック追跡制御」International Journal of Systems Science 45 (9): 1799–1813。
Quan Quan、Kai-Yuan Cai、Hai Lin (2015)「測定可能な非線形性と未知の外乱を持つ非最小位相システムの一種に対する加法状態分解に基づく追跡制御フレームワーク」International Journal of Robust and Nonlinear Control 25 (2):163–178
Quan Quan、Lu Jiang、Kai-Yuan Cai。「加法状態分解によるある種の非線形システムに対する離散時間出力フィードバックロバスト反復制御」

[Staffans2005-1] Olof Staffans (2005年2月24日). Well-Posed Linear Systems . Cambridge University Press. pp. 13 –. ISBN 978-0-521-82584-9。

[2] 異種環境におけるサービス品質の提供。エルゼビア。626ページ以降。ISBN 978-0-444-51455-4。

[Eisenbud1999-3] David Eisenbud (1999年7月1日). Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computational Methods . Springer Singapore. pp. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0。

[4] Quan Quan、Guangxun Du、Kai-Yuan Cai。「不確実MIMOシステムの一種に対する加算状態分解動的逆安定化制御」、 https://arxiv.org/abs/1211.6821

[5] Quan Quan、Kai-Yuan Cai。「ある種の不確実線形時不変システムに対する加算出力分解に基づく動的逆追従制御」、第51回IEEE意思決定および制御会議、2012年、米国ハワイ州マウイ島、2866～2871頁。

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例

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例２

例３

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