非線形音響

非線形音響学(NLA) は、十分に大きな振幅の音波を扱う物理学と音響学の分野です。振幅が大きい場合、流体力学(液体と気体の音波) と弾性(固体の音波) の支配方程式の完全なシステムを使用する必要があります。これらの方程式は一般に非線形であり、従来の線形化は不可能です。これらの方程式の解は、非線形性の影響により、音波が伝わるときに歪んでいることを示しています。

音波は、局所的な圧力変化として物質中を伝播します。ガスまたは流体の圧力が増加すると、その局所的な温度が上昇します。圧縮性物質内の局所的な音速は温度とともに増加します。その結果、振動の高圧段階の方が低圧段階よりも波の伝播速度が速くなります。これは波の周波数構造に影響します。たとえば、最初は単一周波数の単純な正弦波の場合、波のピークは谷よりも速く伝播し、パルスは累積的に鋸歯状波に似たものになります。言い換えると、波自体が歪むのです。その際に、フーリエ級数で記述できる他の周波数成分が導入されます。この現象は非線形システムの特徴です。線形音響システムは駆動周波数にのみ応答するためです。これは常に発生しますが、幾何学的広がりと吸収の効果が通常は自己歪みを克服するため、通常は線形動作が優勢となり、非線形音響伝播は非常に大きな振幅でのみ、音源の近くでのみ発生します。

さらに、異なる振幅の波は異なる圧力勾配を生成し、非線形効果に寄与します。

媒体内の圧力変化により、波のエネルギーは高調波に伝達されます。減衰は一般に周波数とともに増加するため、距離に応じて非線形効果の性質を変える反作用が存在します。非線形性のレベルを表すために、材料には非線形性パラメータ が与えられます。およびの値は、材料の圧力と密度を関連付ける式のテイラー級数展開の 1 次項と 2 次項の係数です。テイラー級数にはより多くの項があり、したがってより多くの係数 (C、D、...) がありますが、それらはめったに使用されません。生物学的媒体における非線形性パラメータの一般的な値を次の表に示します。^[1]${\displaystyle B/A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

液体では通常、 と呼ばれる修正係数が使用されます。 ${\displaystyle \beta =1+{\frac {B}{2A}}}$

連続：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0}$

運動量保存則:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}}{\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right) +\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\textbf {u}})}$

密度に関するテイラー 摂動展開:

${\displaystyle \rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}}$

ここで、ε は小さなパラメータ、つまり摂動パラメータであり、状態方程式は次のようになります。

${\displaystyle p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)}$

圧力のテイラー展開における第 2 項を削除すると、粘性波動方程式を導くことができます。第 2 項を保持すると、圧力の非線形項が Westervelt 方程式に現れます。

2次までの非線形性を考慮した一般的な波動方程式は、ウェスターベルト方程式^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle \,\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta }{c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}}$

ここで、は音圧、は小信号音速、は音拡散率、は非線形係数、は周囲密度です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \rho_{0}}$

音の拡散率は次のように表される。

${\displaystyle \,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)}$

ここで、はそれぞれせん断粘度、体積粘度、熱伝導率、定積・定圧比熱です。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu_{B}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c_{v}}$${\displaystyle c_{p}}$

ウェスターベルト方程式は、厳密に前方伝播する波動を仮定し、遅延時間枠への座標変換を使用することで、1次元の形に簡略化することができます。^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}}$

ここで は遅れ時間です。これは粘性バーガース方程式に対応します。 ${\displaystyle \tau =t-z/c_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}$

圧力場（y=p）では数学的な「時間変数」を持ちます。

${\displaystyle t'={\frac {z}{c_{0}}}}$

そして「スペース変数」を使用すると:

${\displaystyle x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau }$

負の拡散係数：

${\displaystyle d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta }$。

バーガース方程式は、進行波の伝播に対する非線形性と損失の複合効果を記述する最も単純な方程式です。

指向性音波における非線形性、回折、吸収の複合効果を考慮したバーガース方程式の拡張は、レム・コフロフ、エフゲニア・ザボロツカヤ、VP・クズネツォフにちなんで名付けられたコフロフ・ザボロツカヤ・クズネツォフ（KZK）方程式によって記述されます。^[4]この方程式の解は、一般に非線形音響をモデル化するために使用されます。

軸が音波の進路方向にあり、平面がそれに垂直である場合、KZK方程式は次のように表される^[5]。${\displaystyle z}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

この方程式は、有限差分法を使用して特定のシステムに対して解くことができます。このような解は、音波が非線形媒体を通過するときにどのように歪むかを示します。

大気の非線形挙動により、ソニックブームの波形が変化します。一般的に、高振幅のピークが波面に移動するため、ソニックブームはより「鋭く」、または突然になります。

音響浮上は非線形音響現象なしには不可能である。^[6]非線形効果は、高出力の音波が関与しているため特に顕著である。

超音波は、振幅と波長の比が比較的高いため、一般に非線形伝播挙動を示します。たとえば、非線形音響は、より優れた画質を生み出すために利用できるため、 医療用超音波検査の関心分野です。

音楽音響の物理的挙動は主に非線形である。物理モデリング合成から音響生成をモデル化し、非線形性の測定から音響をエミュレートする試みがなされている。 ^[7]

パラメトリックアレイは、高周波音波の混合と相互作用を通じて、狭く、ほぼサイド ローブのない低周波音ビームを生成する非線形変換メカニズムです。用途としては、水中音響やオーディオなどがあります。

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