カジダンの財産（T）

数学において、局所コンパクト 位相群 G は、自明な表現がフェル位相を備えたユニタリ双対内の孤立点である場合に、特性 (T)を持ちます。非公式には、これは、G がヒルベルト空間上でユニタリに作用し、「ほぼ不変なベクトル」を持つ場合、非ゼロの不変ベクトルを持つことを意味します。David Kazhdan (1967)によって導入された正式な定義は、これに正確で定量的な意味を与えます。

もともと既約表現の観点から定義されていたが、特性 (T) は、ユニタリ双対に関する明示的な知識がほとんどまたは全くない場合でも、多くの場合チェックできる。特性 (T) は、群表現論、局所体上の代数群の格子、エルゴード理論、幾何群論、展開子、作用素代数、およびネットワーク理論に重要な応用がある。

G をσ コンパクト、局所コンパクト位相群とし、 π : G → U ( H ) を（複素）ヒルベルト空間H上のGの ユニタリ表現とする。 ε > 0 かつKがGのコンパクト部分集合である場合、 Hの単位ベクトル ξ は、次の式が成り立つとき、(ε, K ) 不変ベクトルと呼ばれる。

${\displaystyle \forall g\in K\ :\ \left\|\pi (g)\xi -\xi \right\|<\varepsilon .}$

Gに関する以下の条件はすべて、 G がKazhdanの特性 (T)を持つこと と同等であり、いずれも特性 (T) の定義として使用できます。

(1)自明な表現は、フェル位相を持つGのユニタリ双対の孤立点である。

(2)コンパクト部分集合上で一様1に収束するG上の連続 正定値関数の任意の列は、G上で一様1に収束する。

(3)任意のε > 0および任意のコンパクト部分集合Kに対して(ε, K )不変単位ベクトルを持つGのすべてのユニタリ表現は、非ゼロの不変ベクトルを持つ。

(4) ε > 0とGのコンパクト部分集合Kが存在し、(ε, K )不変単位ベクトルを持つGのすべてのユニタリ表現は非ゼロの不変ベクトルを持つ。

（５）実ヒルベルト空間上のGの連続アフィン 等長 作用はすべて不動点を持つ（性質（FH））。

H がGの閉部分群である場合、 ε > 0 とGのコンパクト部分集合K が存在し、Gのユニタリ表現が(ε, K )不変単位ベクトルを持つときは常に、 Hによって固定された非ゼロベクトルを持つとき、ペア ( G 、 H )はMargulisの相対的性質 (T) を持つと言われます。

定義(4)は明らかに定義(3)を含意する。逆を示すために、Gを(3)を満たす局所コンパクト群とし、矛盾により、すべてのKとεに対して、( K ,ε)不変単位ベクトルを持ち、不変ベクトルを持たないユニタリ表現が存在すると仮定する。そのような表現すべての直和を見ると、(4)は否定される。

(4)と(5)の同値性(性質(FH))はデローム-ギシャルデ定理である。(5)が(4)を意味するという事実は、Gがσコンパクト(かつ局所コンパクト)であるという仮定を必要とする(Bekka et al.、定理2.12.4)。

• 性質 (T) は商の下で保存されます。つまり、G が性質 (T) を持ち、H がGの商群である場合、H は性質 (T) を持ちます。同様に、群Gの準同型像が性質 (T) を持たない場合、 G自体も性質 (T) を持ちません。
• G が特性 (T) を持つ場合、 G /[ G , G ] はコンパクトです。
• 性質(T)を持つ任意の可算離散群は有限生成である。
• 性質 (T) を持つ従順な群は必然的にコンパクトです。従順性と性質 (T) は大まかに言えば反対です。つまり、ほぼ不変なベクトルを見つけやすくしたり、見つけにくくしたりします。
• カジュダンの定理: Γ がリー群G の格子である場合、 Gが特性 (T) を持つ場合のみ、Γ は特性 (T) を持ちます。したがって、 n ≥ 3 の場合、特殊線型群 SL( n , Z ) は特性 (T) を持ちます。

• コンパクト位相群は性質(T)を持つ。特に、円群、 p進整数の加法群Z _p 、コンパクト特殊ユニタリ群SU( n )、およびすべての有限群は性質(T)を持つ。
• 実階数が2以上の単純実リー群は性質(T)を持つ。この群族には、n≥3の特殊線型群SL( n , R ) 、 p > q≥2の特殊直交群SO( p , q ) 、 p≥3のSO( p , p )が含まれる。より一般的には、これは局所体上の階数が2以上の単純代数群に対して成り立つ。
• ペア( R ⁿ ⋊ SL( n , R ), R ⁿ )とペア( Z ⁿ ⋊ SL( n , Z ), Z ⁿ )は、 n ≥ 2に対して相対的な性質(T)を持ちます。
• n ≥ 2の場合、シグネチャ ( n , 1) の四元数エルミート形式の等長写像の非コンパクト リー群 Sp( n , 1 ) は、特性(T) を持つ実数階数 1 の単純リー群です。Kazhdan の定理により、この群の格子は特性 (T) を持ちます。この構成は、これらの格子が双曲群であるため重要です。したがって、双曲的で特性 (T) を持つ群が存在します。このカテゴリの群の明示的な例は、Sp( n , 1) の算術格子と特定の四元数反射群によって提供されます。

特性（T）を持た ないグループの例としては、

• 整数Z、実数R、p進数Q _pの加法群。
• 特殊線型群 SL(2, Z ) と SL(2, R ) は、自明な表現の近くに相補級数表現が存在する結果として生じるが、SL(2, Z ) は主合同部分群に関して特性 (τ) を持つ (セルバーグの定理による)。
• 非コンパクトな可解群。
• 非自明な自由群と自由アーベル群。

歴史的に、離散群 Γ の特性 (T) は、特性 (T) を持つ実数または p 進リー群に格子として埋め込むことによって確立されました。現在では、いくつかの直接的な方法が利用可能です。

• シャロームの代数的方法は、Γ = SL( n , R ) でR が環であり、n ≥ 3 の場合に適用されます。この方法は、Γ が有界生成可能であること、つまり、1 つの特定の非対角位置で単位行列と異なる行列で構成される基本部分群などのより簡単な部分群の有限積として表現できることに依存しています。
• 幾何学的手法は、ガーランド、グロモフ、ピエール・パンスーのアイデアに由来する。最も単純な組み合わせバージョンはズークによるものである。Γ を有限部分集合Sによって生成される離散群とし、逆集合を取りつつ閉じており単位元を含まないものとし、g ⁻¹ h がS内にあるときは常に、頂点Sとgとh の間に辺を持つ有限グラフを定義する。このグラフが連結であり、対応する単純ランダムウォークのラプラシアンの最小の非ゼロ固有値が⁠より大きい場合、1/2⁠の場合、Γ は特性 (T) を持ちます。Zuk と Ballmann & Swiatkowski (1997) によるより一般的な幾何学的バージョンでは、離散群 Γ が、各頂点のリンクに同じグラフ理論的条件が設定された、収縮可能な2 次元単体複体に対して適切に不連続かつココンパクトに作用する場合、Γ は特性 (T) を持ちます。この方法を使用すると、特性 (T) を持つ双曲群の多くの新しい例を示すことができます。
• コンピュータ支援による方法は、小沢成隆の提案に基づいており、複数の研究者によって実装され、成功しています。これは、実群代数の不等式による特性 (T) の代数的特徴付けに基づいており、半正定値計画問題をコンピュータ上で数値的に解くことで、その解を見つけることができます。特に、この方法は、ランクが少なくとも 5 の自由群の自己同型群について特性 (T) を確認しました。この結果に対する人間による証明は知られていません。

• グリゴリー・マルグリスは、 SL( n , Z )( n≥3 )が特性(T)を持つという事実を利用して、拡張グラフの明示的な族を構築した。拡張グラフとは、すべての部分集合が均一な大きさの「境界」を持つという特性を持つグラフのことである。この関係から、カジダン定数の明示的な推定値を与え、特定のグループと生成集合の特性(T)を定量化する最近の多くの研究が生まれた。
• アラン・コヌは、 (T) の性質を持つ離散群を使用して、特に正の実数全体ではなく可算基本群を持つタイプ II ₁因子の例を見つけました。ソリン・ポパはその後、離散群の相対的性質 (T) を使用して、自明な基本群を持つタイプ II ₁因子を生成しました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
• 性質(T)を持つ群はセールの性質FAも持つ。^[1]
• 砂田俊一は、閉多様体上の「ねじれた」ラプラシアンのスペクトルの底の正値は、基本群の特性 (T) に関連していることを観察しました。^[2]この観察から、ブルックスの結果が導かれ、閉リーマン多様体M上の普遍被覆多様体上のラプラシアンのスペクトルの底は、 Mの基本群が従順である場合に限り、ゼロに等しいとされています。^[3]

• Ballmann, W.; Swiatkowski, J. (1997)、「多面体セル複合体の自己同型群のL ^{2コホモロジーと特性 (T)」、} GAFA、7 (4): 615–645、CiteSeerX  10.1.1.56.8641、doi :10.1007/s000390050022
• ベッカ、バシール。ド・ラ・ハルプ、ピエール。 Valette, Alain (2008)、Kazhdan's property (T) (PDF)、New Mathematical Monographs、vol. 11、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88720-5、MR  2415834
• デ・ラ・ハープ、P. Valette, A. (1989)、「La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement Compactes (M. Burger による付録付き)」、Asterisque、175。
• カズダン、D. (1967)、「群の双対空間とその閉部分群の構造との関連について」、関数解析とその応用、1 (1): 63–65、doi :10.1007/BF01075866MR0209390​
• Lubotzky , A. (1994)、「離散群、グラフの拡張、不変測度」、Progress in Mathematics、第125巻、バーゼル：Birkhäuser Verlag、ISBN 978-3-7643-5075-8
• Lubotzky、A. および A. Zuk、「τ 特性について」、モノグラフが出版予定。
• Lubotzky , A. (2005)、「プロパティ（τ）とは何か」（PDF）、AMS Notices、52（6）：626–627。
• Shalom, Y. (2006)、「性質の代数化 (T)」(PDF)、国際数学者会議マドリッド 2006
• Zuk、A. (1996)、「La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les Polyèdres」、CR Acad。科学。パリ、323 : 453–458。
• Zuk, A. (2003)、「離散群の特性 (T) と Kazhdan 定数」、GAFA、13 (3): 643–670、doi :10.1007/s00039-003-0425-8。