境界生成群

数学では、 群が巡回部分群 の有限積として表現できる場合、その群は有界生成群と呼ばれます。有界生成群の性質は、合同部分群問題とも密接に関係しています(Lubotzky & Segal 2003 を参照)。

群Gが有界生成であるとは、 Gの有限部分集合Sと正の整数m が存在し、 Gのすべての元g がSの元の最大m乗の積として表せる場合を言う。

${\displaystyle g=s_{1}^{k_{1}}\cdots s_{m}^{k_{m}},}$ここで、およびは整数です。${\displaystyle s_{i}\in S}$${\displaystyle k_{i}}$

有限集合S はG を生成するので、有界生成群は有限生成です。

同等の定義は巡回部分群によっても与えられます。群Gは、必ずしも相異なるとは限らない巡回部分群の有限族C ₁ , …, C _Mが存在し、集合としてG = C ₁ … C _Mとなる場合、有界生成群と呼ばれます。

• 有限インデックスのサブグループに渡されても、制限付き生成は影響を受けません。つまり、H がGの有限インデックス サブグループである場合、Hが制限付き生成される場合のみ、Gは制限付き生成されます。
• 有界生成は拡張に進みます。つまり、グループG に、 NとG/N の両方が有界生成されるような正規部分群 Nがある場合、G自体も有界生成になります。
• 有界生成群の任意の商群も有界生成群である。
• 有限生成 捩れ群は、有界生成であれば有限でなければなりません。同様に、無限の有限生成捩れ群は有界生成ではありません。

離散群G上の擬似指標は、 G上の実数値関数fで、

f ( gh ) − f ( g ) − f ( h ) は一様境界があり、f ( g ⁿ ) = n · f ( g ) です。

• 有界生成群Gの擬似指標のベクトル空間は有限次元です。

• n ≥ 3の場合、群 SL _n ( Z ) は、単位行列と 1 つの非対角要素のみが異なる行列によって形成される基本部分群によって有界に生成されます。1984 年に、カーターとケラーは代数K 理論の疑問に触発されて、この結果の基本的な証明を与えました。
• 少なくとも 2 つのジェネレータ上の自由グループは、境界生成されません (以下を参照)。
• 群 SL ₂ ( Z ) は、指数 12 の 2 つの生成元を持つ自由部分群を含んでいるため、有界生成ではありません。
• グロモフ双曲群は、それが事実上巡回的（または基本的）である場合、つまり有限指数の巡回部分群を含む場合にのみ、有界生成されます。

数学の文献では、有限生成自由群が有界生成ではないことは明らかであると述べられている著者が数人います。このセクションでは、これを証明するさまざまな明白な方法とそれほど明白ではない方法を紹介します。有界コホモロジーに関係するいくつかの方法は、代数的ではなく幾何学的であるため重要であり、たとえばグロモフ双曲群などのより広いクラスの群に適用できます。

任意のn ≥ 2に対して、2 つの生成元を持つ自由群F _2には、 n 個の生成元を持つ自由群F _{n が}有限のインデックス (実際はn − 1) の部分群として含まれるため、有限個の生成元を持つ非巡回自由群の 1 つが有界生成でないことが分かれば、すべての生成元に対してこのことが当てはまります。同様に、 SL ₂ ( Z ) には F _{2 が}インデックス 12 の部分群として含まれるため、 SL ₂ ( Z ) だけを検討すれば十分です。言い換えれば、 n ≥ 2のF _nに有界生成がないことを示すには、そのうちの 1 つ、あるいは SL ₂ ( Z ) に対してのみこれを証明すれば十分です。

準同型像を取った場合でも有界生成は保存されるため、少なくとも 2 つの生成元を持つ単一の有限生成群が有界生成でないことがわかっている場合、同じ数の生成元を持つ自由群、したがってすべての自由群についてこれが当てはまります。したがって、有界生成を持たない (非巡回) 自由群を示すには、有界生成でない有限生成群の例を 1 つ示すだけで十分であり、任意の有限生成無限捩れ群が機能します。このような群の存在は、 1964 年に一般化されたバーンサイド問題のGolod と Shafarevichによる否定解を構成します。その後、無限有限生成捩れ群の他の明示的な例が、オートマトンを使用して Aleshin、Olshanskii、および Grigorchuk によって構築されました。したがって、ランクが少なくとも 2 の自由群は有界生成ではありません。

対称群S n_は2 サイクルとnサイクルの 2 つの要素によって生成されるため、 F ₂の商群になります。一方、 S _nの要素の最大位数M ( n ) が次を満たす ことは簡単に示せます。

log  M ( n ) ≤ n / e

ここでe はオイラー数です(エドモンド・ランダウはより正確な漸近推定値 log  M ( n ) ~ ( n log  n ) ^1/2を証明しました) 。実際、順列の巡回分解における巡回の長さがN ₁ , ..., N _kでN ₁ + ··· + N _k = nである場合、順列の次数は積N ₁  ···  N _kを割り切ります。この積は算術平均と幾何平均の不等式を使用して( n / k ) ^kで制限されます。一方、 ( n / x ) ^{x は}x  =  e のときに最大になります。 F _{2 を}m 個の巡回部分群の積として表すことができる場合は、必然的にn ! はすべてのnに対してM ( n ) ^m以下でなければならず、スターリングの漸近公式と矛盾します。

G = SL ₂ ( Z ) が有界生成ではないことも、簡単な幾何学的証明によって証明できる。これは、ポアンカレ計量を持つ上半平面H上のメビウス変換によって作用する。Gの基本領域上の任意のコンパクトに支えられた1 形式α は、 H上のG不変 1 形式に一意に拡張される。 z がHに含まれ、 γ がzからg ( z )への測地線である場合、次式で定義される関数は

${\displaystyle F(g)\equiv F_{\alpha,z}(g)=\int_{\gamma}\,\alpha }$

ストークスの定理により擬似文字の最初の条件を満たす。

${\displaystyle F(gh)-F(g)-F(h)=\int _{\Delta }\,d\alpha ,}$

ここでΔは、頂点z、g ( z )、h ⁻¹ ( z )を持つ測地線三角形であり、測地線三角形の面積はπで囲まれている。同次関数

${\displaystyle f_{\alpha }(g)=\lim _{n\rightarrow \infty }F_{\alpha ,z}(g^{n})/n}$

は、α のみに依存する擬似特性を定義します。力学系の理論からよく知られているように、双曲元gの任意の軌道 ( g ^k ( z ))は、拡張された実軸上の 2 つの固定点からなる極限集合を持ちます。したがって、zからg ( z )への測地線分は、基本領域の有限個の並進のみを切断します。したがって、与えられた双曲元上でf _{α が}1 に等しく、異なる固定点を持つ他の双曲元の有限集合上でゼロになるように α を選択するのは簡単です。したがって、 G は擬似特性の無限次元空間を持つため、有界生成することはできません。

双曲的要素の動的特性は同様に、任意の非基本的なグロモフ双曲的群が有界生成されないことを証明するために使用できます。

_{ロバート・ブルックスは、任意の自由群 F n}の擬似指標を生成する組み合わせスキームを与えました。このスキームは後に擬似指標の無限次元族を生み出すことが示されました (Grigorchuk 1994 を参照)。エプスタインとフジワラは後にこれらの結果をすべての非基本的なグロモフ双曲群に拡張しました。

この単純な民間伝承の証明は、グロモフ双曲群のグロモフ境界上の双曲要素の作用の動的特性を利用している。自由群F _nの特別なケースでは、境界（または端の空間）は半無限の簡約語の空間Xと同一視できる。

1 ₂ 3 _{4 5 6 7 8} 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 38 39 40 51 62 73 84 95 108 119 220 230 240 250 260 27

生成元とその逆元において。これは、生成元に関するケイリーグラフによって与えられるツリーの自然なコンパクト化を与える。半無限語のシーケンスは、初期セグメントが特定の段階の後に一致するという条件で、別のそのような語に収束し、その結果Xはコンパクト（かつ距離化可能）になる。自由群は、半無限語に対して左乗算によって作用する。さらに、 F _nの任意の元gには、正確に 2 つの固定点g ^{±∞ 、つまり、} nが ±∞ に近づくときのg ⁿの極限によって与えられる縮小された無限語がある。さらに、任意の半無限語wに対して、n が±∞ に近づくにつれて、 g ⁿ · w はg ^± ∞ に近づく。より一般的には、w _{n が}w ≠ g ^±∞に近づく場合、 n が ∞ に近づくにつれて、 g ⁿ · w _{n は}g ^+∞に近づく。 

F _{n が}有界生成であれば、 元h _{iによって生成される巡回群 C i}の積として表すことができます。X _{0 を}、不動点h _i ^±∞の有限個の F _n軌道、 h _iの不動点、およびそれらの共役すべてによって与えられる可算な部分集合とします。X は非可算なので、X ₀の外側に不動点を持つgの元と、これらの不動点とは異なる X 0 の外側の点 w があります。_すると、( g n ) の何らかの部分列⁽ g m )_に対して、

g _m = h ₁ ^{n ( m ,1)} ··· h _k ^{n ( m , k )}、各n ( m , i  )は定数または厳密に単調です。

一方では、h ⁿ · w _{n の}形式の極限を計算するための規則を連続的に使用することにより、 xに適用される右辺の極限は、必然的にh _iの共役の 1 つの不動点になります。他方では、この極限はg ^+∞でもあり、これはこれらの点の 1 つではないため、矛盾が生じます。 

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