セールの物件 FA

数学において、性質 FA は、ジャン＝ピエール・セールによって最初に定義された群の性質です。

群Gが木に対するすべての作用に大域不動点がある場合、その群G は特性 FA を持つと言われます。

セールは、群が特性 FA を持つ場合、その群は併積またはHNN 拡張として分割できないことを示しています。実際、G が併積に含まれる場合、因子の 1 つに含まれます。特に、特性 FA を持つ有限生成群には有限アーベル化があります。

性質 FA は可算群 Gの 場合、次の 3 つの性質と同等です: G は併合積ではありません。Gは商群としてZ を持ちません。Gは有限生成です。一般群Gの場合、 3 番目の条件は、G が部分群の厳密に増加するシーケンスの和集合ではないことを要求することで置き換えることができます。

FA 特性を持つ群の例には、 SL ₃ ( Z ) や、より一般的にはG ( Z ) があり、ここでG はランクが 2 以上の単連結単純シュヴァレー群です。群 SL ₂ ( Z ) は例外で、巡回群C ₄とC _6のC ₂に沿った融合積に同型です。

性質FAを持つ群の任意の商群は性質 FA を持ちます。G 内の有限指数のある部分群が性質 FA を持つ場合、Gもそれを持ちますが、その逆は一般には成り立ちません。NがGの正規部分群であり、NとG / N の両方が性質 FA を持つ場合、 Gもそれを持ちます。

カズダンの性質 (T)は性質 FA を意味するが、その逆は成り立たないというのは綿谷の定理である。実際、T 群の有限指数の任意の部分群は性質 FA を持つ。

次のグループには FA プロパティがあります。

• 有限生成の捩れ群。
• SL ₃ ( Z );
• 整数A、B、C ≥ 2のシュワルツ群。${\displaystyle \left\langle {a,b:a^{A}=b^{B}=(ab)^{C}=1}\right\rangle }$
• SL ₂ ( R ) ただし、R はQまたは虚数二次体ではない代数体の整数環です。

次のグループにはプロパティ FA がありません。

• SL ₂ ( Z );
• SL ₂ ( R _D ) ここでR _{D は}判別式が -3 でも -4 でもない虚数二次体の整数環である。

• Serre, Jean-Pierre (1974)。「Amalgames et points fixes」。第 2 回国際群論会議の議事録。数学の講義ノート (フランス語)。第 372 巻。633 ～ 640 ページ。MR  0376882。Zbl 0308.20026  。
• ジャン・ピエール・セール(1977)。アルブレス、アマルゲーム、SL ₂。アステリスク（フランス語）。 Vol. 46. フランス数学協会。Zbl  0369.20013。 英語翻訳: Serre、Jean-Pierre (2003)。木々。スプリンガー。ISBN 3-540-44237-5.ZBL1013.20001  。​
• 綿谷康雄（1981）。 「カジダンの物件 T はセールの物件 FA を暗示します。」数学。日本。27 : 97–103。MR  0649023。Zbl 0489.20022  。