シンプルな拡張機能

体論において、単純拡張とは、原始元と呼ばれる単一の要素の随伴によって生成される体拡張のことである。単純拡張はよく理解されており、完全に分類することができる。

原始元定理は、すべての有限分離拡大は単純拡大であると述べている。有理数体のような標数0の体の場合、これはすべての有限拡大が単純拡大であることを意味する。

体拡大L / Kは、Lにθが存在して、

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

これは、 Lのすべての要素が、Kの係数を持つθの有理分数として表せることを意味します。つまり、L はθとKの要素から、体演算 +、−、•、/ によって生成されます。言い換えれば、LはKとθ の両方を含む最小の体です。

単純な拡張には2つの異なる種類があります（下記の「 単純な拡張の構造」を参照）。

1. 要素θはK上の超越数である可能性があり、これはKの係数を持つどの多項式の根でもないことを意味します。この場合${\displaystyle K(\theta )}$有理関数の体と同型である${\displaystyle K(X).}$
2. それ以外の場合、θはK上の代数的である。つまり、θはK上の多項式の根である。単項式${\displaystyle p(X)}$θを根とする最小次数nの多項式は、θの最小多項式と呼ばれます。その次数は、体拡大の次数、つまりKベクトル空間として見たLの次元に等しくなります。この場合、すべての要素は${\displaystyle K(\theta )}$は、 n未満の次数を持つθの多項式として一意に表現でき、${\displaystyle K(\theta )}$は商環と同型である${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

どちらの場合も、要素θは拡張の生成要素または原始要素と呼ばれ、 LはθによってK上で生成されると も言われる。

例えば、すべての有限体は、同じ標数の素体の単純拡張である。より正確には、pが素数で、${\displaystyle q=p^{n},}$分野${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$q個の要素は、次数nの単純な拡張です。${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$実際、L は、次数nの既約多項式の根である任意の要素θによって体として生成される。${\displaystyle K[X]}$。

しかし、有限体の場合、原始元という用語は通常、より強い概念、すなわち生成する元γを指すために留保される。${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$乗法群として、 Lのゼロでないすべての要素はγのべき乗、つまり群演算 • のみを使用してγから生成される。これらの意味を区別するために、弱い意味には「生成元」または体の基本元という用語を使用し、強い意味には「基本元」または群の基本元という用語を使用する。^{[ 1 ]}（有限体 § 乗法構造および基本元（有限体）を参照）。

L をθによって生成されるKの単純拡張とする。多項式環K [ X ] の主要な性質の 1 つは、一意な環準同型である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

考えられるケースは2つあります。

1. もし${\displaystyle \varphi }$は単射であるため、 K [ X ] の分数体K ( X )に単射的に拡張できます。Lはθによって生成されるため、これは次のことを意味します。${\displaystyle \varphi }$これはK ( X )からLへの同型写像です。これは、 Lのすべての要素がθの多項式の既約分数に等しく、そのような 2 つの既約分数が等しいのは、分子と分母にKの同じ非ゼロ要素を掛けることで一方から他方へ変換できる場合に限ります。
2. もし${\displaystyle \varphi }$は単射ではないので、p ( X ) をその核の生成元とする。これはθの最小多項式である。${\displaystyle \varphi }$はLの部分環であり、したがって整域である。これはpが既約多項式であることを意味し、したがって商環は${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$は体である。Lはθによって生成されるので、${\displaystyle \varphi }$は全射であり、${\displaystyle \varphi }$から同型を誘導する${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$Lに。これは、 Lのすべての要素が、次数よりも低い次数のθの一意の多項式に等しいことを意味します。${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$つまり、LのK基底は次のように与えられます。${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$。

• C / Rは以下によって生成されました${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$。
• Q（$\displaystyle {\sqrt {2}}}$) / Qによって生成されました$\displaystyle \theta = \sqrt {2}}$。
• 任意の数体（すなわち、 Qの有限拡大）は、あるθに対して単純拡大Q ( θ ) である。例えば、$\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$によって生成されます$\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$。
• F ( X ) / F は、形式変数Xによって生成される有理関数の体です。

• 単純体拡張上の乗算写像のコンパニオン行列

• ローマン、スティーブン（ 1995）。場の理論。大学院数学テキスト。第 158巻。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-94408-7. Zbl 0816.12001 .