完全に分離不可能な拡張

代数学において、体の純粋に分離不可能な拡大とは、特性p  > 0の体の拡大k  ⊆  Kであり、 Kのすべての元が形式x ^q  =  aの方程式の根であり、qはpの累乗で、a はkに含まれるものである。純粋に分離不可能な拡大は、根基拡大と呼ばれることもあるが、これは、似た響きではあるがより一般的な根基拡大の概念と混同しないようにする必要がある。

代数的拡大 が純粋に不可分な拡大であるための必要十分条件は、任意の に対して、F上の の最小多項式が可分多項式ではないことである。^[1] F が任意の体であれば、自明な拡大は純粋に不可分である。体F が非自明な純粋に不可分な拡大を持つためには、上の節で概説したように不完全でなければならない。 ${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle F\supseteq F}$

純粋に不可分な拡大の概念には、いくつかの同等でより具体的な定義が知られている。 が（非ゼロの）素数特性pを持つ代数拡大である場合、以下は同等である：^[2]${\displaystyle E\supseteq F}$

1. E はFに対して純粋に不可分です。
2. 各要素 に対して、となる が存在する。${\displaystyle \alpha \in E}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$
3. Eの各要素には、ある整数とある要素に対して、 という形式のF上の最小多項式があります。${\displaystyle X^{p^{n}}-a}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle a\in F}$

上記の同等の特徴付けから、（素特性を持つ体Fに対して）何らかの整数 に対してとなる場合、E はF上で純粋に不可分であることが分かります。^[3] （これを理解するには、何らかの整数 に対して となるすべてのxの集合が体を形成することに注意してください。この体にはとF の両方が含まれるため、それはEでなければならず、上記の条件 2 により、純粋に不可分でなければなりません。） ${\displaystyle E=F[\alpha ]}$${\displaystyle \alpha ^{p^{n}}\in F}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle x^{p^{n}}\in F}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle E\supseteq F}$

F が素標数pの不完全体である場合、a がFのp乗にならないように を選び、f ( X ) =  X ^p  −  aとします。するとf はFに根を持たないので、E がfのF上分解体である場合、でを選ぶことができます。特に、およびすぐ上の段落で述べた性質により、 は非自明な純粋に分離不可能な拡大であることが分かります (実際、なので、 は自動的に純粋に分離不可能な拡大になります)。^[4]${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f(\alpha )=0}$${\displaystyle \alpha^{p}=a}$${\displaystyle F[\alpha ]\supseteq F}$${\displaystyle E=F[\alpha ]}$${\displaystyle E\supseteq F}$

純粋に分離不可能な拡大は自然に発生します。たとえば、素特性の体上の代数幾何学で発生します。 K が特性pの体であり、V がK上の 0 より大きい次元の代数多様体である場合、関数体K ( V )はp乗の部分体K ( V ) ^p上の純粋に分離不可能な拡大です(これは上記の条件 2 からわかります)。このような拡大は、特性pの有限体上の楕円曲線上のpによる乗算のコンテキストで発生します。

• 体Fの特性が（非ゼロの）素数pであり、が純粋に分離不可能な拡大である場合、 であれば、KはF上で純粋に分離不可能であり、EはK上で純粋に分離不可能である。さらに、[ E  : F ] が有限である場合、それはFの特性であるpの冪である。^[5]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$
• 逆に、と が純粋に分離不可能な拡大であるような場合、E はF上で純粋に分離不可能である。^[6]${\displaystyle F\subseteq K\subseteq E}$${\displaystyle F\subseteq K}$${\displaystyle K\subseteq E}$
• 代数的拡大が不可分拡大となるのは、F上の の最小多項式が可分多項式ではないようなものが存在するときであり、その場合に限ります（つまり、代数的拡大が不可分となるのは、それが可分でないときであり、その場合に限ります。ただし、不可分拡大は純粋に不可分な拡大と同じではないことに注意してください）。 が有限次非自明な不可分拡大である場合、[ E  : F ] は必然的にFの特性で割り切れます。^[7]${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle E\supseteq F}$
• が有限次正規拡大であり、 ならば、K はF上で純粋に不可分であり、E はK上で可分である。^[8]${\displaystyle E\supseteq F}$${\displaystyle K={\mbox{Fix}}({\mbox{Gal}}(E/F))}$

ジェイコブソン (1937, 1944) は、指数 1 の純粋に不可分な拡大に対するガロア理論のバリエーションを導入しました。これは、ガロア理論における体自己同型のガロア群を、微分による制限されたリー代数で置き換えたものです。最も単純なケースは、指数が最大 1 の有限インデックス純粋に不可分な拡大K ⊆ L です( Lのすべての元のp乗がKに含まれることを意味します)。この場合、LのK微分によるリー代数は、 L上のn次元のベクトル空間でもある制限されたリー代数です。ここで、[ L : K ] =  p ⁿであり、 Kを含むLの中間体は、L上のベクトル空間であるこのリー代数の制限されたリー部分代数に対応します。微分リー代数はL上のベクトル空間ですが、一般にはL上のリー代数ではなく、 n [ L : K ] =  np ⁿ次元のK上のリー代数です。

純粋に分離不可能な拡大は、単純な拡大のテンソル積である場合にモジュラー拡大と呼ばれます。特に、指数 1 のすべての拡大はモジュラーですが、指数 2 の非モジュラー拡大が存在します (Weisfeld 1965)。Sweedler (1968) と Gerstenhaber & Zaromp (1970) は、ガロア対応をモジュラー純粋に分離不可能な拡大に拡張し、微分を高次の微分に置き換えました。

• ヤコブソン・ブルバキの定理

• ゲルステンハーバー、マレー; ザロンプ、アヴィグドール (1970)、「純粋に分離不可能な体拡大のガロア理論について」、アメリカ数学会誌、76 (5): 1011–1014、doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12535-6、ISSN  0002-9904、MR  0266904
• アイザックス、I. マーティン (1993)、代数学、大学院課程(第 1 版)、ブルックス/コール出版、ISBN 0-534-19002-2
• ジェイコブソン、ネイサン(1937)、「抽象導出とリー代数」、アメリカ数学会誌、42 (2)、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会：206–224、doi：10.2307/1989656、ISSN  0002-9947、JSTOR  1989656
• ジェイコブソン、ネイサン（1944）、「指数1の純粋に分離不可能な体のガロア理論」、アメリカ数学誌、66（4）：645–648、doi：10.2307 / 2371772、ISSN  0002-9327、JSTOR  2371772、MR  0011079
• スウィードラー、モス・アイゼンバーグ(1968)、「分離不可能な拡張の構造」、数学年報、第 2 シリーズ、87 (3): 401–410、doi :10.2307/1970711、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970711、MR  0223343
• ワイスフェルド、モリス (1965)、「純粋に分離不可能な拡張と高次の導出」、アメリカ数学会誌、116 : 435–449、doi : 10.2307/1994126、ISSN  0002-9947、JSTOR  1994126、MR  0191895