無限次元ルベーグ測度

数学において、無限次元ルベーグ測度は、バナッハ空間などの無限次元ノルムベクトル空間上で定義される測度であり、有限次元空間で使用される ルベーグ測度に似ています。

しかし、伝統的なルベーグ測度は、重要な制限のため、すべての無限次元空間に直接拡張することはできません。無限次元の可分バナッハ空間上の任意の並進不変ボレル測度は、すべての集合に対して無限であるか、すべての集合に対してゼロでなければなりません。それにもかかわらず、特定のコンテキストでは、特定の形式の無限次元ルベーグのような測度が存在する場合があります。これには、ヒルベルト立方体のような非可分空間や、有限次元ルベーグ測度のいくつかの一般的な特性が変更または省略されるシナリオが含まれます。

ユークリッド空間上のルベーグ測度は局所的に有限、厳密に正、かつ並進不変です。つまり、 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• のすべての点には有限測度の開近傍が存在する:${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle N_{x}}$${\displaystyle \lambda (N_{x})<+\infty ;}$
• の空でない開集合はすべて正の測度を持ち、${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \lambda (U)>0;}$
• が のルベーグ測定可能な部分集合であり、 がのベクトルである場合、 のすべての変換は同じ測度を持ちます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda (A+h)=\lambda (A).}$

幾何学的重要性に動機づけられて、空間やパス空間などの無限次元空間に対して上記のセット特性を満たす測度を構築することは、 現在でも開かれた活発な研究分野です。 ${\displaystyle L^{p}}$

を無限次元の可分バナッハ空間とする。このとき、 上の唯一の局所有限かつ並進不変なボレル測度は自明な測度である。同様に、 上の局所有限かつ厳密に正で並進不変な測度は存在しない。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

より一般的には、非局所コンパクトポーランド群上では σ有限かつ左不変なボレル測度は存在し得ない。^[1]${\displaystyle G}$

この定理は、無限次元の可分バナッハ空間（局所コンパクトにはならない）上では、有限次元ルベーグ測度の特性と完全に一致する測度が存在しないことを意味します。

を、局所有限の並進不変測度 を備えた無限次元の可分バナッハ空間とする。が自明な測度であることを証明するには、次のことを示せば十分かつ必要である。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (X)=0.}$

あらゆる可分距離空間と同様に、はリンデレーフ空間であり、これは のあらゆる開被覆が可算な部分被覆を持つことを意味する。したがって、 の零集合による開被覆が存在することを示すだけで十分である。なぜなら、可算な部分被覆を選択することによって、のσ 部分加法性は次を意味するからである。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (X)=0.}$

測度の局所有限性を使用して、半径 の開球の一部が有限の -測度を持つと仮定します。は無限次元なので、リースの補題により、半径 の開球のペアごとに互いに素な無限列が存在し、その中にすべての小さい球が含まれます。並進不変性により、カバーの球はすべて同じ-測度を持ち、これらの有限の -測度の無限和は有限なので、カバーの球はすべて -測度がゼロでなければなりません。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{n}(r/4),}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle r/4,}$${\displaystyle B_{n}(r/4)}$${\displaystyle B(r).}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

は任意であるため、 のすべての開球は-測度がゼロであり、 の被覆を取ると、 の証明が完成するすべての開球の集合になります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu (X)=0}$

上記の定理の条件が緩和された場合に存在する可能性のある無限次元ルベーグ測度の例をいくつか示します。

完全に分離可能なバナッハ空間の一例としては、抽象ウィーナー空間の構築が挙げられ、これはガウス測度（並進不変ではない）の積に似ている。別のアプローチとしては、より大きな空間内の有限次元部分空間のルベーグ測度を考慮し、優勢集合とシャイ集合を見ることである。^[2]

ヒルベルト立方体は積ルベーグ測度^[3]を持ち、円群の無限個のコピーのティコノフ積によって与えられるコンパクトな位相群は無限次元であり、並進不変のハール測度を持つ。これら 2 つの空間は、円を区間に展開することで測度保存の方法で互いにマッピングできる。加法的な実数の無限積には類似の積ハール測度があり、これはまさにルベーグ測度の無限次元アナログである。^[要出典]

• 円筒集合測度 - 積空間上の測度を生成する方法Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度（ウィーナー測度）の変換を定義する定理。
• フェルドマン・ハジェックの定理 – 確率論における理論
• ガウス測度#無限次元空間 – ボレル測度の種類
  • ガウス測度の構造定理 – 数学定理
• 射影値測度 – 量子力学と関数解析における数学的演算子値測度
• 集合関数 – 集合から数値への関数