ワイトマンの公理

量子力学はフォン・ノイマンに従って記述される。特に、純粋状態は、ある分離可能な複素ヒルベルト空間の光線、すなわち一次元部分空間によって与えられる。以下では、ヒルベルト空間ベクトルΨとΦのスカラー積をで表す。${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$Ψのノルムは、${\displaystyle \lVert \Psi \rVert }$2つの純粋状態[Ψ]と[Φ]間の遷移確率は、非ゼロベクトル表現ΨとΦを用いて次のように定義できる。

${\displaystyle P{\big (}[\Psi ],[\Phi ]{\big )}={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}$

また、どの代表ベクトルΨとΦが選択されるかに依存しない。

対称性の理論はウィグナーに従って記述される。これは、E.P.ウィグナーが1939年の有名な論文で相対論的粒子をうまく記述したことを利用するためである。ウィグナーの分類を参照のこと。ウィグナーは、特殊相対性理論の変換によって関連付けられたすべての観測者に対して、状態間の遷移確率が同じであると仮定した。より一般的には、理論が群Gの下で不変であるという記述は、任意の2つの光線間の遷移確率の不変性によって表現されると考えていた。この記述は、群が光線の集合、すなわち射影空間に作用することを仮定している。( a , L )をポアンカレ群（非均質ローレンツ群）の要素とする。したがって、a は、時空の原点x ↦ x − aの変化を表す実ローレンツ4 次元ベクトルであり、ここでxはミンコフスキー空間M ⁴に属し、Lはローレンツ変換であり、すべてのベクトル ( ct , x )のローレンツ距離c ² t ² − x ⋅ xを保存する 4 次元時空の線形変換として定義できます。このとき、ヒルベルト空間のすべての光線 Ψ とすべての群要素 ( a , L ) に対して変換された光線 Ψ( a , L )が与えられ、遷移確率が変換によって変化しない場合、理論はポアンカレ群の下で不変です。    

${\displaystyle \langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$

ウィグナーの定理によれば、これらの条件下では、ヒルベルト空間上の変換は線形演算子または反線形演算子のいずれかであり（さらにノルムを保存する場合は、ユニタリ演算子または反ユニタリ演算子となる）、光線の射影空間上の対称性演算子は、基礎となるヒルベルト空間に持ち上げることができる。各群要素 ( a , L )に対してこれを行うと、ヒルベルト空間上にユニタリ演算子または反ユニタリ演算子の族U ( a , L ) が得られ、 ( a , L ) によって変換された光線 Ψ は、 U ( a , L )ψを含む光線と同じになる。恒等式に関連する群の要素のみに注目すると、反ユニタリのケースは発生しない。    

( a , L ) と ( b , M ) を 2 つのポアンカレ変換とし、それらの群積を( a , L )⋅( b , M )とします。物理的な解釈から、 U ( a , L )[ U ( b , M )ψ]を含む光線は(任意の ψ に対して) U (( a , L )⋅( b , M ))ψを含む光線でなければならないことがわかります(群演算の結合法則)。光線からヒルベルト空間に戻ると、これら 2 つのベクトルは位相 (ノルムではなく、ユニタリ演算子を選択しているため) だけ異なる可能性があり、これは 2 つの群要素 ( a , L ) と ( b , M ) に依存する可能性があります。つまり、群の表現ではなく、射影表現を持っています。これらの位相は、各U ( a )を再定義することによって常に相殺されるとは限りません。スピン 1/2 の粒子の例です。ウィグナーは、ポアンカレ群で得られる最良の値は      

${\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U{\big (}(a,L)\cdot (b,M){\big )},}$

つまり位相は${\displaystyle \pi }$整数スピンの粒子 (パイ中間子、光子、重力子など) の場合、位相をさらに変換することで ± 符号を取り除くことができますが、半奇スピンの表現ではそれができず、任意の軸を 2π の角度で回ると符号が不連続に変化します。しかし、ポアンカレ群の被覆群の表現を構成することができ、これを非均質SL(2, C ) と呼びます。この表現には ( a , A ) という要素があり、以前と同様にaは 4 次元ベクトルですが、今回はAは行列式が 1 の複素 2 × 2 行列です。得られるユニタリ演算子をU ( a , A ) と表記すると、 U ( a , A )の集合が非均質 SL(2, C )の群法則に従うため、連続的でユニタリかつ真の表現が得られます。      

2π による回転で符号が変わるため、スピン 1/2、3/2 などに変換されるエルミート演算子は観測可能ではありません。これは、一価超選択規則として現れます。スピン 0、1、2 などの状態とスピン 1/2、3/2 などの状態の間の位相は観測できません。この規則は、状態ベクトルの全体的な位相が観測できないことに加えて適用されます。観測可能と状態 | v ⟩ に関して、整数スピン部分空間上のポアンカレ群の表現U ( a、L ) と、半奇整数部分空間上の非均質 SL(2、C ) の表現U ( a、A ) が得られ、これは次の解釈に従って作用します。   

U ( a , L )| v ⟩に対応するアンサンブルは、座標に関して解釈される。 ${\displaystyle x'=L^{-1}(xa)}$| v⟩に対応するアンサンブルが座標xに関して解釈されるのと全く同じ方法で、奇数部分空間についても同様です。

時空並進群は可換であるため、演算子を同時に対角化することができる。これらの群の生成元は、4つの自己共役演算子を与える。${\displaystyle P_{0},P_{j},\ j=1,2,3,}$これらは同次群の下で4元ベクトルに変換され、エネルギー・運動量4元ベクトルと呼ばれる。

ワイトマンの第ゼロ公理の第二の部分は、表現U ( a , A ) がスペクトル条件を満たすこと、すなわちエネルギーと運動量の同時スペクトルが前方円錐内に含まれることである。 

${\displaystyle P_{0}\geq 0,\quad P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

公理の3つ目の部分は、ヒルベルト空間内の光線で表される、ポアンカレ群の作用に対して不変な唯一の状態が存在するというものである。これは真空と呼ばれる。

各テスト関数f 、すなわちコンパクトな台と任意の次数の連続導関数を持つ関数に対して、 ^{[ 9 ]}演算子の集合が存在する。${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$これらは、随伴関数とともに、真空を含むヒルベルト状態空間の稠密な部分集合上で定義される。場Aは作用素値を持つ緩増加超関数である。ヒルベルト状態空間は、真空上で作用する場の多項式によって張られる（周期性条件）。

これらの場はポアンカレ群の作用の下で共変であり、ローレンツ群の何らかの表現Sに従って変換される。スピンが整数でない場合はSL(2, C )となる。 

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A{\big (}L^{-1}(xa){\big )}.}$

2つの場のサポートが空間的に分離されている場合、それらの場は可換であるか反可換であるかのいずれかである。

真空の周期性と真空の一意性は、時として別々に考えられます。また、漸近完全性という性質もあります。これは、ヒルベルト状態空間が漸近空間によって張られるという性質です。${\displaystyle H^{\text{in}}}$そして${\displaystyle H^{\text{out}}}$衝突S行列に現れる。場の理論のもう1つの重要な特性は質量ギャップであり、これは公理では要求されない。つまり、エネルギー運動量スペクトルがゼロとある正の数の間にギャップを持つということである。

特定の技術的仮定の下では、ユークリッド量子場理論をウィック回転させてワイトマン量子場理論に変換できることが示されている（オスターワルダー・シュレーダーの定理を参照）。この定理は、ワイトマン公理を満たす2次元および3次元の相互作用理論を構築するための重要なツールである。