フリーフィールド

物理学では、自由場は相互作用のない場 であり、運動と質量という用語によって説明されます。

古典物理学では、自由場とは運動方程式が線形 偏微分方程式で与えられる場のことです。このような線形 PDE は、与えられた初期条件に対して一意の解を持ちます。

量子場の理論では、演算子値分布が自由体であるとは、それがいくつかの線型偏微分方程式を満たし、同じ線型偏微分方程式の対応するケースが古典的な体（つまり演算子ではない体）の場合であるとき、それはいくつかの2次ラグランジアンに対するオイラー・ラグランジュ方程式となるときです。分布を微分するには、微分テスト関数を介して導関数を定義します。詳細については、シュワルツ分布を参照してください。ここでは通常の分布ではなく演算子値分布を扱っているので、これらのPDEは状態に対する制約ではなく、スミアリングされた体の間の関係の記述であることが理解されます。PDEに加えて、演算子は別の関係、交換/反交換関係も満たします。

基本的に、2 つの塗りつぶされた場の交換子(ボソンの場合)/反交換子(フェルミオンの場合) は、両方のテスト関数に塗りつぶされた PDE の場とそれ自身とのパイエルス括弧(実際には関数ではなく分布) の i 倍です。これはCCR/CAR 代数の形式を持ちます。

無限の自由度を持つ CCR/CAR 代数には、同値でない既 約なユニタリ表現が多数あります。理論がミンコフスキー空間上で定義されている場合、真空状態を含むユニタリ既約表現を選択できますが、必ずしもそうである必要はありません。

φを作用素値分布とし、（クライン・ゴードン）偏微分方程式を

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +m^{2}\phi =0}$。

これはボゾン場です。パイエルス括弧によって与えられる分布を Δ と呼びます。

それから、

${\displaystyle \{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)}$

ここで、φ は古典体であり、{,} はパイエルス括弧です。

すると、標準的な交換関係は

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}$。

Δ は 2 つの引数にわたる分布なので、塗りつぶすこともできることに注意してください。

同様に、私たちは次のように主張することもできたでしょう

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\}=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}$

ここで、は時間順序付け演算子であり、fとgのサポートが空間的に分離されている場合、 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}$。

• 通常注文
• ウィックの定理

• マイケル・E・ペスキン、ダニエル・V・シュローダー『量子場理論入門』アディソン・ウェズリー、リーディング、1995年、p19-p29