ハーヴィッツの定理（合成代数）

数学において、フルヴィッツの定理は、アドルフ・フルヴィッツ(1859–1919) が1923年に死後に発表した定理であり、非退化正定値二次形式を備えた有限次元単位実非結合代数に対するフルヴィッツ問題を解くものである。定理は、二次形式が代数の非ゼロ部分で正の実数への準同型を定義する場合、代数は実数、複素数、四元数、または八元数と同型でなければならず、他の可能性はないと述べている。このような代数は、フルヴィッツ代数と呼ばれることもあり、合成代数の例である。

合成代数の理論は、その後、任意の二次形式と任意の体に一般化されました。^[1]フルヴィッツの定理は、平方和の乗法公式が1、2、4、8次元でのみ発生することを意味しており、これは1898年にフルヴィッツによって最初に証明された結果です。これはフルヴィッツ問題の特殊なケースであり、ラドン（1922）でも解決されました。次元の制限のその後の証明は、有限群の表現論を使用してエックマン（1943）によって、クリフォード代数を使用してリー（1948）とシュヴァレー（1954）によって与えられました。フルヴィッツの定理は、代数位相幾何学では球面上のベクトル場と古典群のホモトピー群の問題に適用され^[2]、量子力学では単純なジョルダン代数の分類に適用されています。^[3]

ユークリッド・フルヴィッツ代数

意味

ハーヴィッツ代数または合成代数は、有限次元で必ずしも結合的ではない代数 $A$ であり、単位元として非退化の二次形式 $qを持ち、$ $q (a b) = q (a) q (b)$ となる。基礎となる係数体が実数で $q$ が正定値である場合、 $( a , b ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ [ q ( a + b ) − q ( a ) − q ( b )]が$ 内積である場合、 $Aは$ ユークリッド・フルヴィッツ代数または（有限次元）ノルム除算代数と呼ばれる。^[4]

$A$ がユークリッド・フルヴィッツ代数であり、 $a が$ $A$ に含まれる場合、反転演算子と右乗算演算子および左乗算演算子を次のように定義します。

a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.

明らかに、この反転は周期 2 を持ち、内積とノルムを保存します。これらの演算子には次の特性があります。

反転は反自己同型、すなわち $(ab)* = b * a *である。$
$aa * = ‖ a ‖ 2 1 = a * a$
$L (a *) = L (a)*$ 、 $R (a *) = R (a)*$ なので、代数上の反転は随伴項を取ることに対応する。
$Re (ab) = Re (ba) 、$ $Re$ $x$ $= ($ $x$ $+$ $x$ $*)/2 = ($ $x$ $, 1)1 の$ 場合
$Re (ab) c = Re a (bc)$
$L (a2)=$ $L$ $($ $a$ $)$ $2$ $、$ R $(a2) =$ $R$ $($ $a$ $)$ $2$ なので、 $Aは$ 代替代数 $と$ なる。

$これらの特性は、 (ab, ab) = (a, a)(b, b)$ という単位元の偏波バージョンから証明されます。

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

$b = 1$ または $d = 1$ に設定すると、 $L (a *) = L (a)*$ および $R (c *) = R (c)*$ になります。

したがって、 $Re(ab) = (ab,1)1 = (a, b *)1 = (ba,1)1 = Re(ba)$ です。

同様に $Re(ab) c =((ab) c,1)1=(ab, c *)1=(b, a * c *)1=(bc, a *)1=(a (bc),1)1= Rea (bc)$ 。

したがって、 $((ab)*, c) = (ab, c *) = (b, a * c *) = (1, b *(a * c *)) = (1, (b * a *) c *) = (b * a *, c)となり、$ $(ab)* = b * a *$ となります。

極性化された恒等式により $、 ‖ a ‖ 2 (c, d) = (ac, ad) = (a * (ac), d)$ なので、 $L (a *) L (a) = L (‖ a ‖ 2)$ となります。これを 1 に適用すると、 $a * a = ‖ a ‖ 21$ となります。a $を$ $a *$ に置き換えると、他の恒等式が得られます。

$L$ $($ $a$ $*)$ $L$ $($ $a$ $)=$ $L$ $($ $a$ $*$ $a$ $)$ の $a *$ の式を代入すると、 $L$ $($ $a$ $)$ $2$ $=$ $L$ $($ $a2$ $)$ $と$ $なる$ 。式 $R$ $($ $a2$ $)=$ $R$ $($ $a$ $)$ $2も$ 同様に証明される。

分類

実数 $R$ 、複素数 $C$ 、四元数 $H が、標準的なノルムと反転を持つ結合ユークリッドフルヴィッツ代数の例であることを確認するのは日常的なことです。さらに、自然な包含$ $R \subset C \subset H$ が存在します。

このような包含関係を解析すると、 AA Albertによって形式化されたCayley–Dickson 構成が導かれます。 $A$ をユークリッドフルヴィッツ代数、 $B を$ 適切な単位部分代数、つまりそれ自体がユークリッドフルヴィッツ代数であるとします。 $A$ 内の $B$ に直交する単位ベクトル $j を$ 選びます。 $($ $j$ $, 1) = 0なので、$ $j$ $* = -$ $j$ となり、 $j$ $2$ $= -1$ となります。 $C を$ $B$ と $j$ によって生成される部分代数とします。これは単位代数であり、やはりユークリッドフルヴィッツ代数です。これは次のCayley–Dickson 乗法則を満たします。

\displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}

$B$ と $Bj は$ 直交します。なぜなら、 $j は$ $B$ に直交するからです。 $a が$ $B$ にある場合、直交により $0 = 2($ $j$ $,$ $a$ $*) =$ $ja$ $-$ $a$ $*$ $jなので、$ $j a = a * jとなります。反転の式は次のとおりです。$ $B$ $\oplus$ $B jが乗算$ $Bj$ $=$ $jB$ に関して閉じていることを示します。 $Bj は$ 1 に直交するので、 $($ $bj$ $)* = -$ $bj$ です。

$b (cj) = (cb) j$ です。なぜなら、 $(b, j) = 0なので、$ $A$ の $x$ について、 $($ $b$ $($ $cj$ $),$ $x$ $) = ($ $b$ $($ $jx$ $),$ $j$ $($ $cj$ $)) = -($ $b$ $($ $jx$ $),$ $c$ $*) = -($ $cb$ $, ($ $jx$ $)*) = -(($ $cb$ $)$ $j$ $,$ $x$ $*) = (($ $cb$ $)$ $j$ $,$ $x$ $)$ となります。
$(jc) b = j (bc)$ 上記の随伴項を取る。
$(bj)(cj) = - c * b$ 、なぜなら $(b 、 cj)$ = 0であるから、 $A$ の $x$ に対して、 $(($ $bj$ $)($ $cj$ $)、$ $x$ $) = -(($ $cj$ $)$ $x$ $*、$ $bj$ $) = ($ $bx$ $*、 ($ $cj$ $)$ $j$ $) = -($ $c$ $*$ $b$ $、$ $x$ $)$ となる。

$a$ $+$ $bj$ と $c$ $+$ $dj$ に対して $C$ にノルムの乗法性を課すと次のようになります。

\displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}

それは

\displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}

したがって、 $d (ac) = (da) c$ となり、 $B は$ 結合的である必要があります。

$この解析は、 Rが$ $C$ に、 $C が$ $H$ に含まれる場合にも適用できる。 $O = H \oplus H を$ 上記の積と内積とすると、 $J = (0, 1)によって生成される非可換非結合代数が得られる。これにより、$ 八元数またはケイリー数の通常の定義が回復される。 $A が$ ユークリッド代数であれば、 $R を必ず含む。 A が$ $R$ よりも大きい場合、上記の議論から $C が含まれることがわかる。 A が$ $C$ よりも大きい場合、 $H を$ 含む。さらに大きい場合、 $O を含む。しかし、$ $O は$ 結合的でないため、ここで処理を停止する必要がある。実際、 $H は$ 可換ではなく、 $O$ において $a (bj) = (ba) j \neq (ab) j$ である。^[5]

定理。唯一のユークリッドフルヴィッツ代数は、実数、複素数、四元数、八元数です。

その他の証拠

Lee (1948) と Chevalley (1954) の証明では、クリフォード代数を使用して、 $A$ の次元 $N$ は 1、2、4、または 8 でなければならないことを示しています。実際、 $($ $a$ $、 1) = 0 となる演算子$ $L$ $($ $a$ $)$ は、 $L$ $($ $a$ $)$ $2$ $= -‖$ $a$ $‖$ $2$ を満たし、実クリフォード代数を形成します。 $a$ が単位ベクトルの場合、 $L$ $($ $a$ $) はsquare$ $-$ $I$ と歪随伴です。したがって、 $N は$ 偶数か 1 のいずれかでなければなりません(この場合、 $A$ には 1 に直交する単位ベクトルが含まれません)。実クリフォード代数とその複素化は、 $N$ 次元複素空間 $A$ の複素化に作用します。 $N$ が偶数の場合、 $N$ $- 1 は$ 奇数であるため、クリフォード代数には次元 $2$ $N$ $/2 - 1$ の複素既約表現が 2 つだけあります。したがって、この2 の累乗は $N を$ 割り切れる必要があります。これは、 $N が$ 1、2、4、または 8 のいずれかであることを意味することは容易にわかります。

エックマン（1943）の証明は、実クリフォード代数の表現論と同値であることが知られている有限群の表現論、または初等アーベル2群の射影表現論を使用している。実際、1の直交補数の正規直交基底 $e$ $i を$ とると、次を満たす演算子 $U$ $i$ $=$ $L$ $($ $e$ $i$ $)$ が得られる。

U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).

これは、 $N$ $- 1$ 個の2次群の直積の射影表現である。( $N$ は 1 より大きいと仮定する。) 演算子 $U$ $i は$ 、構成上、歪対称かつ直交である。実際、エックマンはこのタイプの演算子を、わずかに異なるが同等の方法で構成した。これは、実際にはハーヴィッツ (1923) が最初に採用した方法である。^[6] 2 つの形式に対して合成法則があると仮定する。

\displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}

ここで、 $z i は$ $x$ と $y$ に関して双線形である。したがって、

\displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}

ここで行列 $T (x)=(aij)は$ $x$ に関して線形である。上記の関係は次式と等価である $。$

\displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}

書き込み

\displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}

関係は

\displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}

$ここで、 V i = (T N) t T i と$ 設定します。したがって、 $V N = I$ となり、 $V 1 、...、 V N - 1は、$ $U i$ とまったく同じ関係を満たす歪随伴直交となります。

\displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}

$V i は$ 実ベクトル空間上の正方 $-$ $I$ の直交行列なので、 $N は$ 偶数です。

$Gを元$ $v i$ によって生成される有限群とし、

\displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j), }

ここで $ε は$ 2 の位数の中心です。交換子部分群 $[G, G]は 1 と$ $ε$ からちょうど形成されます。N が奇数の場合、 $これ$ は中心と一致しますが、 $N$ が偶数の場合、中心は追加の要素 $γ = v 1 ... v N - 1$ と $ε γを持つ 4 の位数を持ちます$ $。G$ の $g が$ 中心にない場合、その共役類は正確に $g$ と $εg$ です。したがって、 $Nが奇数の場合、$ $2$ $N$ $- 1$ $+ 1 個$ の共役類があり、 $N$ が偶数の場合、 2 $N$ $- 1$ $+ 2 個$ あります。G $には$ $|$ $G$ $/ [$ $G$ $,$ $G$ $] | = 2$ $N$ $-$ $1 個$ の 1 次元複素表現があります。既約複素表現の総数は、共役類の数です。したがって、 $N$ が偶数なので、さらに 2 つの既約複素表現があります。次元の二乗の合計は $|$ $G$ $|$ に等しく、次元は $|$ $G$ $|$ を割り切るのでの場合、 2 つの既約表現は次元 $2$ $($ $N$ $- 2)/2$ でなければなりません。 $N$ が偶数の場合、は 2 つあり、それらの次元は群の位数を割り切る必要があり、したがっては 2 の累乗なので、両方とも次元 $2$ $($ $N$ $- 2)/2でなければなりません。$ $V$ $i$ が作用する空間は複素化できます。これは複素次元 $Nを持ちます。これは$ $G$ の複素既約表現のいくつかに分解され、すべて次元 $2$ $($ $N$ $- 2)/2 を$ 持ちます。特に、この次元は $\leq$ $N$ なので、 $N は$ 8 以下です。 $N$ $= 6$ の場合、次元は 4 であり、6 を割り切りません。したがって、N は1、2、4、または 8 のみになります。

ジョルダン代数への応用

$A を$ ユークリッド・フルヴィッツ代数とし、M n ( A ) を A 上の n 行 n 列の行列の代数とする。 $これは、次式$ $で$ 表さ $れる$ 反転 $を$ 持つ非結合的単位代数である。

\displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}

トレース $Tr(X)は、$ $X$ の対角要素と実数値トレースの和として定義され、 $Tr R (X) = Re Tr(X)$ で表されます。実数値トレースは次式を満たします。

\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).

$これらは、 n = 1$ の既知の恒等式から直接導かれる結果です。

$A$ では、関連付け子を次のように定義します。

\displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}

$これは三線型であり、 A$ が結合的であれば同様に消える。A は交代代数 [ a , a , b ] = 0 かつ [ b , a , a ] = 0 である $。$ 分極 $すると、結合子はその 3$ つ $の要素において反対称となる。$ さらに、 $a$ 、 $b$ 、 $cのいずれかが$ $R$ 内にある場合、 $[a, b, c] = 0 となる。これらの事実は、$ $M 3 (A)$ が特定の交換特性を持つことを意味する。実際、 $X が$ 対角要素に実数要素を持つ $M 3 (A)の行列である場合、$

\displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}

$A$ に $a$ がある。実際、 $Y$ $= [$ $X$ $,$ $X$ $2$ $]$ ならば、

\displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell}[x_{ik},x_{k\ell},x_{\ell j}].}

$X$ の対角要素は実数なので、 $Y$ の非対角要素は消えます。 $Yの各対角要素は、$ $X$ の非対角項のみを含む 2 つの結合子の和です。結合子は巡回置換に対して不変なので、 $Y$ の対角要素はすべて等しくなります。

$H n (A)を$ $M n (A)$ の自己随伴元の空間とし、積 $X \circ Y = ⁠ 1 / 2 ⁠ (X Y + Y X)$ であり、内積 $(X, Y) = Tr R (X Y)$ です。

定理。H $n (A)$ は、 $A$ が結合的（実数、複素数、または四元数）かつn $\geq$ $3の場合、または$ $A$ $が$ 非結合的（八元数）かつ $n$ $= 3 の$ 場合、ユークリッドジョルダン代数です。

例外的なジョルダン代数H $3 (O) は$ 、 AA アルバートにちなんでアルバート代数と呼ばれます。

$H n (A) が$ ユークリッドジョルダン代数の公理を満たすことを確認するために、実トレースは $(X, X) = Σ ‖ x ij ‖ 2$ の対称双線型形式を定義します。したがって、これは内積です。実トレースの特性により、結合性 $(Z \circ X, Y) = (X, Z \circ Y)を満たします。確認する主な公理は、$ $L$ $($ $X$ $)$ $Y$ $=$ $X$ $\circ$ $Y$ によって定義される演算子 $L (X)$ のジョルダン条件です。

\displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}

$これは、 A$ が結合的である場合に簡単に確認できます。M $n (A) は$ $結合代数であるため、 X$ $\circ$ $Y$ $=$ $⁠$ のジョルダン代数は $1 / 2 ⁠ (X Y + Y X)$ 。A $=$ $Oかつ$ $n$ $= 3$ の特別な議論が必要となり、その最も短い議論の一つはフロイデンタール (1951) によるものである。 $[$ ^7]

実際、 $Tが$ $H 3 (O)$ にあり、 $Tr T = 0$ である場合、

\displaystyle {D(X)=TX-XT}

$はH 3 (O)$ の歪随伴微分を定義する。実際、

\operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,

となることによって

(D(X),X^{2})=0.

偏向収穫:

(D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.

$Z = 1$ に設定すると、 $D は$ 歪随伴であることがわかります。これと上記の恒等式の内積の結合性により、導出特性 $D (X \circ Y) = D (X)\circ Y + X \circ D (Y)が導かれます。$

$A$ と $n を$ 定理の記述どおりとして、内積を不変のまま E = H n ( A ) の自己同型群を K とします。これは O ( E ) の閉部分群なのでコンパクトリー群です $。$ $その$ $リー$ $代数$ $は$ $歪$ $随伴$ 微分から構成 $さ$ $れ$ $ます$ $。$ $フロイデン$ タール( 1951 )は、 $E$ に $X が与えられると、$ $k$ $($ $X$ $)が$ 対角行列となるような自己同型 $kが$ $K$ に存在することを示しました。(自己随伴性により、対角要素は実数になります。) フロイデンタールの対角化定理は、任意の非結合代数 $A$ に対して実対角行列によるジョルダン積が $M$ $n$ $($ $A$ $)$ 上で可換であるため、ジョルダン条件を直ちに示します。

対角化定理を証明するには、 $E$ に $X を$ 取ります。コンパクト性により、 $k$ $($ $X$ $)$ の非対角項のノルムの二乗和が最小となるように $K$ から $k を$ 選択できます。 $K はすべての二乗和を保存するため、これは$ $k$ $($ $X$ $)$ の対角項のノルムの二乗和を最大化することと同等です。 $X を$ $k X$ に置き換えると、最大値は $X$ で達成されると仮定できます。座標を並べ替えることによって作用する対称群 $S$ $n は$ $Kに含まれるため、$ $X$ が対角でない場合は、 $x$ $12$ とその随伴行列 $x$ $21$ はゼロでないと仮定できます。 $Tを、$ $(2, 1)$ 要素が $a$ 、 $(1, 2)$ 要素が $-$ $a$ $*$ で、それ以外が 0 である歪随伴行列とし、 $Dを$ $E$ の $T$ の微分とします。 $K$ で $k$ $t$ $= exp$ $tD$ とします。すると、 $X$ $($ $t$ $) =$ $k$ $t$ $X$ の最初の 2 つの対角要素のみが $X$ のものと異なります。対角要素は実数です。 $t$ $= 0$ での $x$ $11$ $($ $t$ $)$ の導関数は $[$ $T$ $、$ $X$ $]$ の $(1, 1)$ 座標、つまり $a$ $*$ $x$ $21$ $+$ $x$ $12$ $a$ $= 2($ $x$ $21$ $、$ $a$ $)です。この導関数は、$ $a$ $=$ $x$ $21$ の場合にゼロ以外になります。一方、グループ $k$ $t は$ 実数値のトレースを保存します。 $x$ $11$ と $x$ $22$ のみを変更できるため、それらの合計が保存されます。ただし、直線 $x$ $+$ $y$ $=$ constant 上では、 $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ には極大値がなく (大域的最小値のみ)、矛盾が生じます。したがって、 $X は$ 対角である必要があります。

参照

注記

^
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さらに読む

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シャピロ 2000

[2] ラム 2005

[3] ラジウェイド 1993

[4] シャピロ 2000

[2] 参照:
エックマン 1989

エックマン 1999

[6] エックマン 1989

[7] エックマン 1999

[3] ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナー 1934

[4] ファラウトとコランニー、1994 年、p. 82

[5] ファラウトとコランニー、1994 年、81–86 ページ

[6] 参照:
ハーウィッツ 1923、11 ページ

ハーシュタイン 1968、141-144ページ

[12] ハーウィッツ 1923、11 ページ

[13] ハーシュタイン 1968、141-144ページ

[7] 参照:
ファラウトとコランニー、1994 年、88 ～ 91 ページ

ポストニコフ 1986

[15] ファラウトとコランニー、1994 年、88 ～ 91 ページ

[16] ポストニコフ 1986