エラー関数

誤差関数は整関数であり、特異点（無限遠点を除く）を持たず、テイラー展開は常に収束する。${\displaystyle x\gg 1}$しかし、先頭項の消去により、テイラー展開は非現実的になる。

定義積分は初等関数を用いて閉じた形で評価することはできない（リウヴィルの定理を参照）が、被積分関数を展開することで${\displaystyle e^{-z^{2}}}$マクローリン級数に項ごとに積分し、^{[ 5 ]}事実を利用して、${\displaystyle \operatorname {erf} (0)=0}$誤差関数のマクローリン級数は次のように得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$これはすべての複素数 に対して成り立つ。${\displaystyle z}$分母項はOEISのA007680という数列を形成します。これはクンマー関数の特殊なケースです。

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\bigg (}{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2}{\bigg )}.}$

上記の数列を反復計算する場合、以下の代替定式化が有用となる可能性がある。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}},\end{aligned}}}$$ なぜなら

${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$

乗数を表す${\displaystyle k}$第 1 項を${\displaystyle (k+1)}$第 1 項 (考慮すると${\displaystyle z}$最初の項として）。

虚数誤差関数も同様のマクローリン級数を持つ。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$これはすべての複素数 に対して成り立つ。${\displaystyle z}$。

誤差関数の導関数は、その定義から直ちに導かれる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$ このことから、虚数誤差関数の導関数もすぐに求められる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$高階微分は次のように表される。 $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}{\big (}e^{-z^{2}}{\big )},}$$ どこで${\displaystyle H_{k}}$これらは物理学者のエルミート多項式である。^{[ 6 ]}

誤差関数の原始関数は、部分積分によって得られ、次のようになる。 $${\displaystyle \int \operatorname {erf} (z)dz=z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$ 虚数誤差関数の原始関数は、部分積分によっても得られ、次のようになる。 $${\displaystyle \int \operatorname {erfi} (z)dz=z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$

すべての実数値に対してより速く収束する展開${\displaystyle x}$テイラー展開^{[ 7 ]}よりも、ビュルマンの定理^{[ 8 ]}を使用することで得られる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$は符号関数です。最初の 2 つの係数だけを残して選択することで${\displaystyle c_{1}=31/200}$そして${\displaystyle c_{2}=-341/8000}$結果として得られる近似値は、次の点で最大の相対誤差を示します。${\displaystyle x=\pm 1.40587}$、以下より小さい${\displaystyle 0.0034361}$: $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

複素数が与えられた場合${\displaystyle z}$一意の複素数は存在しない${\displaystyle w}$満足${\displaystyle \operatorname {erf} (w)=z}$、したがって真の逆関数は多価関数になります。ただし、${\displaystyle -1<x<1}$一意の実数が存在する${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$満足

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(x)\right)=x.}$

逆誤差関数は通常、定義域で定義されます。${\displaystyle (-1,1)}$そして、多くの数式処理システムではこの領域に限定されています。しかし、ディスクに拡張することも可能です。${\displaystyle |z|<1}$複素平面のマクローリン級数^{[ 9 ]を使用して}$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$ どこ${\displaystyle c_{0}=1}$そして $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

それでは、級数展開を見てみましょう（分子と分母から共通因数を約分しました）。

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

（消去後、分子と分母の値はそれぞれ（OEISのシーケンスA092676）と（OEISのシーケンスA092677）の値になります。消去しない場合、分子の項は（OEISのシーケンスA002067）の値になります。）誤差関数の値は${\displaystyle \pm \infty }$に等しい${\displaystyle \pm 1}$。

のために${\displaystyle |z|<1}$、 我々は持っています${\displaystyle \operatorname {erf} (\operatorname {erf} ^{-1}(z))=z}$。

逆相補誤差関数は次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$$ 実際に${\displaystyle x}$一意の実数が存在する${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$満足${\displaystyle \operatorname {erfi} (\operatorname {erfi} ^{-1}(x))=x}$逆虚数誤差関数は次のように定義される。${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$[ ^{10 ]​}

実際の${\displaystyle x}$ニュートン法を用いて計算することができる${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$、そして${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$すると、次のマクローリン級数が収束する。

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

どこ${\displaystyle c_{k}}$上記のように定義される。

大きな実数に対する相補誤差関数（したがって誤差関数も）の有用な漸近展開${\displaystyle x}$は $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle (2n-1)!!}$は、​${\displaystyle 2n-1}$つまり、100までのすべての奇数の積${\displaystyle 2n-1}$この級数は、すべての有限な${\displaystyle x}$、漸近展開としての意味は、任意の整数に対して${\displaystyle N\geq 1}$1つは

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x),}$

残りは

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}\,(2N-1)!!}{{\sqrt {\pi }}\cdot 2^{N-1}}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt,}$

これは帰納法によって容易に導き出され、

${\displaystyle e^{-t^{2}}=-{\frac {1}{2t}}\,{\frac {d}{dt}}e^{-t^{2}}}$

そして部分積分を行う。剰余項の漸近挙動は

${\displaystyle R_{N}(x)=O{\Big (}x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}{\Big )}}$

として${\displaystyle x\to \infty }$これは、

${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,dt\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,dt\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$

十分大きな値の場合${\displaystyle x}$、この漸近展開の最初の数項だけで、${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$（あまり大きな値ではない場合）${\displaystyle x}$（上記の0におけるテイラー展開は非常に速い収束を示す）。

ラプラスは相補誤差関数の連分数展開を発見した。^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}}$$ どこ${\displaystyle a_{m}={\frac {m}{2}}}$。

逆階乗数

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (z)&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{(n)}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$

収束する${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0}$。 ここ

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)\left({\frac {1}{2}}\right)^{(k)}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k){\frac {(2k-1)!!}{2^{k}}}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle z^{(n)}}$は上昇階乗を表し、${\displaystyle s(n,k)}$は、第１種の符号付きスターリング数を表す。^{[ 13 ] [ 14 ]} テイラー級数は、二重階乗を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}.}$

アブラモウィッツとステガンは、精度が異なるいくつかの近似式（式7.1.25～28）を示している。これにより、特定の用途に適した最も高速な近似式を選択できる。精度が低い順に、以下のとおりである。 $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$ （最大誤差：5 × 10 ⁻⁴ )

ここで、a ₁ = 0.278393、a ₂ = 0.230389、a ₃ = 0.000972、a ₄ = 0.078108 である。

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$ （最大誤差：2.5 × 10 ⁻⁵ )

ここで、p = 0.47047、a ₁ = 0.3480242、a ₂ = −0.0958798、a ₃ = 0.7478556 である。

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$ （最大誤差：3 × 10 ⁻⁷ )

ここで、a ₁ = 0.0705230784、a ₂ = 0.0422820123、a ₃ = 0.0092705272、a ₄ = 0.0001520143、a ₅ = 0.0002765672、a ₆ = 0.0000430638 である。

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$ （最大誤差：1.5 × 10 ⁻⁷ )

ここで、p = 0.3275911、a ₁ = 0.254829592、a ₂ = −0.284496736、a ₃ = 1.421413741、a ₄ = −1.453152027、a ₅ = 1.061405429である。

A&S近似の精度は、3つの追加パラメータを追加することで向上させることができる。 $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}+a_{6}t^{6}+a_{7}t^{7}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+p_{1}x+p_{2}x^{2}}}}$$ ここで、p1 = 0.406742016006509、p2 = 0.0072279182302319、a1 = 0.316879890481381、a2 = -0.138329314150635、a3 = 1.08680830347054、a4 = -1.11694155120396、a5 = 1.20644903073232、a6 = -0.393127715207728、a7 = 0.0382613542530727 です。この近似の最大誤差は約2 × 10 ⁻⁹。パラメータは、以下の Python コードを使用して、拡張近似を誤差関数の正確な値にフィッティングすることによって得られます。

これらの近似はすべてx ≥ 0に対して有効です。負のxに対してこれらの近似を使用するには、 erf( x )が奇関数であるという事実、つまりerf( x ) = −erf(− x )を使用します。

相補誤差関数の指数境界と純粋な指数近似は^{[ 15 ]で与えられている。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&&x>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} (x)&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&&x>0.\end{aligned}}}$$

上記は、N の指数関数の和に一般化されており[ 16 ] ^{、 Nに関して}精度が向上し、erfc( x )は2Q̃ ( √2x )で正確に近似または制限できます。 $${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$ 特に、密接に関連するQ 関数のミニマックス近似または境界を与える数値係数{( a _n , b _n )} ^N _{n = 1}を解くための体系的な方法論があります。Q ( x ) ≈ Q̃ ( x )、Q ( x ) ≤ Q̃ ( x )、またはx ≥ 0の場合のQ ( x ) ≥ Q̃ ( x )です。指数近似と境界の多くのバリエーションに対する係数{( a _n , b _n )} ^N _{n = 1}は、 N = 25まで包括的なデータセットとしてオープンアクセスで公開されています。^{[ 17 ]}

x ∈ [0,∞) に対する相補誤差関数の厳密な近似はKaragiannidis & Lioumpas (2007) ^{[ 18 ]}によって与えられ、適切なパラメータ{ A , B }の選択により、 $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$ 彼らは{ A , B } = {1.98,1.135}を決定し、これはすべてのx ≥ 0に対して良好な近似値を与えた。特定のアプリケーションに合わせて精度を調整したり、式を厳密な境界に変換したりするために、代替係数も利用可能である。^{[ 19 ]}

単一項の下限は^{[ 20 ]である。}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$ ここで、パラメータβは、所望の近似区間における誤差を最小化するように選択できる。

セルゲイ・ウィニツキは、自身の「グローバル・パデ近似」を用いて別の近似式を与えている。^{[ 21 ] [ 22 ]： 2-3}$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$ どこ $${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$ これは、0 と無限大の近傍で非常に正確になるように設計されており、すべての実数xに対して相対誤差は 0.00035 未満です。代替値a ≈ 0.147を使用すると、最大相対誤差は約 0.00013 に減少します。^{[ 23 ]}

拡張された「グローバルパデ」近似、 $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4+0.880877880079853x^{2}+0.144026670907584x^{4}+0.0077581300270021x^{6}}{\pi +0.786235558186528x^{2}+0.128368576906837x^{4}+0.00773380006014367x^{6}}}\right)}}\,,}$$ 最大誤差は約2 × 10 ⁻⁹は、次の Python スクリプトで実証されています。

ウィニツキの近似式を逆算することで、逆誤差関数の近似式を得ることができる。 $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

最大誤差が任意の実数引数に対する1.2 × 10 ^{−7は次のようになります。 [ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\begin{cases}1-\tau ,&x\geq 0\\\tau -1,&x<0\end{cases}}\\\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\\t&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}\end{aligned}}}$$

近似値${\displaystyle \operatorname {erfc} }$最大相対誤差が以下${\displaystyle 2^{-53}}$${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$絶対値は次の通りです : ^{[ 25 ]}${\displaystyle x\geq 0}$、$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$ そして${\displaystyle x<0}$$${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$

実数値引数の簡単な近似は、双曲線関数を用いて行うことができる。 $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$ 絶対差は維持される${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$。

誤差関数とガウスQ関数は恒等式によって密接に関連しているため${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=2Q({\sqrt {2}}x)}$または同等に${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$Q関数に対して開発された境界は、相補誤差関数を近似するために適用できる。正の引数に対するガウスQ関数の厳密な下限と上限のペア${\displaystyle x\in [0,\infty )}$これは、指数項が2つだけの単純な代数式に基づいて、Abreu (2012) ^{[ 26 ]}によって導入されました。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\geq 0\\{\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)&\geq {\frac {1}{12}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\&\leq {\frac {1}{50}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\{\frac {1}{25}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{x+1}}e^{-x^{2}}\geq \operatorname {erfc} (x)&\geq {\frac {1}{6}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}}\end{aligned}}}$$

これらの境界は統一された形式から生じる$${\displaystyle Q_{\mathrm {B} }(x;a,b)={\frac {\exp(-x^{2})}{a}}+{\frac {\exp(-x^{2}/2)}{b(x+1)}},}$$パラメータ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$境界特性を保証するために選択されます。下限については、${\displaystyle a_{\mathrm {L} }=12}$そして${\displaystyle b_{\mathrm {L} }={\sqrt {2\pi }}}$、上限については、${\displaystyle a_{\mathrm {U} }=50}$そして${\displaystyle b_{\mathrm {U} }=2}$これらの式は簡潔さと厳密さを維持し、精度と計算の容易さの間の実用的なトレードオフを提供します。これらは、両方の関数が頻繁に現れるフェージングチャネル上の通信理論などの理論的文脈で特に価値があります。さらに、元の Q 関数境界は拡張できます。${\displaystyle Q^{n}(x)}$正の整数に対して${\displaystyle n}$二項定理により、べき乗への潜在的な適応性を示唆${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ただし、これはエラー関数アプリケーションではあまり必要とされない。

相補誤差関数（ erfcと表記）は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt\\&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x),\end{aligned}}}$$ また、スケーリングされた相補誤差関数erfcxも定義します^{[ 27 ]} (算術アンダーフローを回避するためにerfcの代わりに使用できます^{[ 27 ] [ 28 ]} )。 x ≥ 0のerfc xの別の形式は、発見者の名前をとってクレイグの公式として知られています: ^{[ 29 ] 。}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$この式はx の正の値に対してのみ有効ですが、 erfc( x ) = 2 − erfc(− x )と組み合わせて使用​​することで、負の値に対するerfc( x )を得ることができます。この形式の利点は、積分範囲が固定され有限であることです。2つの非負変数の和のerfcに対するこの式の拡張は^{[ 30 ]です。}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$

虚数誤差関数（ erfiと表記）は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (x)&=-i\operatorname {erf} (ix)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$$ ここで、D ( x )はドーソン関数です（算術オーバーフローを回避するためにerfiの代わりに使用できます^{[ 27 ]}）。

「虚数誤差関数」という名前にもかかわらず、erfi( x )はxが実数の場合に実数になります。

誤差関数を任意の複素引数zに対して評価すると、結果として得られる複素誤差関数は通常、ファデエワ関数としてスケーリングされた形で議論されます。 $${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$$

誤差関数は、スケーリングと平行移動のみが異なるため 、基本的に標準正規累積分布関数Φと同一であり、一部のソフトウェア言語ではnorm( x )とも呼ばれます。実際、$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$ または、erfとerfc用に再配置したもの: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi {\left(x{\sqrt {2}}\right)}-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi {\left(-x{\sqrt {2}}\right)}\\&=2\left(1-\Phi {\left(x{\sqrt {2}}\right)}\right).\end{aligned}}}$$

したがって、誤差関数は、標準正規分布の裾確率であるQ関数とも密接に関連している。Q関数は、誤差関数を用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Φの逆関数は正規分位関数またはプロビット関数として知られており、逆誤差関数を用いて次のように表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$$

標準正規分布の累積分布関数は確率論や統計学でより頻繁に用いられ、誤差関数は数学の他の分野でより頻繁に用いられる。

誤差関数はミッタッグ＝レフラー関数の特殊な場合であり、合流型超幾何関数（クンマー関数） としても表現できる。$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$$

フレネル積分を用いて簡単に表現できます。

正則化ガンマ関数Pと不完全ガンマ関数に関して、 $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=\operatorname {sgn}(x)\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\pi }}}\gamma {\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}.}$$sgn( x )は符号関数です。

相補誤差関数の反復積分は^{[ 31 ]で定義される。}$${\displaystyle {\begin{aligned}i^{n}\!\operatorname {erfc} (z)&=\int _{z}^{\infty }i^{n-1}\!\operatorname {erfc} (\zeta )\,d\zeta \\[6pt]i^{0}\!\operatorname {erfc} (z)&=\operatorname {erfc} (z)\\i^{1}\!\operatorname {erfc} (z)&=\operatorname {ierfc} (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} (z)\\i^{2}\!\operatorname {erfc} (z)&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} (z)-2z\operatorname {ierfc} (z)\right)\\\end{aligned}}}$$

一般的な漸化式は $${\displaystyle 2n\cdot i^{n}\!\operatorname {erfc} (z)=i^{n-2}\!\operatorname {erfc} (z)-2z\cdot i^{n-1}\!\operatorname {erfc} (z)}$$

彼らはパワーシリーズを持っている $${\displaystyle i^{n}\!\operatorname {erfc} (z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$$ そこから対称性の性質が導かれる $${\displaystyle i^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-i^{2m}\!\operatorname {erfc} (z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$$ そして $${\displaystyle i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$$

• POSIX準拠のオペレーティングシステムでは、ヘッダーはmath.h宣言され、数学ライブラリはlibm関数erfとerfc(倍精度) およびそれらの単精度と拡張精度の対応物erff、erflおよびerfcf、を提供する必要がありますerfcl。^{[ 32 ]}
• GNU Scientific Library はerf、、、、およびスケーリングされた誤差関数erfcを提供します。 ^{[ 33 ]}log(erf)

• libcerfは、複素誤差関数用の数値Cライブラリであり、 MIT Faddeevaパッケージに実装されているFaddeeva関数に基づいて、約13～14桁の精度で複素関数cerf、cerfcおよびcerfcx実関数を提供しますerfi。erfcx