プロビット

統計学において、プロビット関数は確率（0から1の間の数値）をスコアに変換します。このスコアは、標準正規分布（または「ベルカーブ」）における値が平均値からどれだけ標準偏差分離れているかを示します。例えば、確率0.5（50%）は分布のちょうど真ん中に位置するため、プロビットスコアは0になります。一方、確率が0.025（2.5%）のように小さい場合は、曲線の左端に位置し、プロビットスコアは約-1.96となります。

この関数は、二値結果（成功/失敗、合格/不合格など）の回帰分析の一種であるプロビットモデルで広く使用されています。これは、殺虫剤の濃度によって殺される害虫の割合がどのように変化するかなど、用量反応関係を分析するために毒性学で最初に開発されました。 ^{[ 1 ]}プロビット関数は、データセットが正規分布しているかどうかを評価するためのグラフツールであるQ-Qプロットを作成するためにも使用されます。

数学的には、プロビット関数は標準正規分布に関連付けられた分位関数（累積分布関数（CDF）の逆関数）です。CDFが で表される場合、${\displaystyle \Phi (z)}$⁠、するとプロビット関数は次のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1).}$$これは、 あらゆる確率において${\displaystyle p}$⁠、プロビット関数は値を求めます${\displaystyle z}$標準正規曲線の左側の面積が${\displaystyle z}$等しい⁠${\displaystyle p}$⁠ .

プロビット関数の考え方は、チェスター・イットナー・ブリスが1934年にサイエンス誌に発表した、殺虫剤によって殺された害虫の割合などのデータを扱う方法に関する記事で発表されました。^{[ 2 ]}ブリスは、殺された割合を現代の定義と線形関係にある「確率単位」（または「プロビット」）に変換することを提案しました（彼はこれを0.0001の場合は0、0.9999の場合は1と任意に定義しました）。^{[ 3 ]} 彼は、他の研究者が殺虫率を彼のプロビットに変換するのを助けるための表を含めました。研究者はそれを投与量の対数に対してプロットし、それによってほぼ直線が得られることを期待しました。このようないわゆるプロビットモデルは、他の分野と同様に、毒性学でも依然として重要です。このアプローチは、特に、被験者間の耐性の対数正規分布として反応の変動を合理化できる場合に正当化されます。ここで、特定の被験者の耐性は、関心のある反応にちょうど十分な投与量です。

Bliss によって導入された方法は、DJ Finneyによる毒性学的応用に関する重要なテキストであるProbit Analysisで引き継がれました。^{[ 4 ]} Finney によって表に示された値は、ここで定義されているプロビットに 5 を加えることで導き出すことができます。この区別は Collett によってまとめられています。^{[ 5 ]}プロビット関数の適合のための数値最適化を含むプロビット方法論は、電子計算機が広く利用可能になる前に導入されました。表を使用する場合、プロビットが一様に正であると便利でした。一般的な応用分野では、正のプロビットは必要ありません。

中心極限定理のおかげで、標準正規分布は確率論と統計学において基本的な役割を果たしています。標準正規分布は確率の95%を-1.96から1.96の間に置き、ゼロを中心に対称であるというよく知られた事実を考慮すると、次のことが言えます。 $${\displaystyle \ファイ (-1.96)=0.025=1-\ファイ (1.96)。}$$

プロビット関数は「逆」計算を行い、指定された累積確率に関連付けられた標準正規乱数の値を生成します。例を続けると、 $${\displaystyle \operatorname {probit} (0.025)=-1.96=-\operatorname {probit} (0.975).}$$

一般的に、 $${\displaystyle \Phi (\operatorname {probit} (p))=p,}$$ そして $${\displaystyle \operatorname {プロビット} (\ファイ (z))=z.}$$

プロビット関数は、重要な回帰分析の基礎となるだけでなく、Q-Qプロット法による正規性からの逸脱の診断にも統計分析において有用です。データセットが実際に正規分布のサンプルである場合、その値とプロビットスコアをプロットすると、ほぼ直線になります。非対称性、裾の重さ、二峰性などの正規性からの具体的な逸脱は、直線からの具体的な逸脱を検出することによって診断できます。Q-Qプロットは、正規分布だけでなく、あらゆる分布族との比較に使用できますが、正規分布を仮定することが分析の出発点となることが多いため、正規分布のQ-Qプロットは比較的標準的な探索的データ分析手順となっています。

正規分布の累積分布関数とその逆関数は閉じた形式では得られず、計算には数値計算手順を慎重に用いる必要があります。しかし、これらの関数は統計学や確率モデリングのためのソフトウェア、およびスプレッドシートで広く利用可能です。逆誤差関数の数値実装が利用可能な計算環境では、プロビット関数は次のように得られます 。$${\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).}$$ 一例として、MATLABerfinvでは関数が利用可能です。Mathematica 言語では、この関数が実装されています。他の環境では、次のRInverseErfコードに示すように、プロビット関数が直接実装されています。

> qnorm ( 0.025 ) [1] -1.959964 > pnorm ( -1.96 ) [1] 0.02499790

Wichuraは、プロビット関数を小数点以下16桁まで計算する高速アルゴリズムを提供しており、これはRで正規分布の乱数を生成するために使用されています。^{[ 6 ]}

プロビット関数（およびプロビットモデル）と密接に関連しているのは、ロジット関数とロジットモデルです。ロジスティック関数の逆関数は次のように表されます。 $${\displaystyle \operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}$$

プロビットモデルと同様に、このような量が予測変数の集合と線形関係にあると仮定すると、ロジットモデルが得られます。これは特にロジスティック回帰モデルの基礎であり、カテゴリカル応答データに対する最も一般的な回帰分析形式です。現在の統計実務では、プロビット回帰モデルとロジット回帰モデルは、一般化線形モデルのケースとして扱われることがよくあります。

• 検出誤差トレードオフグラフ（DETグラフ、ROC曲線の代替となるもの）
• ロジスティック回帰（別名：ロジットモデル）
• ロジット
• プロビットモデル
• 多項プロビット
• Q-Qプロット
• 連続関数
• 単調関数
• 分位関数
• シグモイド関数
• チェスター・ブリスによって開発されたランクキット分析
• リディットスコアリング

• どのリンク関数が最適か？（​​ロジット、プロビット、それともクロログ？） 2023年4月12日