ファデエバ関数

ファデエバ関数またはクランプ関数は、スケールされた複素相補誤差関数である。

${\displaystyle w(z):=e^{-z^{2}}\オペレーター名 {erfc} (-iz)=\オペレーター名 {erfcx} (-iz)=e^{-z^{2}}\ left(1+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{t^{2}}{\text{d}}t\right)。 }$

これは、フレネル積分、ドーソン積分、およびフォークト関数と関連しています。

この関数は、複雑な媒体における電磁気応答に関連するさまざまな物理的問題で発生します。

• これは、マクスウェル分布に従う プラズマ中を伝播する小振幅波に関する問題であり、特に、分散関係が導かれるプラズマの誘電率に現れるため、プラズマ分散関数と呼ばれることもある^{[1] [2] （ただし、この名前は、} Fried and Conte、1961 ^{[1] [3} ]によって定義された再スケールされた関数Z ( z ) = i √ π w ( z )の代わりに使用されることもある）。
• アモルファス酸化物の赤外線誘電率関数は共鳴（フォノンによる）を持ち、単純な調和振動子では当てはめるには複雑すぎる場合がある。ブレンデル・ボルマン振動子モデルは、ガウス分布を持つわずかに異なる周波数を持つ振動子の無限の重ね合わせを使用する。^[4]積分応答はファデエバ関数で表すことができる。
• Faddeeva 関数は、AM ラジオで使用されるタイプの電磁波の解析にも使用されます。^[要出典]地上波は、有限の抵抗率と誘電率を持つ損失のある地面上を伝播する垂直偏波です。
• ファデエバ関数は温度変化に伴う物質の中性子断面積の変化も記述する。 ^[5]

実部と虚部への分解は通常次のように表される。

${\displaystyle w(x+iy)=V(x,y)+iL(x,y)}$、

ここで、V(x,y)はVoigtプロファイル（前因子まで） であるため、VとLは実数と虚数のVoigt関数と呼ばれます。

符号反転引数の場合、次の両方が適用されます。

${\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}$

そして

${\displaystyle w(-z)=w\left(z^{*}\right)^{*}}$

ここで、* は複素共役を表します。

虚数引数で評価されたFaddeeva関数は、スケールされた相補誤差関数（）に等しくなります。 ${\displaystyle \mathrm {erfcx} }$

${\displaystyle w(iz)=\mathrm {erfcx} (z)=e^{z^{2}}\mathrm {erfc} (z)}$、

ここで、erfcは相補誤差関数です。大きな実数xの場合:

${\displaystyle \mathrm {erfcx} (x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}x}}}$

いくつかのアプリケーションでは、Faddeeva関数の元の値だけでなく、その導関数も知る必要があります（例：分光法における非線形最小二乗回帰）。その導関数は次のように与えられます：^{[6] [7]}

${\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}$

この式は、Faddeeva 関数との実数部と虚数部の変化に関してさらに分解することもできます。基本的に、これには積 の実数部と虚数部に関する知識が必要です。上記の定義を利用すると、導関数は次のよう におよびに関する偏導関数に分割できます。${\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}$${\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}$${\displaystyle z\cdot w\left(z\right)}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}$      そして      ${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}$      そして      ${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}$

これらの偏導関数の使用に関する実際の例については、ここを参照してください。

ファデエバ関数は次のように発生する。

${\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t={\frac {2iz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z^{2}-t^{2}}}\,\mathrm {d} t,\qquad \operatorname {Im} z>0}$

つまり、これは単純な極を持つガウス分布の畳み込みです。

この関数は、1954 年にVera Faddeevaと NN Terentyevによって作表されました。^[8] Abramowitz と Stegun (1964) の式 7.1.3では、名前のない関数w(z)として表示されます。 Faddeeva 関数という名前は、1990 年に GPM Poppe と CMJ Wijers によって導入されたようです。^{[9] [より良い出典が必要]}以前は、これはクランプ関数として知られていました (おそらくクリスチャン クランプにちなんで)。^[10]

初期の実装では、Walter Gautschi (1969–70; ACM Algorithm 363) ^[11]や J. Humlicek (1982) による方法が使用されていました。^[12] Poppe と Wijers (1990; ACM Algorithm 680) は、より効率的なアルゴリズムを提案しました。^{[13] JAC Weideman (1994) は、} MATLABコードで 8 行以内の非常に短いアルゴリズムを提案しました。 ^[14] Zaghloul と Ali は、以前のアルゴリズムの欠陥を指摘し、新しいアルゴリズムを提案しました (2011; ACM Algorithm 916)。^[2] M. Abrarov と BM Quine (2011/2012) は、別のアルゴリズムを提案しました。^[15]

非商用利用に限り無料で使用できる2つのソフトウェア実装^[16]が、 ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS)にアルゴリズム680（Fortran ^[17]で、後にCに翻訳）^[18]とZaghloulとAliによるアルゴリズム916（MATLAB ^[19]）として公開されました。

アルゴリズム 680 とアルゴリズム 916 の組み合わせから派生した無料のオープンソースの C または C++ 実装 (異なる z に対して異なるアルゴリズムを使用)もMITライセンス [20] の下で利用可能であり、^{ライブラリ}パッケージlibcerf [21] としてメンテナンスされています。^この実装は、Matlab ^[20]、GNU Octave ^[20]のプラグイン としても利用可能であり、 PythonではScipyとして利用できます(これは元々 TOMS 680 コードでしたが、著作権の問題により置き換えられました^[22] )。 scipy.special.wofz

プラズマ分散関数を高速かつ正確に計算するためには、J極パデ近似が有用であることがわかっている。^[23]すなわち、 ${\displaystyle Z(z)}$

${\displaystyle Z(z)=\sum _{j=1}^{J}{\frac {b_{j}}{z-c_{j}}}.}$

J=8 の場合、b1= -0.017340112270401 - 0.046306439626294i、b2= -0.739917811220052 + 0.839518284620274i、b3= 5.840632105105495 + 0.953602751322040i、b4= -5.583374181615043 -11.208550459628098i、c1= 2.237687725134293 - 1.625941024120362i を使用できます。 c2= 1.465234091939142 - 1.789620299603315i; c3= 0.839253966367922 - 1.891995211531426i; c4= 0.273936218055381 - 1.941787037576095i; b(5:8)=(b(1:4))*; c(5:8)=-(c(1:4))*,

ここで、*は複素共役を表す。上記の近似は上面に対して有効である。実軸に弱く近い、すなわち下面の実軸から遠くない場合でも、上記の近似は有効である。 を正確に計算するには 、次を使うことができる 。${\displaystyle z}$${\displaystyle Im(z)}$${\displaystyle Im(z)<0}$

${\displaystyle Z(z)=[Z(z^{*})]^{*}+2i{\sqrt {\pi }}\exp[-z^{2}].}$

上記のJ極アプローチのコーディングと正確なプラズマ分散関数との比較が見つかります。^[24]有理近似と多極近似によるプラズマ分散関数の高速計算のための包括的な係数も利用可能です。^[25]

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