ドーソン関数

数学において、ドーソン関数またはドーソン積分^{[ 1 ]} （ HGドーソン^{[ 2 ]} にちなんで命名）は、ガウス関数の片側フーリエ・ラプラス正弦変換である。

ドーソン関数は、以下のように定義されます。 $${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}$$ また、次のように表記される${\displaystyle F(x)}$または${\displaystyle D(x),}$ または別の方法として $${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}$$

ドーソン関数はガウス関数の片側フーリエ・ラプラス正弦変換である。 $${\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}$$

これは誤差関数erfと密接に関係しており、

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}$

ここで、erfi は虚数誤差関数であり、erfi( x ) = − i erf( ix ) である。 同様に、 $${\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}$$ 実際の誤差関数 erf に関して。

erfi関数またはFaddeeva関数のいずれに関しても${\displaystyle w(z),}$ドーソン関数は複素平面全体に拡張できる：^{[ 3 ]}$${\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}$$ これは以下のように簡略化できます $${\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]}$$$${\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$ 実際に${\displaystyle x.}$

のために${\displaystyle |x|}$ ゼロに近い場合、F ( x ) ≈ x。${\displaystyle |x|}$大きい場合、F ( x ) ≈ 1/(2x )となります。 より具体的には、原点付近では級数展開が成り立ちます。 $${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$ 大規模な場合${\displaystyle x}$漸近展開は次のようになる$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}$$

より正確には $${\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$ どこ${\displaystyle n!!}$は二重階乗です。

${\displaystyle F(x)}$微分方程式を満たす$${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}$$初期条件 付き${\displaystyle F(0)=0.}$したがって、極値を持つ $${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}$$ その結果、x  =  ±0.92413887... ( OEIS : A133841  )、F ( x )  =  ±0.54104422... ( OEIS : A133842  ) となった。

変曲点は次のようになります $${\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}$$ その結果、x  =  ±1.50197526... ( OEIS : A133843  )、F ( x )  =  ±0.42768661... ( OEIS : A245262  )​​ となる。(自明な変曲点を除いて)${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle F(x)=0.}$）

ガウス関数のヒルベルト変換は次のように定義さ れる。$${\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}$$

PVはコーシー主値を表し、実数に限定する。${\displaystyle y.}$${\displaystyle H(y)}$は、次のようにドーソン関数と関連付けることができます。主値積分の中では、${\displaystyle 1/u}$一般化された関数または分布として、フーリエ表現を使用する $${\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}$$

と${\displaystyle 1/u=1/(y-x),}$指数表現を使用します${\displaystyle \sin(ku)}$そして、${\displaystyle x}$見つける $${\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

積分を移動させることができます${\displaystyle x}$実軸に、そして${\displaystyle \pi ^{1/2}.}$ したがって $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].}$$

に関して平方完成します${\displaystyle k}$そして入手する $${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].}$$

変数を変更して${\displaystyle u=ik/2+y:}$$${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}$$

この積分は、複素平面上の長方形に沿った経路積分として実行できます。結果の虚部を取ると、次のようになります。 $${\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}$$ どこ${\displaystyle F(y)}$これは、上記で定義されたドーソン関数である。

ヒルベルト変換${\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}$はドーソン関数とも関連しています。これは、積分記号内で微分する手法で確認できます。 $${\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

導入 $${\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}$$

の${\displaystyle n}$の導関数は $${\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

したがって、我々は次のことを発見する $${\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}$$

導関数を最初に実行し、次に結果を評価します。${\displaystyle a=1.}$変数変換によって${\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}$以来${\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}$私たちは書くことができます${\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}$どこ${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle P_{2}}$多項式です。例えば、${\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}$あるいは、${\displaystyle H_{n}}$漸化式を用いて計算できる（${\displaystyle n\geq 0}$） $${\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}$$

• 数学関数の一覧

• GNU科学ライブラリのgsl_sf_dawson
• libcerf は、複素誤差関数を扱う数値 C ライブラリであり、約 13～14 桁の精度を持つ関数voigt(x, sigma, gamma)を提供します。これは、MIT Faddeeva パッケージに実装されているFaddeeva 関数に基づいています。
• ドーソンの積分（Mathworldより）
• エラー関数は、 2019年11月1日にWayback Machineにアーカイブされました。