ポアンカレ円盤モデル における青色のホロサイクルといくつかの赤色の法線。法線は漸近的に上部中心理想点 に収束する。双曲幾何学 において、ホロサイクル （ギリシャ語で 「境界円」を意味する語に由来）は、オリサイクル またはリミットサークル とも呼ばれ、曲 率 が一定の曲線であり、ホロサイクル上の点を通るすべての垂直 測地線 （法線）は 極限的に平行 であり、すべてが漸近的にホロサイクルの中心 理想点 に収束します。双曲幾何学のいくつかのモデルでは、ホロサイクルの2つの「端」が互いに、そして中心にどんどん近づいていくように見えますが、これは正しくありません。ホロサイクルの2つの「端」は互いにどんどん遠ざかり、中心から無限遠の距離にとどまります。ホロスフィア は、ホロサイクルの3次元バージョンです。
ユークリッド空間 では、曲率が一定の曲線はすべて直線 （測地線）または円 ですが、断面曲率 の双曲空間では − 1 、 {\displaystyle -1,} κ = 0 、 {\displaystyle \kappa =0,} ハイパーサイクル 0 < | κ | < 1 、 {\displaystyle 0<|\kappa |<1,} | κ | = 1 、 {\displaystyle |\kappa |=1,} | κ | > 1. {\displaystyle |\kappa |>1.}
任意の2つのホロサイクルは合同で あり、双曲平面の等長変換（平行移動と回転）によって重ね合わせることができる。
ホロサイクルは、ある点において接線を共有する円の半径が無限大 に近づくときの極限、あるいは、その点において接線を持つハイパーサイクルの軸からの距離が無限大に近づくときの極限として記述することもできます。
中心が同じ2つのホロサイクルは同心円と
不動産
ユークリッド円と同様の性質 双曲幾何学におけるホロサイクルは、ユークリッド幾何学 における円 と類似した性質をいくつか持っている。
3つの点は、 直線 、円 、またはハイパーサイクル上には存在しない。 直線、 円 、ハイパーサイクル 上にない3つの点 はホロサイクル上にある。ホロサイクルは非常に対称性の 高い形状であり、中心を通るすべての線は鏡映対称線となる。 直線、円 、ハイパーサイクル、またはその他のホロサイクルは 、 ホロサイクルを最大で2点で切断する。 2点間のホロサイクルの弧の長さは 、その2点間の線分の長さよりも大きい。 弦 の垂直二等分線はホロサイクルの中心を通る。垂直二等分線の一意性から導かれる同等の記述は以下のとおりである。ホロサイクルの中心から引いた垂線は、弦を二等分する。 弦の中心を通る線分が弦を二等分する場合、その線分は弦に垂直である。 ホロサイクル上にある半径の終点を通る、半径に垂直な線は 、ホロサイクルの接線である。 ホロサイクルとの接点を通る接線に垂直に引いた線は 、ホロサイクルの中心を通る。 ホロサイクルの外側の点 からホロサイクルに2本の接線を引くことができ、これらの接線の長さは等しい。ホロサイクルの扇形（2つの半径とホロサイクルの間の領域）の面積は有限である 。[ 1 ] C がホロサイクルの中心 であり、 A とB がホロサイクル上の点である場合、角CAB と角CBAは 等しい。[ 2 ]
その他の物件 任意の2点間には2つのホロサイクルが存在する。 ホロサイクルの中心は、それらの点間の線分の垂直二等分線の理想的な点である。すべてのホロサイクルは 合同で 2点間のホロサイクルの弧の長さは次のとおりです。 2点間の線分の長さよりも大きい、 それら2点間のハイパーサイクルの弧の長さよりも大きく、 その2点間の円弧の長さよりも短い。 ホロサイクルの扇形の面積は有限であるが、 ホロサイクルの総面積は無限 である（ホロサイクルは無限個の等しい扇形に分割できる）。 正多角形は、 2つの同心円状のホロサイクルによって外接および内接することができる。 ホロサイクルからその中心までの距離は無限大であり、双曲幾何学のいくつかのモデルでは、ホロサイクルの2つの「端」がどんどん近づいて中心に近づいていくように見えるが、これは正しくない。ホロサイクルの2つの「端」は互いにどんどん遠ざかっていく。
標準化されたガウス曲率を持つ双曲平面上のホロサイクル 双曲平面の標準化ガウス曲率 K が-1の場合：
ホロサイクルの扇形の面積は、 その扇形を囲む弧の長さに等しい。 ホロサイクルの曲率は1です 2点間のホロサイクルの弧の長さ sは次のとおりである。 s = 2 シン （ 1 2 d ） = 2 （ コッシュ d − 1 ） {\displaystyle s=2\sinh \left({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}}} ここで、d は 2 点間の距離であり、sinh と cosh は双曲線関数 である。[ 3 ]
一方の端点での接線が他方の端点を通る半径に平行となる ようなホロサイクルの弧の長さは1 である。 [ 4 ] [ 5 ] 同心円状の2つのホロサイクルの半径間の弧長の比は、距離1だけ離れている2つのホロサイクルで、e :1である。 [ 6 ]
双曲幾何学のモデルにおける表現 次数3のアペイロゴナルタイリング {∞,3}は、頂点がホロサイクリックパスに沿って存在するアペイロゴナル で双曲平面を埋め尽くします。
双曲平面のポアンカレ円盤モデル では、ホロサイクルは境界円に接する 円で表され、ホロサイクルの中心は、ホロサイクルが境界円に接する理想的な点である。
2点を通る2つのホロサイクルのコンパスと定規による作図は、 両方の点が円の内側にあるアポロニウスの問題の特殊な場合 におけるCPP作図と同じである。
ポアンカレ円盤モデルでは、ホロサイクルの両端に近い点が互いに近づき、ホロサイクルの中心（境界円上）にも近づくように見えますが、双曲幾何学では、ホロサイクル上のすべての点はホロサイクルの中心から無限遠にあります。また、ホロサイクルの両端にある点間の距離は、それらの点間の弧長が増加するにつれて大きくなります。（境界円ではモデルのスケールが無限大になるため、ユークリッド幾何学的な直感は誤解を招く可能性があります。）
ポアンカレ半平面モデル では、ホロサイクルは境界線に接する円で表され、その中心は円が境界線に接する理想的な点となる。
ホロサイクルの中心が理想的な点である場合y = ∞ {\displaystyle y=\infty }
最初のケースにおけるコンパスと定規を用いた作図は、 アポロニウスの問題の特殊なケース におけるLPP作図と同じである。
メトリック 計量がガウス曲率 -1 となるように正規化されている場合、ホロサイクルはすべての点で測地曲率 1の曲線となる。
参考文献 ↑ Coxeter, HSM (1998). Non-Euclidean geometry ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. pp. 243-244 . ISBN 978-0-88385-522-5 。 ↑ Sossinsky, AB (2012). Geometries . Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 141 2. ISBN 9780821875711 。↑ スモゴルジェフスキー (1976). ロバチェフスキー幾何学 . モスクワ: ミール. p. 65. ↑ Sommerville, DMY (2005). 非ユークリッド幾何学の要素 （完全改訂版 ）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。58 ページ 。ISBN 0-486-44222-5 。↑ Coxeter , HSM (1998). 非ユークリッド幾何学 （第6 版）. ワシントンDC：アメリカ数学協会. p. 250. ISBN 978-0-88385-522-5 。↑ Sommerville, DMY (2005). 非ユークリッド幾何学の要素 （完全改訂版 ）。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。58 ページ 。ISBN 0-486-44222-5 。↑ Morris, Dave Witte (2005). Ratner's Theorems on Unipotent Flows . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3 MR 2158954 . 
