翻訳面

数学において、並進面は、ユークリッド平面上の多角形の辺を並進によって特定することで得られる面です。同等の定義は、リーマン面と正則 1 形式の組み合わせです。

これらの表面は、ビリヤードをモデル化するために使用できる力学系や、タイヒミュラー理論で発生します。特に興味深いサブクラスは、最も対称的な表面である ヴィーチ表面（ウィリアム A. ヴィーチにちなんで名付けられました）です。

平行移動面は、平面多角形の集合の側面を平行移動によってペアごとに識別することによって得られる空間です。

より正式な定義を以下に示します。 をユークリッド平面上の (必ずしも凸である必要はない) 多角形の集合とし、任意の の各辺に対してを持つ の辺が存在し、何らかの非ゼロのベクトルに対して が存在するとします(したがって となります) 。写像 を通じてすべてを対応する と同一視することによって得られる空間について考えます。 ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{m}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle P_{l}}$${\displaystyle j\not =i}$${\displaystyle s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{j}=-{\vec {v}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle x\mapsto x+{\vec {v}}_{i}}$

このような表面を構築する標準的な方法は次のとおりです。ベクトルと上の順列から始めて、任意に選択した点から破線と を形成します。これらの 2 つの線が多角形を形成する場合 (つまり、端点以外で交差しない場合)、自然な辺のペアリングが存在します。 ${\displaystyle {\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_{n}}$ ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{n}}$${\displaystyle L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\vec {w}}_{\sigma (n)}}$

商空間は閉じた面です。頂点の集合像の外側には平坦な計量があります。 における点では、それに写像する頂点の周りの多角形の角度の和は の正の倍数であり、角度がちょうど でない限り計量は特異です。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

を上で定義した並進面、 を特異点の集合とします。ユークリッド平面を複素平面と同一視すると、に値を持つ 上の座標チャートが得られます。さらに、チャート の変化は正則写像、より正確には、ある に対する形式の写像です。これによりリーマン面の構造が得られ、これは除去可能な特異点に関するリーマンの定理により面全体に拡張されます。さらに、が上で定義した任意のチャートである微分は、チャートに依存しません。したがって、チャート領域で定義されたこれらの微分は、 上の明確に定義された正則 1 形式を形成するために互いに接着します。円錐角が に等しくない多角形の頂点は の零点です( の円錐角は次数 の零点に対応します)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S\setminus \Sigma }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\mapsto z+w}$${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle S\setminus \Sigma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle dz}$${\displaystyle z:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle 2k\pi }$${\displaystyle (k-1)}$

逆に、コンパクトなリーマン面と正則 1 形式のペアが与えられた場合、その零点間の互いに素な経路が相対コホモロジーの積分基底を形成する 複素数を使用して多角形を構築できます。${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega}$${\textstyle \int _{\gamma _{j}}\omega }$${\displaystyle \gamma_{j}}$${\displaystyle \omega}$

平行移動面の最も単純な例は、平行四辺形の反対側の辺を接着することによって得られます。これは、特異点のない平坦なトーラスです。

が正多角形である場合、反対側の辺を接着することによって得られる平行移動面は、角度 の単一の特異点を持つ種数 です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle 4g​​}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (2g-1)2\pi }$

が単位正方形のコピーの集合を並べて得られる場合、 から得られる任意の平行移動面は正方形タイル面と呼ばれます。すべての正方形を識別することによって得られる表面から平坦なトーラスへの写像は、分岐点が特異点である分岐被覆です(特異点における円錐角は分岐の度合いに比例します)。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

曲面が種数 の閉リーマン面であり、上の非零正則1次元形式であり、零点が の位数であるとする。このとき、リーマン・ロッホの定理は次を意味する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{m}}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.}$

平行移動面が多角形で表される場合、それを三角形に分割し、すべての頂点の角度を合計すると、双曲面のガウス・ボネの公式の証明やジラールの定理からのオイラーの公式の証明と同じ方法で、上記の式を復元できます（円錐角とゼロの順序の関係を使用） 。 ${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle P}$

が平行移動面である場合、上には自然に測定された葉脈構造があります。 が多角形から得られる場合、それは単に垂直線の像であり、円弧の測度は単に円弧に同相な水平線分のユークリッド長さです。 葉脈構造は、 の（局所）プリミティブの虚数部の水平線によっても得られ、 の測度は実数部を積分することによって得られます。 ${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega}$

を種数 の並進面の集合とします（となる正則微分同相写像が存在する場合、そのような2 つは同じであるとみなされます）。 を種数 のリーマン面のモジュライ空間とします。並進面を基礎となるリーマン面にマッピングする自然な写像が存在します。これは、モジュライ空間上の 局所的に自明なファイバー束になります。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (X,\omega ),(X',\omega ')}$${\displaystyle \phi :X\to X'}$${\displaystyle \phi ^{*}\omega '=\omega }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

コンパクトな変換面には、の零点の位数であるデータが関連付けられます。がの整数分割である場合、層は、零点が分割と一致する正則形式を持つ変換面の の サブセットです。${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$${\displaystyle k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})}$${\displaystyle 2g-2}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

層は当然、複素次元の複素オービフォールドである（ はトーラスのモジュライ空間であり、オービフォールドであることはよく知られている。より高次の種数では、多様体ではないことはさらに劇的である）。局所座標は次のように与えられる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle 2g+m-1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(0)}$

${\displaystyle (X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots ,\int _{\gamma _{n}}\omega \right)}$

ここで、およびは上記と同様にこの空間のシンプレクティック基底です。 ${\displaystyle n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1}$${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}}$

層は- 作用を許容し、したがって実複素射影化を許容します。実射影化は、面積 1 の並進面の空間として定義すると、自然切断を許容します。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle {\mathbb {C} }^{*}}$${\displaystyle {{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}(\alpha )}$

上記の周期座標の存在により、地層に積分アフィン構造と自然な体積形式を与えることができます。を分解することでの体積形式も得られます。Masur-Veech 体積はのに対する全体積です。この体積はWilliam A. Veech ^[1]とHoward Masur ^[2]によって独立に有限であることが証明されました。${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle Vol(\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$${\displaystyle \nu _{1}(\alpha )}$

1990 年代に、マキシム・コンツェビッチとアントン・ゾリッヒは、の格子点を数えることによってこれらの体積を数値的に評価しました。彼らは、 がの有理数倍の形になるはずであることに気づきました。この観察から、彼らは、曲線のモジュライ空間上の交差数で体積を表す式が存在すると予想しました。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle Vol(\alpha )}$${\displaystyle \pi ^{2g}}$

アレックス・エスキンとアンドレイ・オクンコフは、これらの体積を計算する最初のアルゴリズムを提示しました。彼らは、これらの数の生成系列が計算可能な準モジュラー形式のq展開であることを示しました。このアルゴリズムを使用して、コンツェビッチとゾリッヒの数値的観察を確認することができました。^[3]

最近では、Chen、Möller、Sauvaget、don Zagier らが、体積は の代数的コンパクト化上の交差数として計算できることを示した。現在、この公式を半平行移動面の層に拡張する問題は未解決である。^[4]${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )}$

が多角形の面を識別することによって得られる平行移動面である場合、平行移動面は多角形に関連付けられた平行移動面です。これにより、層を保存するモジュライ空間への の連続的な作用が定義されました。この作用は、 に関してエルゴードなへの作用につながります。 ${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$${\displaystyle g(P)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )}$${\displaystyle \nu _{1}}$

半平行移動面は平行移動面と同様に定義されますが、接着マップに半回転という重要な線形部分を持たせることができます。正式には、平行移動面は、ユークリッド平面のポリゴンのコレクションを取り、面を形式のマップで識別することによって幾何学的に定義されます(「半平行移動」)。面はそれ自体と同一視できることに注意してください。この方法で得られる幾何学的構造は、円錐角が の正の倍数である有限個の特異点の外側の平坦なメトリックです。 ${\displaystyle z\mapsto \pm z+w}$${\displaystyle \pi }$

平行移動面の場合と同様に、解析的な解釈があります。半平行移動面は、がリーマン面であり、上の二次微分であるペアとして解釈できます。幾何学的図から解析的図に移るには、 によって局所的に定義される二次微分(これは半平行移動に対して不変) を取り、反対方向では によって誘導されるリーマン計量を取ります。これは のゼロの外側では滑らかで平坦です。 ${\displaystyle (X,\phi )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (dz)^{2}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

がリーマン面である場合、 上の二次微分のベクトル空間は、より上の任意の点におけるタイヒミュラー空間への接空間と自然に同一視されます。これは、ベルス埋め込みを用いた解析的手段によって証明できます。半平行移動面を使用すると、これをより幾何学的に解釈できます。つまり、 がタイヒミュラー空間内の 2 点である場合、タイヒミュラーの写像定理により、半平行移動によって面を同一視できる 2 つの多角形が存在し、これらの多角形はそれぞれ に同型な基礎リーマン面を持つ平面と、を に送る平面のアフィン写像 (この写像は、その同位体類の準等角写像の中で歪みが最小で、 に同位) になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle h\circ g^{-1}}$

が の形をとるようにすれば、スケーリングを除いてすべては一意に決定されます。ここで、ある に対して です。多角形 から得られるリーマン面によって表します。ここで、タイヒミュラー空間のパスは に結合し、これを で微分すると接空間のベクトルが得られます。 は任意であるため、一対一になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)}$${\displaystyle s>0}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle f_{t}(P)}$${\displaystyle t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)}$${\displaystyle (X,g)}$${\displaystyle (Y,h)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle (Y,g)}$

実際、この構築に使用されている経路はタイヒミュラー測地線です。興味深い事実は、平面に関連付けられた測地線は測定された葉理に対応し、したがって接空間の方向はサーストン境界と同一視される一方で、平面に関連付けられたタイヒミュラー測地線は必ずしも境界上の対応する点に収束するわけではないということです^{[5] 。ただし、そのような線のほとんどは収束します[6]}。

が平行移動面である場合、そのヴィーチ群は、 が（平行移動面として） に同型であるような変換の部分群のにおける像であるフックス群である。同様に、はアフィン微分同相写像の微分群である（ここでアフィンは、平行移動構造によって誘導されるアフィン構造に関して、特異点の外側で局所的に定義される）。ヴィーチ群には次の特性がある：^[7]${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g\cdot (X,\omega )}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \mathrm {SL} (X,\omega )}$${\displaystyle (X,\omega )\to (X,\omega )}$

• これらは 内の離散的な部分群です。${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$
• それらは決してコンパクトではありません。

Veech群は有限生成でも非有限生成でもよい。^[8]

Veech 面は定義により、Veech 群が内の格子である並進面であり、双曲面上のその作用は有限体積の基本領域を許容します。これはココンパクトではないため、放物線要素を必ず含みます。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Veech 面の例としては、正方形にタイルを敷いた曲面があり、その Veech 群はモジュラー群と通約可能である。^{[9] [10]}正方形は任意の平行四辺形に置き換えることができる（得られる平行四辺形は、平坦なトーラスの分岐被覆として得られるものとまったく同じである）。実際、Veech 群が算術的である（つまり、モジュラー群と通約可能である）のは、面が平行四辺形でタイルを敷いているときのみである。^[10] ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Veech 群が算術的でない Veech 面も存在する。例えば、2 つの正五角形を辺に沿って貼り合わせて得られる面などである。この場合、Veech 群は非算術的な Hecke 三角形群である。^[9]一方、Veech 面の Veech 群には算術的な制約がいくつかある。例えば、そのトレース体は数体^[10]であり、これは完全に実数である。^[11]

平行移動面（または半平行移動面）の測地線は、特異点の外側では、局所的には弧長によってパラメータ化されたユークリッド空間の直線の像であるパラメータ化された曲線です。測地線が特異点に到達した場合、そこで停止する必要があります。したがって、最大測地線は、閉区間で定義される曲線であり、特異点に遭遇しない場合は実数線全体です。測地線の像がコンパクトな場合、測地線は閉じているか周期的です。その場合、測地線は、特異点に遭遇しない場合は円、または 2 つの（おそらく等しい）特異点間の弧になります。後者の場合、測地線は鞍型接続と呼ばれます。

（または半平行移動面の場合）の場合、方向 theta の測地線は 上で明確に定義されます。つまり、 （または半平行移動面の場合）を満たす曲線です。方向の 上の測地線フローとは、が特異でない 場合、がから方向 を持つ測地線が始まって上 のフローです。${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$${\displaystyle \phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }}$${\displaystyle (X,\phi )}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p}$

平坦なトーラス上では、与えられた方向の測地線の流れは周期的かエルゴード的かという性質を持つ。一般にこれは正しくなく、流れが最小（つまり、すべての軌道が表面上で密）であるがエルゴード的ではない方向が存在する可能性がある。^[12]一方、コンパクトな並進面上では、流れは平坦なトーラスの最も単純なケースからほぼすべての方向でエルゴード的であるという性質を保持する。^[13]

もう一つの自然な疑問は、与えられた長さの閉じた測地線または鞍接続の数の漸近推定を確立することです。平坦なトーラスには鞍接続はなく、長さ の閉じた測地線の数はに相当します。一般に、境界のみを取得できます。 が種数のコンパクトな変換面である場合、閉じた測地線と長さ の鞍接続の両方が次を満たす 定数（種数のみに依存）が存在します。${\displaystyle T}$${\displaystyle \leq L}$${\displaystyle L^{2}/\operatorname {volume} (T)}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle N_{cg}(L)}$${\displaystyle N_{sc}(L)}$${\displaystyle \leq L}$

${\displaystyle {\frac {c_{1}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm {sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

確率的な結果に限定することで、より良い推定値を得ることができます。種数、の分割、および層の連結成分が与えられた場合、ほぼすべてのに対して漸近等価が成り立つ定数があります。^[13]${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$${\displaystyle c_{\mathrm {cg} }c_{\mathrm {sc} }}$${\displaystyle (X,\omega )\in {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}}$、${\displaystyle N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatorname {volume} (X,\omega )}}.}$

これらの定数はシーゲル・ヴィーチ定数と呼ばれる。に対する -作用のエルゴード性を利用して 、これらの定数は特定のマズール・ヴィーチ体積の比として明示的に計算できることが示された。^[14]${\displaystyle c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(\alpha )}$

Veech面上の測地線の流れは、一般のものよりもはるかに良好な挙動を示します。これは、Veech二分法と呼ばれる次の結果によって表現されます。^[15]

を Veech 面、を方向とします。すると、 で定義されたすべての軌道が周期的であるか、 方向の流れがエルゴード的であるかのどちらかになります。${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \theta }$

がユークリッド平面内の多角形で が方向である場合、ビリヤードと呼ばれる連続的な力学系が存在します。多角形内の点の軌道は次のように定義されます。境界に触れない限り、単位速度で直線上を進みます。エッジの内部に触れると跳ね返ります (つまり、エッジの垂線で直交反射して方向が変わります)。頂点に触れると停止します。 ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

この力学系は、平面上の測地線フローと同等です。つまり、エッジに沿って多角形を 2 倍にし、頂点以外のすべての場所に平坦な計量を配置するだけです。頂点は、対応する頂点での多角形の角度の 2 倍の円錐角を持つ特異点になります。この表面は、平行移動面でも半平行移動面でもありませんが、場合によってはこれらに関連しています。つまり、多角形のすべての角度が の有理倍数である場合、この表面の分岐被覆が存在し、これは平行移動面であり、 のコピーの和集合から構築できます。ビリヤード フローのダイナミクスは、平行移動面上の測地線フローを介して研究できます。 ${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P_{0}}$

たとえば、正方形のビリヤードは、正方形の 4 つのコピーから構成される平面トーラス上のビリヤードとこのように関連しています。正三角形のビリヤードは、六角形から構成される平面トーラスを生み出します。正方形から構成される「L」字型のビリヤードは、正方形のタイル張りの表面上の測地線フローと関連しています。角度のある三角形のビリヤードは、上記の 2 つの正五角形から構成される Veech 面と関連しています。 ${\displaystyle \pi /5,\pi /5,3\pi /5}$

を並進面、方向を とし、を上の方向 の測地線分とします。を に直交する方向の測地線分とし、最初の回帰線、つまりポアンカレ写像を次のように定義します。はに対してと等しく、 となります。この写像は区間交換変換であり、測地線流のダイナミクスを研究するために使用できます。^[16]${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma :I\to I}$${\displaystyle \sigma (p)}$${\displaystyle \phi _{t}(p)}$${\displaystyle \phi _{s}(p)\not \in I}$${\displaystyle 0<s<t}$

• Hubert, Pascal; Schmidt, Thomas A. (2006)、「Veech 面入門」(PDF)、動的システムハンドブック。第 1B 巻、動的システムハンドブック、第 1 巻、Elsevier BV、アムステルダム、pp. 501–526、doi :10.1016/S1874-575X(06)80031-7、ISBN 9780444520555、MR 2186246、2012-11-14に オリジナル（PDF）からアーカイブ
• ガットキン、ユージン、ジャッジ、クリス (2000)、「平行移動面のアフィン写像：幾何学と算術」、デューク数学誌、103 (3): 191–213、doi :10.1215/S0012-7094-00-10321-3
• マズール、ハワード (2006)、「エルゴード理論による並進面」、動的システムハンドブック。第 1B 巻、動的システムハンドブック、第 1 巻、Elsevier BV、アムステルダム、pp. 527–547、doi :10.1016/S1874-575X(06)80032-9、ISBN 9780444520555、MR  2186247
• Veech, WA (1989)、「モジュライ空間におけるタイヒミュラー曲線、アイゼンシュタイン級数、および三角ビリヤードへの応用」、Inventiones Mathematicae、97 (3): 553–583、Bibcode :1989InMat..97..553V、doi :10.1007/BF01388890、ISSN  0020-9910、MR  1005006、S2CID  189831945
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