モンジュコーン

モンジュ円錐は偏微分方程式（PDE）の数学理論において、一階方程式に関連付けられた幾何学的オブジェクトです。ガスパール・モンジュにちなんで名付けられました。2次元では、

${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0\qquad \qquad (1)}$

は、 2つの変数xとy を持つ未知の実数値関数uの偏微分方程式です。この偏微分方程式は、定義域でと が両方ともゼロではないという意味で非退化であると仮定します。点 ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) を固定し、解関数uが ${\displaystyle F_{u_{x}}}$${\displaystyle F_{u_{y}}}$

${\displaystyle z_{0}=u(x_{0},y_{0}).\qquad \qquad (2)}$

(1) の各解が (2) を満たすと、グラフの 接平面が決定されます。

${\displaystyle z=u(x,y)\,}$

は点 を通る。 (1) を解く( u _x , u _y )のペアが変化すると、接平面はを頂点とするR ³の円錐を包み、モンジュ円錐と呼ばれる。F が準線型 のとき、モンジュ円錐はモンジュ軸と呼ばれる単一の直線に退化する。そうでない場合、モンジュ円錐は、固定点を通る非自明で非共軸の 1 パラメータ平面族が円錐を包み込むため、真円錐である。明示的に、元の偏微分方程式は、 R ³の余接バ​​ンドル上のスカラー値関数を生じ、点 ( x , y , z ) で次のように定義される。${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle a\,dx+b\,dy+c\,dz\mapsto F(x,y,z,-a/c,-b/c).}$

Fが消失すると、同次座標( a : b : c )を持つ射影平面の曲線が決定されます。双対曲線は、点における射影接空間の曲線であり、この曲線上のアフィン円錐はモンジュ円錐です。円錐には複数の枝がある場合があり、各枝は射影接空間内の単純な閉曲線上のアフィン円錐です。

基点が変化すると、円錐も変化する。したがって、モンジュ円錐はR ³上の円錐体である。したがって、(1)の解を求めることは、その点でモンジュ円錐にどこでも接する面を求めることと解釈できる。これが特性法である。 ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

この手法は、 n空間変数のスカラー1階偏微分方程式に一般化される。すなわち、

${\displaystyle F\left(x_{1},\dots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)=0.}$

各点 を通るモンジュ円錐 (または準線型の場合は軸) は、 を持つ偏微分方程式の解の包絡線です。 ${\displaystyle (x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0},z^{0})}$${\displaystyle u(x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})=z^{0}}$

アイコナール方程式

最も単純な完全非線形方程式はアイコナール方程式である。これは次の形をとる。

${\displaystyle |\nabla u|^{2}=1,}$

関数Fは次のように与えられる 。

${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y})=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-1.}$

双対円錐は、1次元形式a dx  +  b dy  +  c dzで構成され、

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

これを射影的にとらえると、円が定義されます。双対曲線も円なので、各点におけるモンジュ円錐は真円錐です。

• 接線円錐

• David HilbertおよびRichard Courant (1989)。数理物理学の方法、第 2 巻。Wiley Interscience。
• イワノフ、AB (2001) [1994]、「モンジュ円錐」、数学百科事典、EMSプレス
• モンジュ、G. (1850)。 Application de l'analyse à la géométrie (フランス語)。バチェリエ。