慣例 ヘルダーの不等式の簡潔な記述には、いくつかの慣例が用いられている。
ヘルダー共役の定義において、1/∞は ゼロを意味する。 p 、q ∈ [ 1, ∞)‖ f ‖ p ‖ g ‖ q （ ∫ S | f | p d μ ） 1 p （ ∫ S | g | q d μ ） 1 q {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\\&\left(\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}\end{aligned}}} p = ∞‖ f ‖ ∞は | f | 本質的な上限 を表し、同様に‖ g ‖ ∞ 1 ≤ p ≤ ∞ の場合の‖ f ‖ p ‖ f ‖ p fが μ に関してほぼ等しい関数 の同値類 とみなされる場合にのみf のノルムとなるため、やや不適切である。f ∈ L p ( μ ) かつg ∈ L q ( μ )であれば、この表記 は ヘルダーの不等式の右辺では、0 × ∞ と ∞ × 0 はともに 0 を意味します。a > 0 に ∞ を掛けると ∞ 。
積分可能な積の推定値 上記と同様に、f とgを S 上で定義された可測な実数値または複素数値関数とする。‖ fg ‖ 1 が有限であれば、 f と g および その複素 共役関数 の点ごとの積はμ 積分可能であり、推定値は
| ∫ S f g ¯ d μ | ≤ ∫ S | f g | d μ = ‖ f g ‖ 1 {\displaystyle {\biggl |}\int _{S}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu {\biggr |}\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu =\|fg\|_{1}} そして、 fg f とg が ヒルベルト空間 L 2 ( μ )p = q = 2
| ⟨ f 、 g ⟩ | ≤ ‖ f ‖ 2 ‖ g ‖ 2 、 {\displaystyle |\langle f,g\rangle |\leq \|f\|_{2}\|g\|_{2},} ここで、山括弧はL 2 ( μ ) の内積 を表します。これはコーシー・シュワルツの不等式 とも呼ばれますが、f とg の内積が適切に定義されるように、 ‖ f ‖ 2 ‖ g ‖ 2 g の代わりに関数| f | | g | p = 2 の場合) を復元できます 。
確率尺度の一般化 ( S , Σ, μ )が 確率空間 である場合、p , q ∈ [ 1, ∞ ] は、ヘルダー共役である必要はなく、 1/ p + 1/ q ≤ 1 を満たすだけでよい。ヘルダーの不等式とイェンセンの不等式 の組み合わせは、
‖ f g ‖ 1 ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} S 上のすべての可測な実数値または複素数値関数f およびg について。
注目すべき特別なケース 以下のケースでは、p とq は 開区間 (1,∞) 内にあり、 1/ p + 1/ q = 1 であると仮定します。
計数尺度 のためにn {\displaystyle n} ユークリッド空間 、集合が S {\displaystyle S} { 1 、 … 、 n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 計数尺度 を用いると、次のようになる。
∑ k = 1 n | x k y k | ≤ （ ∑ k = 1 n | x k | p ） 1 p （ ∑ k = 1 n | y k | q ） 1 q すべての人々のために （ x 1 、 … 、 x n ） 、 （ y 1 、 … 、 y n ） ∈ R n または C n 。 \displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}\,y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ は、すべての }}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ または }}\mathbb {C} ^{n} に対して成り立つ。} 多くの場合、次の実用的な形式が使用されます。（ r 、 s ） ∈ R + {\displaystyle (r,s)\in \mathbb {R} _{+}}
（ ∑ k = 1 n | x k | r | y k | s ） r + s ≤ （ ∑ k = 1 n | x k | r + s ） r （ ∑ k = 1 n | y k | r + s ） s 。 {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r}\,|y_{k}|^{s}\right)^{r+s}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}\right)^{r}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}\right)^{s}.} 2 つ以上の和については、次の一般化 ( Lohwater (1982) 、Chen (2014) ) が成り立ち、指数は実数で正です。 λ 私 \displaystyle \lambda _{i}} λ 1 + λ b + ⋯ + λ z = 1 {\displaystyle \lambda _{a}+\lambda _{b}+\cdots +\lambda _{z}=1}
∑ k = 1 n | 1 k | λ 1 | b k | λ b ⋯ | z k | λ z ≤ （ ∑ k = 1 n | 1 k | ） λ 1 （ ∑ k = 1 n | b k | ） λ b ⋯ （ ∑ k = 1 n | z k | ） λ z 。 \displaystyle \sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{\lambda _{a}}\,|b_{k}|^{\lambda _{b}}\cdots |z_{k}|^{\lambda _{z}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|\right)^{\lambda _{a}}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|\right)^{\lambda _{b}}\cdots \left(\sum _{k=1}^{n}|z_{k}|\right)^{\lambda _{z}}.} 平等が成立するのは | 1 1 | : | 1 2 | : ⋯ : | 1 n | = | b 1 | : | b 2 | : ⋯ : | b n | = ⋯ = | z 1 | : | z 2 | : ⋯ : | z n | {\displaystyle |a_{1}|:|a_{2}|:\cdots :|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:\cdots :|b_{n}|=\cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:\cdots :|z_{n}|}
もしS = N {\displaystyle S=\mathbb {N} } 数列空間 に対するヘルダーの不等式が得られる。
∑ k = 1 ∞ | x k y k | ≤ （ ∑ k = 1 ∞ | x k | p ） 1 p （ ∑ k = 1 ∞ | y k | q ） 1 q すべての人々のために （ x k ） k ∈ N 、 （ y k ） k ∈ N ∈ R N または C N 。 \displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}\,y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|y_{k}|^{q}\right)^{\frac {1}{q}}{\text{ 全ての }}(x_{k})_{k\in \mathbb {N} },(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }{\text{ または }}\mathbb {C} ^{\mathbb {N} } に対して。}
製品寸法 2つのσ有限測度 空間( S 1 , Σ 1 , μ 1 ) と( S 2 , Σ 2 , μ 2 ) に対して、積測度空間 を次のように定義する。
S = S 1 × S 2 、 Σ = Σ 1 ⊗ Σ 2 、 μ = μ 1 ⊗ μ 2 、 {\displaystyle S=S_{1}\times S_{2},\quad \Sigma =\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2},\quad \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2},} ここで、Sは S 1 S 2 直積 であり、σ 代数 Σ はΣ 1 Σ 2 積 σ 代数 として生じ、μ は μ 1 μ 2 積測度 を表します。すると、トネリの定理により、 反復積分 を用いてヘルダーの不等式を書き直すことができます。fと g が 直積S上の Σ 可測な 実数値または複素数値関数である場合、
∫ S 1 ∫ S 2 | f （ x 、 y ） g （ x 、 y ） | μ 2 （ d y ） μ 1 （ d x ） ≤ （ ∫ S 1 ∫ S 2 | f （ x 、 y ） | p μ 2 （ d y ） μ 1 （ d x ） ） 1 p （ ∫ S 1 ∫ S 2 | g （ x 、 y ） | q μ 2 （ d y ） μ 1 （ d x ） ） 1 q 。 {\displaystyle \int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)\,g(x,y)|\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S_{1}}\int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.} これは、2つ以上のσ有限 測度空間にも一般化できる。
ベクトル値関数 ( S , Σ, μ )を σ-有限 測度空間とし、 f = ( f1 , ..., fn )g = ( g1 , ..., gn )を S上の Σ- 可測関数とし、 n 次元実ユークリッド空間または複素ユークリッド空間に値を取るとする。 {1, ..., n } 上の計数測度との積をとることにより、上記の積測度版のヘルダーの不等式を次の形式で書き直すことができる。
∫ S ∑ k = 1 n | f k （ x ） g k （ x ） | μ （ d x ） ≤ （ ∫ S ∑ k = 1 n | f k （ x ） | p μ （ d x ） ） 1 p （ ∫ S ∑ k = 1 n | g k （ x ） | q μ （ d x ） ） 1 q 。 {\displaystyle \int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)\,g_{k}(x)|\,\mu (\mathrm {d} x)\leq \left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{S}\sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q}\,\mu (\mathrm {d} x)\right)^{\frac {1}{q}}.} 右辺の 2 つの積分が有限である場合、等号が成り立つのは、 α 、 β ≥ 0 で、両方ともゼロではない実数α 、β が存在し、
α （ | f 1 （ x ） | p 、 … 、 | f n （ x ） | p ） = β （ | g 1 （ x ） | q 、 … 、 | g n （ x ） | q ） 、 {\displaystyle \alpha \left(|f_{1}(x)|^{p},\ldots ,|f_{n}(x)|^{p}\right)=\beta \left(|g_{1}(x)|^{q},\ldots ,|g_{n}(x)|^{q}\right),} S 内のμ の ほとんどすべてのx に対して。
この有限次元バージョンは、例えば数列空間 や内積空間などの ノルム空間 の値をとる関数f とg に一般化されます。
ヘルダーの不等式にはいくつかの証明がありますが、以下では積に関するヤングの不等式を 主なアイデアとしています。
証拠 ‖ f ‖ p f はほとんど至るところでゼロμ であり、積fg も ほとんど μ であるため、ヘルダーの不等式の左辺はゼロになります。‖ g ‖ q = 0 の場合も同様です。 したがって 、 ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q
‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q は(0, ∞) にあると仮定できます。
p = ∞q = 1| fg | ≤ ‖ f ‖ ∞ | g | = 1 かつq = ∞の場合 も同様である。したがって、 p , q ∈ (1,∞) と仮定できる。
ここで、積に対するヤングの不等式 を用います。これは、 のとき が成り立つことを示しています。p 、 q {\displaystyle p,q} (1,∞) に属し、1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
1 b ≤ 1 p p + b q q {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}} すべての非負のa およびb に対して、等号はa p = b q
| f （ s ） | ‖ f ‖ p | g （ s ） | ‖ g ‖ q ≤ | f （ s ） | p p ‖ f ‖ p p + | g （ s ） | q q ‖ g ‖ q q 、 s ∈ S 。 {\displaystyle {\frac {|f(s)|}{\|f\|_{p}}}{\frac {|g(s)|}{\|g\|_{q}}}\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q\|g\|_{q}^{q}}},\qquad s\in S.} 両辺を積分すると
‖ f g ‖ 1 | | f | | p | | g | | q ≤ ‖ f ‖ p p p ‖ f ‖ p p + ‖ g ‖ q q q ‖ g ‖ q q = 1 p + 1 q = 1 、 {\displaystyle {\frac {\|fg\|_{1}}{||f||_{p}||g||_{q}}}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q\|g\|_{q}^{q}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,} これはその主張を裏付けるものである。
p ∈ (1, ∞) および‖ f ‖ p ‖ g ‖ q | f | p | g | q ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q が(0, ∞) に属する場合、ヘルダーの不等式が等号となるのは、実数α 、β > 0
α = ‖ g ‖ q q 、 β = ‖ f ‖ p p 、 {\displaystyle \alpha =\|g\|_{q}^{q},\qquad \beta =\|f\|_{p}^{p},} そのため
α | f | p = β | g | q {\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}} μは ほぼあらゆる場所に存在する（*）。 ‖ f ‖ p β = 0g ‖ q ( *) の α = 0
イェンセンの不等式を用いた別の証明：
証拠 機能x ↦ x p {\displaystyle x\mapsto x^{p}} 0,∞) は凸である。p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1}
∫ h d ν ≤ （ ∫ h p d ν ） 1 p {\displaystyle \int h\mathrm {d} \nu \leq \left(\int h^{p}\mathrm {d} \nu \right)^{\frac {1}{p}}} ここで、ν は任意の確率分布であり、h は ν 可測関数である。μ を任意 の測度とし、νを μ に関する密度が比例する分布とする。g q {\displaystyle g^{q}}
d ν = g q ∫ g q d μ d μ {\displaystyle \mathrm {d} \nu ={\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu } したがって、1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} p （ 1 − q ） + q = 0 {\displaystyle p(1-q)+q=0} h = f g 1 − q {\displaystyle h=fg^{1-q}}
∫ f g d μ = （ ∫ g q d μ ） ∫ f g 1 − q ⏟ h g q ∫ g q d μ d μ ⏟ d ν ≤ （ ∫ g q d μ ） （ ∫ f p g p （ 1 − q ） ⏟ h p g q ∫ g q d μ d μ ⏟ d ν ） 1 p = （ ∫ g q d μ ） （ ∫ f p ∫ g q d μ d μ ） 1 p 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int fg\,\mathrm {d} \mu =&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\int \underbrace {fg^{1-q}} _{h}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\\\leq &\left(\int g^{q}\mathrm {d} \mu \right)\left(\int \underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}\underbrace {{\frac {g^{q}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu } _{\mathrm {d} \nu }\right)^{\frac {1}{p}}\\=&\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)\left(\int {\frac {f^{p}}{\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu }}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}.\end{aligned}}} 最後に、
∫ f g d μ ≤ （ ∫ f p d μ ） 1 p （ ∫ g q d μ ） 1 q {\displaystyle \int fg\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int f^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int g^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{q}}} これは、 fと g f とg ‖ f ‖ p 、 ‖ g ‖ q {\displaystyle \|f\|_{p},\|g\|_{q}} p 、 q > 1 {\displaystyle p,q>1}
ヤングの不等式とイェンセンの不等式の両方を使わずに済ませることもできます。以下の証明では、ヘルダー指数が自然に現れる理由と場所についても説明しています。
極端な平等
声明 1 ≤ p < ∞ と仮定し、q をヘルダー共役とします。すると、すべてのf ∈ L p ( μ )
‖ f ‖ p = 最大 { | ∫ S f g d μ | : g ∈ L q （ μ ） 、 ‖ g ‖ q ≤ 1 } 、 {\displaystyle \|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{q}(\mu ),\|g\|_{q}\leq 1\right\},} ここで、 g が存在することを示す。p = ∞で、 μ ( A ) = ∞ のσ-体 Σ の各集合Aが 0 < μ ( B ) < ∞ のサブセットB ∈ Σ を含む場合(これは特にμが σ-有限で
‖ f ‖ ∞ = すする { | ∫ S f g d μ | : g ∈ L 1 （ μ ） 、 ‖ g ‖ 1 ≤ 1 } 。 {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|:g\in L^{1}(\mu ),\|g\|_{1}\leq 1\right\}.} 極値等式の証明：
証拠 ヘルダーの不等式により、積分は適切に定義され、1 ≤ p ≤ ∞ の場合、
| ∫ S f g d μ | ≤ ∫ S | f g | d μ ≤ ‖ f ‖ p 、 {\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|\leq \int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu \leq \|f\|_{p},} したがって、左辺は常に右辺によって上方に境界付けられる。
逆に、1 ≤ p ≤ ∞の場合、 ‖ f ‖ p ‖ f ‖ p
1 ≤ p < ∞ の場合、S 上でg を 次のように定義する。
g （ x ） = { ‖ f ‖ p 1 − p | f （ x ） | p / f （ x ） もし f （ x ） ≠ 0 、 0 さもないと。 {\displaystyle g(x)={\begin{cases}\|f\|_{p}^{1-p}\,|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{if }}f(x)\not =0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} p = 11 < p < ∞ の場合を別々に調べると、‖ g ‖ q
∫ S f g d μ = ‖ f ‖ p 。 {\displaystyle \int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu =\|f\|_{p}.} p = ∞∈ (0, 1) に対して、次のように定義する。
A = { x ∈ S : | f （ x ） | > （ 1 − ε ） ‖ f ‖ ∞ } 。 {\displaystyle A=\left\{x\in S:|f(x)|>(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }\right\}.} f は可測であるため、A ∈ Σ である。‖ f ‖ ∞ を f の 本質的上限 として定義し、 ‖ f ‖ ∞ > 0 という仮定を用いると、 μ ( A ) > 0 となる。必要に応じてσ-体 Σ に関する追加の仮定を用いると、 0 < μ ( B ) < ∞ となるA の部分集合B ∈ Σ が 存在する。S上のg を 次 のように定義する。
g （ x ） = { 1 − ε μ （ B ） ‖ f ‖ ∞ f （ x ） もし x ∈ B 、 0 さもないと。 {\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}{\frac {\|f\|_{\infty }}{f(x)}}&{\text{if }}x\in B,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} すると、g は明確に定義され、測定可能であり、x ∈ B | g ( x ) | ≤ 1/ μ ( B )‖ g ‖ 1 ≤ 1 となる 。さらに、
| ∫ S f g d μ | = ∫ B 1 − ε μ （ B ） ‖ f ‖ ∞ d μ = （ 1 − ε ） ‖ f ‖ ∞ 。 {\displaystyle \left|\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu \right|=\int _{B}{\frac {1-\varepsilon }{\mu (B)}}\|f\|_{\infty }\,\mathrm {d} \mu =(1-\varepsilon )\|f\|_{\infty }.}
アプリケーション 極値等式は、 L p ( μ ) のすべてのf 1 2に対して三角不等式 ‖ f 1 + f 2 ‖ p ‖ f 1 ‖ p ‖ f 2 ‖ p を証明する方法の 1 つです。ミンコフスキーの不等式を 参照 ヘルダーの不等式は、すべてのf ∈ L p ( μ )L q ( μ ) 上の有界（または連続）線形汎関数κ fを定義することを意味する。 κ f （ g ） = ∫ S f g d μ 、 g ∈ L q （ μ ） 。 {\displaystyle \kappa _{f}(g)=\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu ,\qquad g\in L^{q}(\mu ).} 極値等式（真の場合）は、連続双対空間 L q ( μ ) * κ f のノルムが、 L p ( μ ) におけるf のノルムと一致することを示しています（ L p 空間の
2つ以上の関数による一般化
声明 r ∈ (0, ∞ ] およびp 1 , ..., p n ∈ (0, ∞ ] であると仮定します。
∑ k = 1 n 1 p k = 1 r {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}} ここで、この式では 1/∞ は 0 と解釈され、r=∞ はp 1 、 ...、p n ∈ (0、 ∞ ] がすべて ∞ に等しいことを意味します。次に、 S 上で定義されたすべての可測な実数値または複素数値関数f 1 、 ...、f n
‖ ∏ k = 1 n f k ‖ r ≤ ∏ k = 1 n ‖ f k ‖ p k {\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\left\|f_{k}\right\|_{p_{k}}} ここで、因数が ∞ である積は、すべての因数が正の場合は ∞ と解釈し、いずれかの因数が 0 の場合は積は 0 と解釈します。
特に、f k ∈ L p k （ μ ） {\displaystyle f_{k}\in L^{p_{k}}(\mu )} k ∈ { 1 、 … 、 n } {\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n\}} ∏ k = 1 n f k ∈ L r （ μ ） 。 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}f_{k}\in L^{r}(\mu ).}
： r ∈ （ 0 、 1 ） 、 {\displaystyle r\in (0,1),} ‖ . ‖ r は一般にノルムではありません。なぜなら、三角不等式を 満たさないからです。
一般化の証明：
補間 p 1 , ..., p n (0, ∞ ] とし、θ 1 , ..., θ n θ 1 + ... + θ n = 1p {\displaystyle p} 調和平均 として、つまり、
1 p = ∑ k = 1 n θ k p k 。 {\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\theta _{k}}{p_{k}}}.} 測定可能な実数値または複素数値関数が与えられた場合f k {\displaystyle f_{k}} S 上では、上記のヘルダーの不等式の一般化により、
‖ | f 1 | θ 1 ⋯ | f n | θ n ‖ p ≤ ‖ | f 1 | θ 1 ‖ p 1 θ 1 ⋯ ‖ | f n | θ n ‖ p n θ n = ‖ f 1 ‖ p 1 θ 1 ⋯ ‖ f n ‖ p n θ n 。 {\displaystyle \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\cdots |f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{p}\leq \left\||f_{1}|^{\theta _{1}}\right\|_{\frac {p_{1}}{\theta _{1}}}\cdots \left\||f_{n}|^{\theta _{n}}\right\|_{\frac {p_{n}}{\theta _{n}}}=\|f_{1}\|_{p_{1}}^{\theta _{1}}\cdots \|f_{n}\|_{p_{n}}^{\theta _{n}}.} 特に、f 1 = ⋯ = f n =: f {\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=:f}
‖ f ‖ p ⩽ ∏ k = 1 n ‖ f ‖ p k θ k 。 {\displaystyle \|f\|_{p}\leqslant \prod _{k=1}^{n}\|f\|_{p_{k}}^{\theta _{k}}.} さらに、θ 1 = θ θ 2 = 1- θ n = 2 、 {\displaystyle n=2,} 補間 結果を得る
不平等 — θ ∈ （ 0 、 1 ） {\displaystyle \theta \in (0,1)} 1 p θ = θ p 1 + 1 − θ p 0 {\displaystyle {\frac {1}{p_{\theta }}}={\frac {\theta }{p_{1}}}+{\frac {1-\theta }{p_{0}}}}
‖ f ‖ p θ ⩽ ‖ f ‖ p 1 θ ⋅ ‖ f ‖ p 0 1 − θ 、 {\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leqslant \|f\|_{p_{1}}^{\theta }\cdot \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta },}
ヘルダーの定理を適用すると、
リャプノフの不等式 — もしp = （ 1 − θ ） p 0 + θ p 1 、 θ ∈ （ 0 、 1 ） 、 {\displaystyle p=(1-\theta )p_{0}+\theta p_{1},\qquad \theta \in (0,1),}
‖ | f 0 | p 0 （ 1 − θ ） p ⋅ | f 1 | p 1 θ p ‖ p p ≤ ‖ f 0 ‖ p 0 p 0 （ 1 − θ ） ‖ f 1 ‖ p 1 p 1 θ {\displaystyle \left\||f_{0}|^{\frac {p_{0}(1-\theta )}{p}}\cdot |f_{1}|^{\frac {p_{1}\theta }{p}}\right\|_{p}^{p}\leq \|f_{0}\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\|f_{1}\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }}
そして特に
‖ f ‖ p p ⩽ ‖ f ‖ p 0 p 0 （ 1 − θ ） ⋅ ‖ f ‖ p 1 p 1 θ 。 {\displaystyle \|f\|_{p}^{p}\leqslant \|f\|_{p_{0}}^{p_{0}(1-\theta )}\cdot \|f\|_{p_{1}}^{p_{1}\theta }.}
リトルウッドとリャプノフはどちらも、f ∈ L p 0 ∩ L p 1 {\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}} f ∈ L p {\displaystyle f\in L^{p}} p 0 < p < p 1 。 {\displaystyle p_{0}<p<p_{1}.} [ 4 ]
2つの機能 p ∈ (1, ∞)( S , Σ, μ )が μ ( S ) > 0S 上のすべての可測な実数値または複素数値関数f およびg に対して、μ の ほとんど すべてのs ∈ S g ( s ) ≠ 0 と なります。
‖ f g ‖ 1 ⩾ ‖ f ‖ 1 p ‖ g ‖ − 1 p − 1 。 {\displaystyle \|fg\|_{1}\geqslant \|f\|_{\frac {1}{p}}\,\|g\|_{\frac {-1}{p-1}}.} もし
‖ f g ‖ 1 < ∞ そして ‖ g ‖ − 1 p − 1 > 0 、 {\displaystyle \|fg\|_{1}<\infty \quad {\text{and}}\quad \|g\|_{\frac {-1}{p-1}}>0,} 逆ヘルダー不等式が等式となるのは、
∃ α ⩾ 0 | f | = α | g | − p p − 1 μ ほぼどこにでも 。 {\displaystyle \exists \alpha \geqslant 0\quad |f|=\alpha |g|^{\frac {-p}{p-1}}\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}.} 注： 以下の表現：
‖ f ‖ 1 p {\displaystyle \|f\|_{\frac {1}{p}}} ‖ g ‖ − 1 p − 1 、 {\displaystyle \|g\|_{\frac {-1}{p-1}},}
これらは規範ではなく、単に簡潔な表記法です
（ ∫ S | f | 1 p d μ ） p そして （ ∫ S | g | − 1 p − 1 d μ ） − （ p − 1 ） 。 {\displaystyle \left(\int _{S}|f|^{\frac {1}{p}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{p}\quad {\text{and}}\quad \left(\int _{S}|g|^{\frac {-1}{p-1}}\,\mathrm {d} \mu \right)^{-(p-1)}.} 逆ヘルダー不等式の証明（非表示。表示するには「表示」をクリックしてください。）
p と
q := p p − 1 ∈ （ 1 、 ∞ ） {\displaystyle q:={\frac {p}{p-1}}\in (1,\infty )} これらはヘルダー共役である。ヘルダーの不等式を適用すると、
‖ | f | 1 p ‖ 1 = ‖ | f g | 1 p | g | − 1 p ‖ 1 ⩽ ‖ | f g | 1 p ‖ p ‖ | g | − 1 p ‖ q = ‖ f g ‖ 1 1 p ‖ | g | − 1 p − 1 ‖ 1 p − 1 p {\displaystyle {\begin{aligned}\left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}&=\left\||fg|^{\frac {1}{p}}\,|g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{1}\\&\leqslant \left\||fg|^{\frac {1}{p}}\right\|_{p}\left\||g|^{-{\frac {1}{p}}}\right\|_{q}\\&=\|fg\|_{1}^{\frac {1}{p}}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{\frac {p-1}{p}}\end{aligned}}} p 乗すると次のようになります。
‖ | f | 1 p ‖ 1 p ⩽ ‖ f g ‖ 1 ‖ | g | − 1 p − 1 ‖ 1 p − 1 。 {\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\leqslant \|fg\|_{1}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{p-1}.} したがって：
‖ | f | 1 p ‖ 1 p ‖ | g | − 1 p − 1 ‖ 1 − （ p − 1 ） ⩽ ‖ f g ‖ 1 。 {\displaystyle \left\||f|^{\frac {1}{p}}\right\|_{1}^{p}\left\||g|^{\frac {-1}{p-1}}\right\|_{1}^{-(p-1)}\leqslant \|fg\|_{1}.} それでは、表記法を思い出す必要があります。
g はほとんど至るところでゼロ関数と等しくない ので、
| fg | = α | g | − q / p がほとんど至るところで成り立つような定数
α ≥ 0が存在する場合に限り、等号が成立します。f の絶対値を求めると、
この 主張が成り立ちます。
Aczél とBeckenbach [ 5 ]
させてf = （ f （ 1 ） 、 … 、 f （ m ） ） 、 g = （ g （ 1 ） 、 … 、 g （ m ） ） 、 h = （ h （ 1 ） 、 … 、 h （ m ） ） {\displaystyle f=(f(1),\dots ,f(m)),g=(g(1),\dots ,g(m)),h=(h(1),\dots ,h(m))} f （ 私 ） g （ 私 ） h （ 私 ） = 1 {\displaystyle f(i)g(i)h(i)=1} 私 {\displaystyle i} p 、 q 、 r {\displaystyle p,q,r} 1 p + 1 q + 1 r = 0 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=0}
‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ‖ h ‖ r ≥ 1 {\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\geq 1} p 、 q 、 r {\displaystyle p,q,r} ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q ‖ h ‖ r ≤ 1 {\displaystyle \|f\|_{p}\|g\|_{q}\|h\|_{r}\leq 1} p 、 q 、 r {\displaystyle p,q,r} この対称形式から、標準的なヘルダーの不等式が直ちに導かれる（そして実際、この形式と等価であることが容易にわかる）。また、この対称的な記述は、逆ヘルダーの不等式も意味する（上記参照）。
結果は複数のベクトルに拡張できる。
させてf 1 、 … 、 f n {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}} n {\displaystyle n} R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} f 1 （ 私 ） … f n （ 私 ） = 1 {\displaystyle f_{1}(i)\dots f_{n}(i)=1} 私 {\displaystyle i} p 1 、 … 、 p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} 1 p 1 + ⋯ + 1 p n = 0 {\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}=0}
‖ f 1 ‖ p 1 … ‖ f n ‖ p n ≥ 1 {\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\geq 1} p 私 {\displaystyle p_{i}} ‖ f 1 ‖ p 1 … ‖ f n ‖ p n ≤ 1 {\displaystyle \|f_{1}\|_{p_{1}}\dots \|f_{n}\|_{p_{n}}\leq 1} p 私 {\displaystyle p_{i}} 標準的なヘルダーの不等式と同様に、無限和と無限積分についても対応する式が存在する。
( Ω , F 、P {\displaystyle \mathbb {P} } を確率空間、G ⊂ F を σ-代数 、 p 、 q ∈ ( 1, ∞) をヘルダー共役、つまり1/ p + 1/ q = 1とする。このとき、 Ω 上のすべての実数値または複素数値の確率変数X およびY に対して、
E [ | X Y | | G ] ≤ （ E [ | X | p | G ] ） 1 p （ E [ | Y | q | G ] ） 1 q P ほぼ間違いなく。 {\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}\leq {\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}}\,{\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}\qquad \mathbb {P} {\text{-almost surely.}}} 備考：
E [ Z | G ] = すする n ∈ N E [ ミニ { Z 、 n } | G ] として {\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{a.s.}}} 条件付きヘルダーの不等式の右辺では、0 × ∞ と ∞ × 0 は 0 を意味します。a > 0 に ∞ を掛けると∞ になります。 条件付きヘルダー不等式の証明：
証拠 確率変数を定義する
U = （ E [ | X | p | G ] ） 1 p 、 V = （ E [ | Y | q | G ] ） 1 q {\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}} また、これらは部分σ代数 に関して測定可能であることに注意してください。
E [ | X | p 1 { U = 0 } ] = E [ 1 { U = 0 } E [ | X | p | G ] ⏟ = U p ] = 0 、 {\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,} したがって、集合{ U = 0}上では | X | = 0{ V = 0}上では | Y | = 0 と なる。
E [ | X Y | | G ] = 0 のように { U = 0 } ∪ { V = 0 } {\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{a.s. on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}} そして、この集合上で条件付きヘルダー不等式が成り立つ。
{ U = ∞ 、 V > 0 } ∪ { U > 0 、 V = ∞ } {\displaystyle \{U=\infty ,V>0\}\cup \{U>0,V=\infty \}} 右辺は無限大であり、条件付きヘルダーの不等式も成り立つ。右辺で割ると、次のことが示される。
E [ | X Y | | G ] U V ≤ 1 撮影現場で H := { 0 < U < ∞ 、 0 < V < ∞ } 。 {\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{a.s. on the set }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \}.} これは、任意の範囲で積分した後に不等式が成り立つことを検証することによって行われます。
G ∈ G 、 G ⊂ H 。 {\displaystyle G\in {\mathcal {G}},\quad G\subset H.} 部分σ代数 に関するU、V、1G の可測性、条件付き期待値の規則、ヘルダーの不等式、および1/ p + 1/ q = 1 を使用すると、次のことがわかります。
E [ E [ | X Y | | G ] U V 1 G ] = E [ E [ | X Y | U V 1 G | G ] ] = E [ | X | U 1 G ⋅ | Y | V 1 G ] ≤ （ E [ | X | p U p 1 G ] ） 1 p （ E [ | Y | q V q 1 G ] ） 1 q = （ E [ E [ | X | p | G ] U p ⏟ = 1 のように G 1 G ] ） 1 p （ E [ E [ | Y | q | G ] V p ⏟ = 1 のように G 1 G ] ） 1 q = E [ 1 G ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ a.s. on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}
S を集合とし、F （ S 、 C ） {\displaystyle F(S,\mathbb {C} )} S 上のすべての複素数値関数の空間とする。Nを S 上の増加半ノルムとする。 F （ S 、 C ） 、 {\displaystyle F(S,\mathbb {C} ),} f 、 g ∈ F （ S 、 C ） {\displaystyle f,g\in F(S,\mathbb {C} )}
∀ s ∈ S f （ s ） ⩾ g （ s ） ⩾ 0 ⇒ N （ f ） ⩾ N （ g ） 。 {\displaystyle \forall s\in S\quad f(s)\geqslant g(s)\geqslant 0\qquad \Rightarrow \qquad N(f)\geqslant N(g).} それから：
∀ f 、 g ∈ F （ S 、 C ） N （ | f g | ） ⩽ （ N （ | f | p ） ） 1 p （ N （ | g | q ） ） 1 q 、 {\displaystyle \forall f,g\in F(S,\mathbb {C} )\qquad N(|fg|)\leqslant {\bigl (}N(|f|^{p}){\bigr )}^{\frac {1}{p}}{\bigl (}N(|g|^{q}){\bigr )}^{\frac {1}{q}},} 数字がp {\displaystyle p} q {\displaystyle q} [ 6 ]
注記: ( S , Σ, μ ) が測度空間 であり、N （ f ） {\displaystyle N(f)} | f | {\displaystyle |f|} そして、 Nをすべての Σ 可測
ヘルダー不等式は、確率分布間の統計的非類似度尺度を定義するために使用できます[ 7 ]
引用文献 ↑ Roman 2008 、p. 303 §12 ↑ Maligranda, Lech (1998), "なぜヘルダーの不等式はロジャースの不等式と呼ばれるべきか", Mathematical Inequalities & Applications , 1 (1): 69– 83, doi : 10.7153/mia-01-05 , MR 1492911 ↑ Guessab, A.; Schmeisser, G. (2013), "イェンセンの不等式の妥当性に関する必要十分条件", Archiv der Mathematik , 100 (6): 561– 570, doi : 10.1007/s00013-013-0522-3 , MR 3069109 , S2CID 253600514 、 追加の仮定の下で、 φ 」 {\displaystyle \varphi ''} ↑ Wojtaszczyk, P. (1991). Banach Spaces for Analysts . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56675-9 。↑ ベッケンバッハ、EF (1980)。 一般不等式 ２ ．国際数値数学シリーズ / Internationale Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik / Série Internationale d'Analyse Numérique。 Vol. 47.ビルクホイザー・バーゼル。 pp. 145–150 。 土井 ： 10.1007/978-3-0348-6324-7 。 ISBN 978-3-7643-1056-1 。↑ 証明については（ Trèves 1967 、補題 20.1、pp. 205–206） を参照。 ↑ ニールセン、フランク。孫、柯。マルシャン・マイレー、ステファン（2017）。 「ヘルダー射影発散について」 。 エントロピー 。 3 (19): 122.arXiv : 1701.03916 。 Bibcode : 2017Entrp..19..122N 。 土井 : 10.3390/e19030122 。
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外部リンク Chen, Evan (2014), A Brief Introduction to Olympiad Inequalities (PDF) クットラー、ケネス（2007）「線形代数入門 （PDF）」 、オンライン電子書籍（PDF形式）、ブリガムヤング大学、2008年8月7日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2008年3月26日 取得 ローウォーター、アーサー（1982）、『不等式入門』 （PDF） Ghostarchiveにアーカイブされていますティスデル、クリス (2012)、 ホルダーの不平等 、YouTube
![{\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ee142bd759e6d2fa264a449ed5d40d60edede7)
![\displaystyle \mathbb {E} [|XY|]\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\bigr ]}\right)^{\frac {1}{q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd0a121fff59e9834e8096b7c5856aab8a1944b)
![\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{r}{\bigr ]}\leqslant \left(\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{s}{\bigr ]}\right)^{\frac {r}{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd851f8c44f4192b9ba15761127d566b226a4ff0)
![\displaystyle \mathbb {E} [Z|{\mathcal {G}}]=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\mathbb {E} [\min\{Z,n\}|{\mathcal {G}}]\quad {\text{as}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a4a866e15be4bdc2156438f9cf3d1a5db57683)
![{\displaystyle U={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{p}},\qquad V={\bigl (}\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}{\bigr )}^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9e39640f4dc158a566bee7b5696f5140631f0a)
![{\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}1_{\{U=0\}}{\bigr ]}=\mathbb {E} {\bigl [}1_{\{U=0\}}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}} _{=\,U^{p}}{\bigr ]}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69905a3f486cbf984d99a2f968dcaf08195f637e)
![\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}=0\qquad {\text{as on }}\{U=0\}\cup \{V=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e863f914e038ef3ab57ac04eaae91d3ff6da6550)
![\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}\leq 1\qquad {\text{集合 }}H:=\{0<U<\infty ,\,0<V<\infty \} 上で}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456a39a139248e5750c23688a36b7b3aeb750aff)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|XY|{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{UV}}1_{G}{\biggr ]}&=\mathbb {E} {\biggl [}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|XY|}{UV}}1_{G}{\bigg |}\,{\mathcal {G}}{\biggr ]}{\biggr ]}\\&=\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|}{U}}1_{G}\cdot {\frac {|Y|}{V}}1_{G}{\biggr ]}\\&\leq {\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}{\frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&={\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|X|^{p}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{U^{p}}} _{=\,1{\text{ as on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\mathbb {E} {\biggl [}\underbrace {\frac {\mathbb {E} {\bigl [}|Y|^{q}{\big |}\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}}{V^{p}}} _{=\,1{\text{ as on }}G}1_{G}{\biggr ]}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\\&=\mathbb {E} {\bigl [}1_{G}{\bigr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ea3e2364949d7450d60a5bb32972aadc0db999)
