低弾性材料

連続体力学において、低弾性材料^[1]は、線形化された場合を除き、有限ひずみの尺度に依存しない構成モデルを持つ弾性材料です。低弾性材料モデルは、特別な状況を除いて、ひずみエネルギー密度関数から導出できないという点で、超弾性材料モデル（または標準弾性モデル）とは異なります。

低弾性材料は、厳密には、次の2つの基準を満たす構成方程式を使用してモデル化された材料として定義できます。 ^[2]

1. 時点におけるコーシー応力は、物体が過去の構成を占めた順序にのみ依存し、過去の構成を横切った時間速度には依存しません。特殊なケースとして、この基準にはコーシー弾性材料が含まれ、この材料の現在の応力は、過去の構成の履歴ではなく、現在の構成にのみ依存します。${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$${\displaystyle t}$
2. テンソル値関数があり、はコーシー応力テンソルの物質速度、 は空間速度勾配テンソルです。${\displaystyle G}$$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}$$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$

これら 2 つの元の基準のみを使用して低弾性を定義すると、超弾性が特別なケースとして含まれるため、一部の構成モデル作成者は、低弾性モデルが超弾性ではないことを明確に要求する 3 番目の基準を追加します (つまり、低弾性とは、応力がエネルギー ポテンシャルから導出できないことを意味します)。この 3 番目の基準が採用されると、低弾性材料は、同じ変形勾配で開始および終了するが、同じ内部エネルギーで開始および終了しない非保存的な断熱荷重パスを許容する可能性があります。

2 番目の基準では、関数が存在することのみが要求されることに注意してください。以下で説明するように、低弾性モデルの特定の定式化では通常、関数が暗黙的にのみ存在するように、いわゆる客観的応力率が使用されます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

超弾性材料モデルは、 キルヒホッフ応力（）の客観的な速度、変形速度テンソル、いわゆる弾性接線剛性テンソルの形をとることが多い。弾性接線剛性テンソルは応力自体によって変化し、材料特性テンソルとみなされる。超弾性では、異方性材料の繊維方向の歪みや回転を適切に考慮するために、接線剛性は一般に変形勾配にも依存する必要がある 。[ 3 ^]$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}={\mathsf {M}}:{\boldsymbol {d}}}$$${\displaystyle {\overset {\circ }{\boldsymbol {\tau }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}}:=J{\boldsymbol {\sigma }}}$${\textstyle {\boldsymbol {d}}:=\left[{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {L}}+{\boldsymbol {L}}^{T})\right]}$${\displaystyle {\mathsf {M}}}$

固体力学の多くの実際的な問題では、材料の変形を小さな（または線形化された）ひずみテンソルで特徴づければ十分です 。 ここで、は連続点の変位の成分、下付き文字 は直交座標を参照し、コンマが先行する下付き文字は偏微分を表します（例： ）。しかし、ひずみの有限性を考慮しなければならない問題も数多くあります。これには 2 種類あります。 $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{i,j}+u_{j,i})}$$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3)}$${\displaystyle u_{i,j}=\partial u_{i}/\partial x_{j}}$

1. ポテンシャルエネルギーを持つ大きな非線形弾性変形（例えばゴムによって示される）において、応力テンソル成分は有限ひずみテンソル成分に対する偏微分として得られる。${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}$${\displaystyle W}$
2. 潜在能力を持たない非弾性変形であり、応力とひずみの関係は増分的に定義されます。

前者の場合、有限ひずみ理論に関する記事で説明されている総ひずみ定式化が適切です。後者の場合、増分 (または速度) 定式化が必要であり、更新されたラグランジュ手順を使用する有限要素コンピュータ プログラムのすべての負荷または時間ステップで使用する必要があります。ポテンシャルがない場合は、有限ひずみ測定の選択と応力率の特性評価の自由度により、複雑な問題が生じます。

十分に小さい荷重ステップ（または増分）の場合、変形速度テンソル（または速度ひずみ） または増分 を使用して 、ステップ内の初期（応力がかかって変形した）状態からの線形化されたひずみ増分を表すことができます。ここで、上側の点は材料の時間微分（特定の材料粒子に従う）を表し、ステップ全体の小さな増分、= 時間、= 材料点の速度または変位速度を表します。 $${\displaystyle d_{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$$$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{ij}={\dot {\varepsilon }}_{ij}\Delta t=d_{ij}\Delta t}$$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle t}$${\displaystyle v_{i}={\dot {u}}_{i}}$

ただし、コーシー応力（または真応力）の時間微分を使用するのは客観的ではありません。この応力は、現在変形している材料から切り取られたと想定される小さな材料要素にかかる力を記述しますが、材料の剛体回転によって変化するため客観的ではありません。増分変形の前後で切り取られた要素（同じ場所）に異なる材料粒子が含まれるため、材料点は初期座標（ラグランジアンと呼ばれる）によって特徴付けられる必要があります。 ${\displaystyle \sigma_{ij}}$${\displaystyle X_{i}}$

したがって、いわゆる客観的応力率 、または対応する増分を導入する必要があります。 が要素の変形と機能的に関連していることは、客観性に必要です。 つまり、 は座標変換 (特に回転) に対して不変であり、変形する同じ材料要素の状態を特徴付ける必要があります。 ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$${\displaystyle \Delta \sigma _{ij}={\hat {\sigma }}_{ij}\Delta t}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{ij}}$

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• トゥルーズデル、クリフォード（1963）、「低弾性に関する考察」、国立標準局研究ジャーナルセクションB、67B（3）：141-143