理想的な弾性材料の構成モデル
さまざまな超弾性材料モデルの応力-ひずみ曲線。
超弾性材料またはグリーン弾性材料[1]は、応力-ひずみ関係がひずみエネルギー密度関数から導かれる理想的な弾性材料の構成モデルの一種である。超弾性材料はコーシー弾性材料の特殊なケースである。
多くの材料では、線形弾性モデルは観察される材料の挙動を正確に説明しません。この種の材料の最も一般的な例はゴムであり、その応力-ひずみ関係は非線形弾性、等方性、非圧縮性として定義できます。超弾性は、このような材料の応力-ひずみ挙動をモデル化する手段を提供します。[2]充填されていない加硫 エラストマーの挙動は、多くの場合、超弾性理想に密接に従います。充填されたエラストマーと生物組織[3] [4]も、超弾性理想化によってモデル化されることがよくあります。物理材料をモデル化するために使用されることに加えて、超弾性材料は、たとえば第3媒体接触法などの架空媒体としても使用されます。
ロナルド・リブリンとメルビン・ムーニーは、最初の超弾性モデルであるネオ・フック固体とムーニー・リブリン固体を開発しました。それ以来、他の多くの超弾性モデルが開発されました。広く使用されている他の超弾性材料モデルには、オグデンモデルとアルーダ・ボイスモデルがあります。
超弾性材料モデル
サン・ヴナン・キルヒホッフモデル
最も単純な超弾性材料モデルは、幾何学的に線形な弾性材料モデルを幾何学的に非線形な領域に拡張しただけのサン・ヴナン・キルヒホッフ モデルです。このモデルは、それぞれ一般形式と等方形式を持ちます。
ここで、はテンソル収縮、は 2 番目のピオラ・キルヒホッフ応力、は 4 次の剛性テンソル、は次で与えられるラグランジュ グリーンひずみ
、はラメ定数、は2 次の単位テンソルです。
![{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8b59fed4fc1f45e08b5f6ae13fe5e5f2586951)
サン・ヴナン・キルヒホッフモデルのひずみエネルギー密度関数は
![{\displaystyle W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}{\mathord {\left({\boldsymbol {E}}^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de41de18a428e0920a40050db04bdf7653ef0c5f)
そして、第2のピオラ・キルヒホッフ応力は、次の関係から導かれる。
超弾性材料モデルの分類
超弾性材料モデルは次のように分類できます。
- 観察された行動の現象学的記述
- 物質の基礎構造に関する議論から導き出された
メカニズムモデル
- 現象論的モデルと機械論的モデルのハイブリッド
一般的に、超弾性モデルはドラッカーの安定性基準を満たす必要があります。一部の超弾性モデルは、ひずみエネルギー関数を主伸張 の個別の関数の合計に分離できるというヴァラニス-ランデル仮説を満たしています。
応力とひずみの関係
圧縮性超弾性材料
第一ピオラ・キルヒホッフ応力
がひずみエネルギー密度関数である場合、超弾性材料の
第1ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルは、変形
勾配として計算できます。ラグランジュグリーンひずみ( )
に関して、右コーシー・グリーン変形テンソル( )に関して
、
第二ピオラ・キルヒホッフ応力
が2 番目の Piola–Kirchhoff 応力テンソルである場合、
ラグランジュ グリーンひずみ
に関して右 Cauchy–Green 変形テンソル
に関して上記の関係は、材料構成における
Doyle-Ericksen の公式
としても知られています。
コーシーストレス
同様に、コーシー応力は次のように表される。
ラグランジュグリーンひずみ
に関して右コーシーグリーン変形テンソル
に関して
上記の式は異方性媒体に対しても有効である（この場合、ポテンシャル関数は初期繊維配向などの基準方向量に暗黙的に依存すると理解される）。 等方性の特殊なケースでは、コーシー応力は左コーシーグリーン変形テンソルに関して次のように表される：[7]
非圧縮性超弾性材料
非圧縮性材料の場合、非圧縮性制約は です。超弾性材料の非圧縮性を保証するために、ひずみエネルギー関数は次のように記述できます。
ここで、静水圧は非圧縮性制約を強化するラグランジュ乗数として機能します。第 1 ピオラ・キルヒホッフ応力は、次のようになります。
この応力テンソルは、その後、次に示す
コーシー応力テンソルなどの他の従来の応力テンソルに変換
できます。
コーシー強勢の表現
圧縮性等方性超弾性材料
等方性超弾性材料の場合、コーシー応力は左コーシー・グリーン変形テンソル（または右コーシー・グリーン変形テンソル）の不変量で表すことができます。ひずみエネルギー密度関数が次の
場合（これらの記号の定義については、
左コーシー・グリーン変形テンソル
のページを参照してください）。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {2}{J}}\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}\left({\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {2}{J}}\left[\left({\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]+\left[{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[5pt]&={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc63e121bafc2f5ebc99e2cc102ff55e68618452)
証明2
等容積変形勾配は と定義され、その結果、等容積変形勾配の行列式は 1 になります。つまり、体積伸縮はありません。これを使用して、等容積左コーシー・グリーン変形テンソル を定義できます。 の不変量はです。
歪み挙動を定義するために使用される不変量のセットは、等容積左コーシー・グリーン変形テンソルの最初の 2 つの不変量 (右コーシー・グリーン伸縮テンソルのものと同一) であり、これらが加わって体積挙動が説明されます。
コーシー応力を不変量で表すには、次のことを思い出してください。
微分法の連鎖律は次式を与えます
。
コーシー応力は次式で与えられることを思い出してください
。
不変量では次式を得ます
。の
微分方程式を で代入すると、次
式を得ます
。 または
の偏差部分では、次式を得ることができます
。非圧縮性
材料の場合、 となります。したがって、コーシー応力は次式で与えられます
。
は未定の圧力のようなラグランジュ乗数項です。 さらに の場合、 となり、したがってコーシー応力は次式で表すことができます。
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5e6b445b86b2c353a1f18494fc0b3d6cee61325)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~J~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4976e9a59607a67563a2168f67cac160453c8a59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left(J^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+J^{-2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-J^{-4/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\\&\qquad 2~J~\left[-{\frac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92fc8cc0a376769e1a55384831822bfe7278570)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}~\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fb2175d1cf8867bc4aeb7f3991b4d237cf1543)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bab10de5208332a92b44c2e19af8c19a8dca207)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5f43a4b8e83bf20b8c88b401395570654aaa89)
証明3
コーシー応力を伸縮 で表すには、次のことを思い出してください。
連鎖律
により次のようになります。
コーシー応力は次のように与えられます
。 の
微分を表す式を代入すると
、次のようになります。のスペクトル分解
を使用すると、次のようになります。
また、次のことにも注意してください。
したがって
、コーシー応力を表す式は次のように書くことができます。 非圧縮性材料の場合、したがって 。Ogden [1] p. 485 に従って、次のように書くことができ
ます。
この段階では
注意
が必要です。固有値が繰り返される場合、一般にはガトー微分可能のみで、フレシェ微分可能 ではありません。[8] [9]厳密なテンソル微分は、別の固有値問題を解くことによってのみ見つけることができます。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}&={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~{\frac {\partial \lambda _{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~{\frac {\partial \lambda _{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~{\frac {\partial \lambda _{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\\&={\boldsymbol {R}}^{T}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {R}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376db081f7668da0294fb408efd68f30e246fba8)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {V}}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {V}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1cbf72e429aed44eb8dfa08ee2108ef209c94b)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~\left[\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b4bfca4342f7dc22085470c19916ece1ea702b)
応力を成分間の差で表すと、
非圧縮性に加えて、問題に対する可能な解決策は、応力差を次のように表すことができる。
非圧縮性等方性超弾性材料
非圧縮等方性超弾性材料の場合、ひずみエネルギー密度関数は です。コーシー応力は で与えられ、
は未定の圧力です。応力差に関して
、
に加えて の場合、 の
場合、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec076b6ccffceae7e2ba84414d011247098baac)
線形弾性との一貫性
線形弾性との一貫性は、超弾性材料モデルのいくつかのパラメータを決定するためによく使用されます。これらの一貫性条件は、フックの法則と小さなひずみでの線形化された超弾性を比較することによって見つけることができます。
等方性超弾性モデルの整合性条件
等方性超弾性材料が等方性線形弾性と一致するためには、応力-ひずみ関係は、無限小ひずみ極限において次の形をとる必要がある。
ここで、はラメ定数である。上記の関係に対応するひずみエネルギー密度関数は[ 1]である。
非圧縮性材料の場合、およびは次式である
。
任意のひずみエネルギー密度関数が小ひずみに対して上記の形に簡約されるためには、次の条件が満たされる必要がある[1]。
![{\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\lambda ~[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}+\mu ~\mathrm {tr} {\ mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcd60974de818734aa8e47cea766e49c221fc7e)
材料が非圧縮性の場合、上記の条件は次の形式で表現できます。
これらの条件を使用して、特定の超弾性モデルのパラメータとせん断弾性係数および体積弾性係数の関係を見つけることができます。
非圧縮性の一貫性条件私1ゴム系材料
多くのエラストマーは、 のみに依存するひずみエネルギー密度関数によって適切にモデル化されます。このような材料については、 が成り立ちます。 に対する非圧縮性材料の一貫性条件は、次のように表すことができます
。
上記の 2 番目の一貫性条件は、 であることに注意することで導出できます
。 これらの関係は、等方性非圧縮性超弾性材料の一貫性条件に代入できます。
参考文献
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- ^ Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X (2014). 「流体構造相互作用による有限ひずみ非線形ヒト僧帽弁モデル」Int J Numer Methods Biomed Eng . 30 (12): 1597– 613. doi :10.1002/cnm.2691. PMC 4278556 . PMID 25319496.
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参照
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fceb8e2cf5d2f77071ed86209e41e3b391829c7)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f1bd839ed56c70acb2202948b7027a97467764)
