外部荷重によるひずみ
Ɪビームの曲げ 応用力学 では 、 曲げ（ たわみ とも呼ばれる）は 、要素の縦軸に垂直に加えられた
外部 荷重を受ける細長い 構造 要素の挙動を特徴付けます。
構造要素は、少なくとも 1 つの寸法が他の 2 つの寸法のごく一部、通常は 1/10 以下であると想定されます。 [1] 長さが幅や厚さよりもかなり長い場合、その要素は梁と呼ばれます 。 たとえば、 ハンガー に掛けた衣服の重みで たわんでいる クローゼットの 棒は 、曲げを受ける梁の例です。一方、シェルは、長さと幅が同じ桁であるが、構造の厚さ (「壁」と呼ばれる) がかなり小さい、任意の幾何学的形状の構造です。直径は大きいが壁が薄く、短いチューブを両端で支えて横方向に荷重をかけるのは、曲げを受けるシェルの例です。
修飾語がない場合、 「曲げ」 という用語は曖昧です。なぜなら、曲げはあらゆる物体において局所的に発生する可能性があるからです。したがって、この用語をより正確に使用するために、エンジニアは、 ロッドの曲げ 、 [2] 梁の曲げ 、 [ 1] プレートの曲げ 、 [ 3] シェルの曲げ [ 2] などの特定の物体を参照します。
梁の準静的曲げ 横方向の荷重が加わると、梁は変形し、内部に応力が生じます。準静的な場合、曲げたわみの量 と 生じる応力は、時間の経過とともに変化しないものと想定されます。両端で支えられ、中央に下向きの荷重がかかった水平梁では、梁の上部の材料は圧縮され、下部の材料は引き伸ばされます。横方向の荷重によって生じる内部応力には、次の 2 つの形式があります。
これら最後の 2 つの 力は大きさが等しく方向が反対であるため、モーメントを形成します 。 この 曲げ モーメントは、 曲げを受ける梁のたわみ変形特性に抵抗します。梁の応力分布は、いくつかの単純化された仮定を使用すると、かなり正確に予測できます。 [1]
オイラー・ベルヌーイ曲げ理論 曲げられた梁の要素: 繊維は同心円弧を形成し、上部の繊維は圧縮され、下部の繊維は引き伸ばされます。 梁の曲げモーメント 細長い梁のオイラー・ベルヌーイ理論 では 、「平面断面は平面のままである」という大きな仮定が立てられています。言い換えれば、断面を横切るせん断による変形は考慮されません (せん断変形なし)。また、この線形分布は、最大応力が 材料の 降伏応力よりも小さい場合にのみ適用されます。降伏を超える応力については、 塑性曲げの 記事を参照してください。降伏時に、断面で発生する最大応力 (梁の 中立軸 から最も遠い点) は、 曲げ強度 として定義されます。
次の条件が当てはまるビームを検討します。
この場合、梁のたわみ（）を表す式は 次のように近似できます。
w
{\displaystyle w}
d
2
w
(
x
)
d
x
2
=
M
(
x
)
E
(
x
)
I
(
x
)
{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
ここで、 に対するたわんだ形状の2次導関数 は曲率として解釈され、 はヤング率 、 は 断面の断面 2次モーメント 、 は 梁の内部曲げモーメントです。
x
{\displaystyle x}
E
{\displaystyle E}
I
{\displaystyle I}
M
{\displaystyle M}
さらに、梁が長さに沿って 均質 であり、先細りしていない（すなわち、一定の断面積）場合、横方向の荷重が加わるとたわむ ことが証明される。 [1]
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
E
I
d
4
w
(
x
)
d
x
4
=
q
(
x
)
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
これは梁の曲げに関するオイラー・ベルヌーイの方程式です。
梁の変位の解が得られたら、 梁の
曲げモーメント（ ）とせん断力（ ）を次の関係式で計算できる。
M
{\displaystyle M}
Q
{\displaystyle Q}
M
(
x
)
=
−
E
I
d
2
w
d
x
2
;
Q
(
x
)
=
d
M
d
x
.
{\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}
単純な梁の曲げは、オイラー・ベルヌーイの梁方程式で解析されることが多い。単純な曲げ理論を使用するための条件は以下のとおりである。 [4]
梁は 純粋な曲げ を受けます。つまり、 せん断力は ゼロであり、ねじり荷重や軸方向荷重は発生しません。 材料は 等方性 （または 直交異方性 ）かつ 均質 です。 材料は フックの法則 に従います（線形弾性であり、塑性変形しません）。 ビームは最初は直線で、ビームの長さ全体にわたって断面が一定です。 梁は曲げ平面内に対称軸を持ちます。 梁の比率は、潰れ、しわ、または横方向の 座屈 ではなく、曲げによって破損するような比率です。 曲げ加工中も梁の断面は平面のままです。 対称的に曲げられた梁のたわみと重ね合わせの原理 曲げ荷重を受けると、梁の軸方向に圧縮力と引張力が生じます。これらの力により、梁に 応力が 発生します。最大圧縮応力は梁の最上端で発生し、最大引張応力は梁の下端で発生します。これら 2 つの反対の最大値間の応力は 直線的に 変化するため、それらの間の直線経路上には曲げ応力がない点が存在します。これらの点の 軌跡 が中立軸です。この応力のない領域と応力が低い隣接領域があるため、均一断面の梁を曲げに使用することは、梁が崩壊する寸前まで梁の全容量を使用しないため、荷重を支える特に効率的な手段ではありません。ワイドフランジ梁 ( Ɪ ビーム ) と トラス 桁は 、この応力不足領域の材料の量を最小限に抑えるため、この非効率性を効果的に解決します。
単純曲げを受ける梁の曲げ応力を決定するための古典的な式は次の通りである: [5]
σ
x
=
M
z
y
I
z
=
M
z
W
z
{\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}
どこ
σ
x
{\displaystyle {\sigma _{x}}}
曲げ応力は
M
z
{\displaystyle M_{z}}
– 中立軸周りのモーメント
y
{\displaystyle y}
– 中立軸に対する垂直距離
I
z
{\displaystyle I_{z}}
– 中立軸 z周りの 面積の2次モーメント 。
W
z
{\displaystyle W_{z}}
- 中立軸z 周りの抵抗モーメント 。
W
z
=
I
z
/
y
{\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}
オイラー・ベルヌーイの梁曲げ理論の拡張
プラスチック曲げ この式は 、端の繊維 (つまり、梁の中立軸から最も遠い部分) の応力が、梁を構成する材料の 降伏応力 を下回る場合にのみ有効です。負荷が高くなると、応力分布は非線形になり、延性材料は最終的に 塑性ヒンジ 状態になります。この状態では、応力の大きさは梁のあらゆる場所で降伏応力と等しくなり、中立軸で不連続が生じ、応力が引張から圧縮に変わります。この塑性ヒンジ状態は、通常、 鋼構造の設計における
限界状態として使用されます。
σ
=
M
y
I
x
{\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}
複雑または非対称の曲げ 上記の式は、断面が対称である場合にのみ有効です。非対称断面を持つ均質梁の場合、梁の最大曲げ応力は次のように表されます。
σ
x
(
y
,
z
)
=
−
M
z
I
y
+
M
y
I
y
z
I
y
I
z
−
I
y
z
2
y
+
M
y
I
z
+
M
z
I
y
z
I
y
I
z
−
I
y
z
2
z
{\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}
[6] ここで 、右に示すように、応力が決定される断面上の点の座標、 および は y および z 重心軸の周りの曲げモーメント、および は y および z 軸 の 周り の断面の 2 次モーメント (慣性モーメントとは異なります)、および は 断面モーメントの積 です。この式を使用すると、モーメントの方向や断面の形状に関係なく、梁断面上の任意の点での曲げ応力を計算できます。 断面上のある点から別の点に移動しても は変化しない
ことに注意してください。
y
,
z
{\displaystyle y,z}
M
y
{\displaystyle M_{y}}
M
z
{\displaystyle M_{z}}
I
y
{\displaystyle I_{y}}
I
z
{\displaystyle I_{z}}
I
y
z
{\displaystyle I_{yz}}
M
y
,
M
z
,
I
y
,
I
z
,
I
y
z
{\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}
物体の大きな変形の場合、断面の応力はこの式の拡張バージョンを使用して計算されます。まず、次の仮定を行う必要があります。
平坦なセクションの仮定 - 変形の前後で、考慮される物体のセクションは平坦のままです（つまり、渦巻き状になっていません）。 この断面の法線ベクトルに垂直なせん断応力と法線応力は、この断面に平行な法線応力には影響を及ぼしません。 曲げ半径がセクション高さ h の 10 倍より小さい場合は、大きな曲げを考慮する必要があります 。
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
<
10
h
.
{\displaystyle \rho <10h.}
これらの仮定に基づくと、大きな曲げにおける応力は次のように計算されます。
σ
=
F
A
+
M
ρ
A
+
M
I
x
′
y
ρ
ρ
+
y
{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}
どこ
F
{\displaystyle F}
法線 力は
A
{\displaystyle A}
断面 面積は
M
{\displaystyle M}
曲げモーメントは
ρ
{\displaystyle \rho }
ローカル曲げ半径（現在のセクションでの曲げ半径）
I
x
′
{\displaystyle {{I_{x}}'}}
は、 x 軸 に沿った、その場所における 面積慣性モーメントである （ シュタイナーの定理 を参照）。
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
応力が計算される断面領域上の y 軸に沿った位置です 。
σ
{\displaystyle \sigma }
曲げ半径が 無限大に近づくと、 元の式に戻ります。
ρ
{\displaystyle \rho }
y
≪
ρ
{\displaystyle y\ll \rho }
σ
=
F
A
±
M
y
I
{\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}
。
ティモシェンコ曲げ理論 ティモシェンコ梁の変形。法線は に等しくない量だけ回転します 。
θ
{\displaystyle \theta }
d
w
/
d
x
{\displaystyle dw/dx}
1921 年、 ティモシェンコは 梁の方程式にせん断の影響を加えることで、梁のオイラー・ベルヌーイ理論を改良しました。ティモシェンコ理論の運動学的仮定は次のとおりです。
梁の軸に対する法線は変形後も真っ直ぐなままである 変形後も梁の厚さは変化しない ただし、軸の法線は、変形後も軸に対して垂直のままである必要はありません。
これらの仮定の下での、一定断面の線形弾性、等方性、均質梁の準静的曲げの方程式は [7]である。
E
I
d
4
w
d
x
4
=
q
(
x
)
−
E
I
k
A
G
d
2
q
d
x
2
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}
ここで、 は 断面の 断面慣性 モーメント、は断面積、 は せん断弾性係数 、 は せん断補正係数 、は 適用される横方向荷重です。 ポアソン比 （ ）が0.3に近い材料の場合、長方形断面のせん断補正係数はおよそ次のようになります。
I
{\displaystyle I}
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
k
{\displaystyle k}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
ν
{\displaystyle \nu }
k
=
5
+
5
ν
6
+
5
ν
{\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}
法線の
回転（ ）は次式で表されます。
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi (x)}
d
φ
d
x
=
−
d
2
w
d
x
2
−
q
(
x
)
k
A
G
{\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}
曲げモーメント（ ）とせん断力（ ）は次のように表される。
M
{\displaystyle M}
Q
{\displaystyle Q}
M
(
x
)
=
−
E
I
d
φ
d
x
;
Q
(
x
)
=
k
A
G
(
d
w
d
x
−
φ
)
=
−
E
I
d
2
φ
d
x
2
=
d
M
d
x
{\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}
弾性基礎上の梁 オイラー・ベルヌーイ、ティモシェンコ、その他の曲げ理論によれば、弾性基礎上の梁は説明できる。鉄道の線路、建物や機械の基礎、水上の船舶、植物の根などの一部の用途では、荷重を受ける梁は連続した弾性基礎で支えられている（つまり、外部荷重による連続的な反応が梁の長さに沿って分散される） [8] [9] [10] [11]
橋を渡る車（弾性基礎上に部分的に支持された梁、曲げモーメント分布）
梁の動的曲げ 梁の動的曲げ [12]は 梁の曲げ振動としても知られ、 18世紀後半に ダニエル・ベルヌーイ によって初めて研究されました。振動する梁のベルヌーイの運動方程式は梁の 固有振動数を過大評価する傾向があり、1877年に レイリー によって中間面回転を追加することでわずかに改良されました。1921年に スティーブン・ティモシェンコは、 曲げ梁の動的応答に対するせん断の影響を組み込むことで理論をさらに改良しました。これにより、動的オイラー・ベルヌーイ理論が不十分な高周波振動の問題に理論を使用できるようになりました。梁の動的曲げに関するオイラー・ベルヌーイ理論とティモシェンコ理論は、エンジニアによって広く使用され続けています。
オイラー・ベルヌーイ理論 細長く、等方性で、均一な一定断面の梁に横方向の荷重が加わったときの動的曲げに関するオイラー・ベルヌーイ方程式は [7] である。
q
(
x
,
t
)
{\displaystyle q(x,t)}
E
I
∂
4
w
∂
x
4
+
m
∂
2
w
∂
t
2
=
q
(
x
,
t
)
{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}
ここで、 はヤング率、 は断面の断面慣性モーメント、 は梁の中立軸のたわみ、は 梁の単位長さあたりの質量です。
E
{\displaystyle E}
I
{\displaystyle I}
w
(
x
,
t
)
{\displaystyle w(x,t)}
m
{\displaystyle m}
自由振動 梁に横方向の荷重がかかっていない状況では、曲げ方程式は次のようになります。
E
I
∂
4
w
∂
x
4
+
m
∂
2
w
∂
t
2
=
0
{\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}
梁の自由振動は次のように表される。
w
(
x
,
t
)
=
Re
[
w
^
(
x
)
e
−
i
ω
t
]
⟹
∂
2
w
∂
t
2
=
−
ω
2
w
(
x
,
t
)
{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}
曲げ方程式は次のように書ける。
E
I
d
4
w
^
d
x
4
−
m
ω
2
w
^
=
0
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}
上記の式の一般解は
w
^
=
A
1
cosh
(
β
x
)
+
A
2
sinh
(
β
x
)
+
A
3
cos
(
β
x
)
+
A
4
sin
(
β
x
)
{\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}
定数 と
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}
β
:=
(
m
E
I
ω
2
)
1
/
4
{\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}
ティモシェンコ・レイリー理論 1877 年、レイリーは梁の断面の回転慣性の効果を取り入れることで、動的オイラー・ベルヌーイ梁理論の改良を提案しました。ティモシェンコは 1922 年に梁方程式にせん断の効果を加えることでこの理論を改良しました。梁の中間面の法線のせん断変形は、ティモシェンコ・レイリー理論で許容されます。
これらの仮定の下で、一定断面の線形弾性、等方性、均質な梁の曲げ方程式は [7] [13]である。
E
I
∂
4
w
∂
x
4
+
m
∂
2
w
∂
t
2
−
(
J
+
E
I
m
k
A
G
)
∂
4
w
∂
x
2
∂
t
2
+
J
m
k
A
G
∂
4
w
∂
t
4
=
q
(
x
,
t
)
+
J
k
A
G
∂
2
q
∂
t
2
−
E
I
k
A
G
∂
2
q
∂
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}
ここで、 は 断面の 極慣性モーメント 、は梁の単位長さあたりの質量、 は梁の密度、 は断面積、 はせん断弾性係数、は せん断補正係数 です 。ポアソン比（）が0.3に近い材料の場合 、せん断補正係数はおよそ
J
=
m
I
A
{\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}
m
=
ρ
A
{\displaystyle m=\rho A}
ρ
{\displaystyle \rho }
A
{\displaystyle A}
G
{\displaystyle G}
k
{\displaystyle k}
ν
{\displaystyle \nu }
k
=
5
+
5
ν
6
+
5
ν
rectangular cross-section
=
6
+
12
ν
+
6
ν
2
7
+
12
ν
+
4
ν
2
circular cross-section
{\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}
自由振動 自由振動の調和振動の場合、ティモシェンコ・レイリー方程式は次のようになる。
E
I
d
4
w
^
d
x
4
+
m
ω
2
(
J
m
+
E
I
k
A
G
)
d
2
w
^
d
x
2
+
m
ω
2
(
ω
2
J
k
A
G
−
1
)
w
^
=
0
{\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}
この方程式は、 のすべての導関数が打ち消すために同じ形を持たなければならない ことに注意することで解くことができ、したがって の形の解 が期待できます。この観察から、 特性方程式が導かれます。
w
{\displaystyle w}
e
k
x
{\displaystyle e^{kx}}
α
k
4
+
β
k
2
+
γ
=
0
;
α
:=
E
I
,
β
:=
m
ω
2
(
J
m
+
E
I
k
A
G
)
,
γ
:=
m
ω
2
(
ω
2
J
k
A
G
−
1
)
{\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}
この4次方程式 の解 は
k
1
=
+
z
+
,
k
2
=
−
z
+
,
k
3
=
+
z
−
,
k
4
=
−
z
−
{\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}
どこ
z
+
:=
−
β
+
β
2
−
4
α
γ
2
α
,
z
−
:=
−
β
−
β
2
−
4
α
γ
2
α
{\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}
自由振動に対するティモシェンコ・レイリー梁方程式の一般解は次のように表される。
w
^
=
A
1
e
k
1
x
+
A
2
e
−
k
1
x
+
A
3
e
k
3
x
+
A
4
e
−
k
3
x
{\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}
プレートの準静的曲げ 薄い板の変形。変位、中間面（赤）、中間面の法線（青）を強調表示しています。 梁の特徴は、寸法の1つが他の2つよりはるかに 大きいこと です。構造物が平らで、寸法の1つが他の2つよりはるかに 小さい 場合、その構造物はプレートと呼ばれます。荷重がかかったプレートの変形と応力を説明しようとする理論はいくつかありますが、そのうちの2つが広く使用されています。
キルヒホッフ・ラブの板理論（古典板理論とも呼ばれる） ミンドリン・ ライスナー 板理論（板の一次せん断理論とも呼ばれる）
キルヒホッフ・ラブのプレート理論 キルヒホッフ・ラブ理論の仮定は
中間面に垂直な直線は変形後も直線のままである 中間面に対して垂直な直線は、変形後も中間面に対して垂直のままである。 変形中にプレートの厚さは変化しません。 これらの仮定は、
u
α
(
x
)
=
−
x
3
∂
w
0
∂
x
α
=
−
x
3
w
,
α
0
;
α
=
1
,
2
u
3
(
x
)
=
w
0
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
ここで、 はプレート内の点の変位であり、 は中間面の変位です。
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
w
0
{\displaystyle w^{0}}
ひずみと変位の関係は
ε
α
β
=
−
x
3
w
,
α
β
0
ε
α
3
=
0
ε
33
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
平衡方程式は
M
α
β
,
α
β
+
q
(
x
)
=
0
;
M
α
β
:=
∫
−
h
h
x
3
σ
α
β
d
x
3
{\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}
ここで、 プレートの表面に対して垂直な荷重が適用されます。
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
変位の観点から、外部荷重がない場合の等方性線形弾性板の平衡方程式は次のように表される。
w
,
1111
0
+
2
w
,
1212
0
+
w
,
2222
0
=
0
{\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}
直接テンソル表記では、
∇
2
∇
2
w
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}
ミンドリン・ライスナーのプレート理論 この理論の特別な仮定は、変形後も中間面の法線は直線で伸びないが、必ずしも中間面に対して垂直ではないということである。プレートの変位は次のように与えられる。
u
α
(
x
)
=
−
x
3
φ
α
;
α
=
1
,
2
u
3
(
x
)
=
w
0
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
法線の回転は
どこですか。
φ
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
これらの仮定から得られるひずみ-変位関係は
ε
α
β
=
−
x
3
φ
α
,
β
ε
α
3
=
1
2
κ
(
w
,
α
0
−
φ
α
)
ε
33
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}
ここで せん断補正係数です。
κ
{\displaystyle \kappa }
平衡方程式は
M
α
β
,
β
−
Q
α
=
0
Q
α
,
α
+
q
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}
どこ
Q
α
:=
κ
∫
−
h
h
σ
α
3
d
x
3
{\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}
プレートの動的曲げ
薄いキルヒホッフ板のダイナミクス 板の動的理論は、板内の波の伝播と定在波および振動モードの研究を決定します。キルヒホッフ板の動的曲げを支配する方程式は、
M
α
β
,
α
β
−
q
(
x
,
t
)
=
J
1
w
¨
0
−
J
3
w
¨
,
α
α
0
{\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}
ここで、密度が のプレートの場合 、
ρ
=
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho =\rho (x)}
J
1
:=
∫
−
h
h
ρ
d
x
3
;
J
3
:=
∫
−
h
h
x
3
2
ρ
d
x
3
{\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}
そして
w
¨
0
=
∂
2
w
0
∂
t
2
;
w
¨
,
α
β
0
=
∂
2
w
¨
0
∂
x
α
∂
x
β
{\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}
下の図は円板のいくつかの振動モードを示しています。
モード k = 0、 p = 1
モード k = 0、 p = 2
モード k = 1、 p = 2
参照
参考文献
^ abcd Boresi, AP、Schmidt, RJ、Sidebottom, OM、1993、 「Advanced mechanics of materials」 、John Wiley and Sons、ニューヨーク。 ^ ab Libai, A. および Simmonds, JG, 1998, 弾性シェルの非線形理論 、ケンブリッジ大学出版局。 ^ Timoshenko, S. および Woinowsky-Krieger, S.、1959、 「プレートとシェルの理論」 、McGraw-Hill。 ^ Shigley J、「機械工学設計」、p44、国際版、McGraw Hill、1986年、 ISBN 0-07-100292-8 ^ Gere, JM および Timoshenko, SP, 1997, 材料力学 、PWS 出版会社。 ^ クックとヤング、1995年、「材料力学の高度化」、マクミラン出版：ニューヨーク ^ abc トムソン、WT、1981、 「振動理論とその応用」 ^ ヘテニ、ミクロス (1946). 弾性基礎上の梁 。アナーバー、ミシガン大学、米国。 ^ MELERSKI, E., S. (2006). 弾性基礎上の梁、円板、円筒形タンクの設計解析 （第2版）ロンドン、イギリス：Taylor & Francis Group。p. 284。ISBN 978-0-415-38350-9 。 {{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)^ TSUDIK, E. 弾性基礎上の梁とフレームの解析 。米国: Trafford Publishing。p. 248。ISBN 1-4120-7950-0 。 ^ フリードリシェク、カレル;カタリナ州トヴルダ;ヤンチョ、ローランド;他。 （2013年）。 弾性基礎に関する構造ハンドブック (第 1 版)。オストラヴァ、チェコ共和国: VSB - オストラヴァ工科大学。ページ 1–1691。ISBN 978-80-248-3238-8 。 ^ Han, S. M、Benaroya, H.、Wei, T.、1999、「4つの工学理論を使用した横方向振動梁のダイナミクス」、 Journal of Sound and Vibration 、vol. 226、no. 5、pp. 935–988。 ^ Rosinger, HE および Ritchie, IG、1977、「 振動する等方性梁のせん断に対するティモシェンコの補正について」、 J. Phys. D: Appl. Phys.、vol. 10、pp. 1461–1466。
外部リンク
![{\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b17ad3e37e2553884da6fcb9dffd7487039774e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b65d649cab51d29f4b0bb8e69a8bbccb9364b44)
![{\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{長方形の断面}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{円形の断面}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c11a187caa54d9696a9077b73e9bcd49ea0962)
モードk = 0、p = 1
モードk = 0、p = 2
モードk = 1、p = 2