地球の重力

gで表される地球の重力は、重力（地球内部の質量分布による）と遠心力（地球の自転による）の複合効果により物体に与えられる正味の加速度です。^{[2] [3]} これはベクトル量であり、その方向は下げ振りと一致し、強さまたは大きさはノルムによって与えられます。 ${\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}$

SI単位では、この加速度はメートル毎秒の2乗（記号ではm / s ²またはm·s ⁻²）、または同等のニュートン毎キログラム（N/kgまたはN·kg ⁻¹）で表されます。地球の表面近くでは、重力加速度は有効数字2桁の精度で9.8 m/s ²（32 ft/s ²）です。つまり、空気抵抗の影響を無視すると、自由落下する物体の速度は毎秒約9.8メートル毎秒（32 ft/s）ずつ増加します。この量は非公式にリトルgと呼ばれることもあります（対照的に、万有引力定数GはビッグGと呼ばれます）。

地球の重力の正確な強さは場所によって異なります。定義により、標準重力の合意された値は9.80665 m/s ² (32.1740 ft/s ^{2 ) です。 [4]}この量はg _n、g _e（ただし、これは赤道での標準重力 9.7803267715 m/s ² (32.087686258 ft/ s ² ) を意味する場合もあります）、^[5] g ₀、または単にg（可変のローカル値にも使用されます）など、さまざまな形式で表記されます。

地球表面上の物体の重さは、その物体にかかる下向きの力であり、ニュートンの運動の第二法則、つまりF = m a (力=質量×加速度) で表されます。重力加速度は総重力加速度に寄与しますが、地球の自転などの他の要因も寄与し、物体の重さに影響します。通常、重力には月と太陽の引力は含まれません。これらは潮汐効果として考慮されます。

均一な質量密度を持つ、または密度が中心からの距離のみによって変化する (球対称)非回転の完全な球は、その表面のすべての点で均一な大きさの重力場を生成します。地球は回転しており、球対称でもありません。むしろ、極ではわずかに平らで、赤道では膨らんでいる、つまり扁平な回転楕円体です。そのため、表面全体で重力の大きさにわずかな偏差があります。

地球表面の重力は、ペルーのネバド・ワスカラン山の9.7639 m/s ^2から北極海の表面の9.8337 m/s ²まで、約0.7%変化します。^[6]大都市では、クアラルンプール、メキシコシティ、シンガポールの9.7806 m/s ^{2 [7]から、}オスロとヘルシンキの9.825 m/s ^{2までの範囲}です。

1901年、第3回国際度量衡総会は、地球表面の標準重力加速度を次のように定義しました：g _n  = 9.80665 m/s ^{2 。これは、1888年にパリ近郊の}ブルトゥイユ館で行われた計測値に基づいており、海面での緯度45°に変換するために理論的補正が適用されました。^[8]したがって、この定義は特定の場所の値でも慎重に算出された平均値でもなく、より適切な実際のローカル値が不明または重要でない場合に使用する値についての合意です。^{[9]これは、}キログラム重やポンド重の単位を定義するためにも使用されます。

地球の表面は回転しているため、慣性座標系ではありません。赤道に近い緯度では、地球の自転によって生じる外向きの遠心力が極緯度よりも大きくなります。これにより、地球の重力がわずかに（赤道で最大 0.3% まで）相殺され、落下物の見かけの下向きの加速が軽減されます。

異なる緯度で重力が異なる 2 つ目の主な理由は、地球の赤道の膨らみ(これも自転による遠心力によって発生します) により、赤道上の物体は両極にある物体よりも地球の中心から遠く離れていることです。2 つの質量 (地球の一部と計量されている物体) 間の重力による力は、それらの間の距離の 2 乗に反比例して変化します。質量の分布も、赤道上の物体と両極にある物体の下では異なります。結果として、赤道上の物体は、いずれかの極にある物体よりも弱い重力を受けます。

赤道の隆起と自転による地表の遠心力の影響を組み合わせると、海面重力は赤道での約9.780 m/s ²から極での約9.832 m/s ²に増加するため、物体の重さは赤道よりも極で約0.5%重くなります。^{[2] [10]}

重力は、高度が上がるほど地球の中心からの距離が長くなるため、地球の表面から高度が上がるにつれて減少します。他の条件が同じであれば、海抜から 9,000 メートル (30,000 フィート) まで高度が上がると、重量は約 0.29% 減少します。(見かけの重量に影響を与えるもう 1 つの要因は、高度での空気密度の低下で、これにより物体の浮力が減ります。^[11]これにより、高度 9,000 メートルでの人の見かけの重量は約 0.08% 増加します。

宇宙飛行士は地球の重力から逃れられるほど高度を飛行しているため、軌道上では無重力状態にあるというのはよくある誤解である。実際、国際宇宙ステーションの典型的な軌道に相当する高度400キロメートル（250マイル）でも、重力は地球表面の90%近くある。無重力状態は実際には軌道上の物体が自由落下しているために起こる。^[12]

地面の高度の影響は、地面の密度によって異なります (スラブ補正セクションを参照)。海抜 9,100 m (30,000 フィート) の山の上を飛行している人は、同じ高度でも海の上を飛行している人よりも強い重力を感じます。ただし、地球の表面に立っている人は、高度が高くなると重力を感じにくくなります。

次の式は、高度による地球の重力の変化を近似します。

${\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}$

どこ

• g _{h は}海抜hにおける重力加速度です
• R _{e は}地球の平均半径です。
• g _{0 は}標準重力加速度です。

この式では、地球を放射状に対称な質量分布を持つ完全な球体として扱っています。より正確な数学的処理については以下で説明します。

地球の中心から距離rにある重力のおおよその値は、地球の密度が球対称であると仮定することで得られる。重力は半径rの球体内の質量にのみ依存する。重力の反二乗則により、外部からの影響はすべて打ち消される。もう 1 つの結果は、重力は質量がすべて中心に集中しているのと同じであるということ。したがって、この半径での重力加速度は^[14]である。

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}.}$

ここで、Gは重力定数、M ( r )は半径r内の全質量です。地球の密度ρが一定であれば、質量はM ( r ) = (4/3) πρr ³となり、重力の深さへの依存性は

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$

深さdにおける重力g′ は、 g′ = g (1 − d / R )で与えられます。ここで、gは地球表面の重力加速度、dは深さ、R は地球の半径です。密度が中心の密度ρ ₀から表面の密度ρ _{1まで半径の増加とともに直線的に減少する場合、} ρ ( r ) = ρ ₀ − ( ρ ₀ − ρ ₁ ) r / Rとなり、依存性は次のようになります。

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi}{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.}$

地震波伝播時間から推定される密度と重力の実際の深さ依存性（アダムス・ウィリアムソン方程式を参照）は、以下のグラフに示されています。

地形（山の存在など）、地質（付近の岩石の密度など）、深部地殻構造の地域的な違いにより、地球の重力場に地域的・局所的な違いが生じ、これを重力異常と呼びます。^[15]これらの異常の中には非常に広範囲に及ぶものもあり、海面の隆起や振り子時計の同期の狂いを引き起こします。

これらの異常の研究は、重力地球物理学の基礎を形成します。変動は、高感度重力計で測定され、地形やその他の既知の要因の影響が差し引かれ、結果のデータから結論が導き出されます。このような技術は現在、石油や鉱床を見つけるために探鉱者によって使用されています。密度の高い岩石（多くの場合、鉱石を含む）は、地球の表面で通常よりも高い局所的な重力場を引き起こします。密度の低い堆積岩は、その逆を引き起こします。

NASA GRACE による地球の重力導出マップと最近の火山活動、尾根の拡大、火山の位置との間には強い相関関係があり、これらの地域では理論予測よりも強い重力があります。

空気中または水中では、物体は浮力の影響を受け、重力の見かけの強さ（物体の重さで測定）が減少します。効果の大きさは、それぞれ空気の密度（したがって気圧）または水の密度によって異なります。詳細については、 「見かけの重さ」を参照してください。

月と太陽の重力の影響（潮汐の原因でもある）は、それらの相対的な位置に応じて、地球の重力の見かけの強さに非常に小さな影響を及ぼします。典型的な変動は、1日あたり 2 μm/s ² (0.2 mGal )です。

重力加速度はベクトル量であり、大きさに加えて方向も持ちます。球対称の地球では、重力は球の中心に直接向かいます。地球の形がわずかに平らであるため、重力の方向には、基本的に測地緯度と地心緯度の差に相当する大きな偏差が生じます。垂直偏向と呼ばれるより小さな偏差は、山などの局所的な質量異常によって生じます。

世界中のさまざまな都市の重力の強さを計算するツールが存在します。^[16]緯度の影響は、高緯度都市の重力に明確に表れています。アンカレッジ（9.826 m/s ²）、ヘルシンキ（9.825 m/s ^{2 ）は、赤道近くの都市のクアラルンプール（9.776 m/s 2} ）よりも約0.5%大きくなっています。高度の影響はメキシコシティ（9.776 m/s ²、高度2,240メートル（7,350フィート））や、北緯39度付近にあるデンバー（9.798 m/s ²、1,616メートル（5,302フィート））とワシントンDC（9.801 m/s ²、30メートル（98フィート））を比較することで確認できます。測定値は、TM YarwoodとF. Castle著のPhysical and Mathematical Tables（Macmillan、1970年改訂版）から取得できます。^[17]

地形が海面にある場合、1980 年の測地基準系では、緯度における加速度を次のように推定できます。 ${\displaystyle g\{\phi \}}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$

これは1967年の国際重力公式、1967年の測地基準系公式、ヘルメルトの方程式、またはクレローの公式である。^[18]

緯度の関数としてのgの別の公式はWGS（世界測地系）84楕円体重力公式である：^[19]

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],}$

どこ

• ${\displaystyle a,\,b}$それぞれ赤道半軸と極半軸です。
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$回転楕円体の離心率の二乗です。
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{e},\,\mathbb {G} _{p}\,}$それぞれ赤道と極で定義された重力です。
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{p}-a\,\mathbb {G} _{e}}{a\,\mathbb {G} _{e}}}}$（数式定数）

すると、^[19]${\displaystyle \mathbb {G} _{p}=9.8321849378\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$

${\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}$

ここで、地球の半軸は次のようになります。

${\displaystyle a=6378137.0\,\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle b=6356752.314245\,\,\mathrm {m} }$

WGS-84式とヘルマートの式の差は0.68 μm·s ⁻²未満です。

重力異常を取得するために、さらなる削減が適用されます (重力異常#計算を参照)。

万有引力の法則によれば、地球の重力によって物体に作用する力は次のように表される。

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m}$

ここで、r は地球の中心と物体の間の距離です (下記参照)。ここでは、を地球の質量、m を物体の質量とします。 ${\displaystyle M_{\oplus }}$

さらに、ニュートンの第二法則、F = ma（mは質量、aは加速度）は、次のことを示しています。

${\displaystyle F=mg}$

2 つの式を比較すると次のことがわかります。

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}}$

したがって、海面での重力加速度を求めるには、万有引力定数G、地球の質量（キログラム）、m ₁、地球の半径（メートル）、rの値を代入してgの値を求めます。^[20]

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}=6.674\times 10^{-11}\ \mathrm {{m}^{3}{\cdot }{kg}^{-1}{\cdot }{s}^{-2}} \times {\frac {6\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{(6.4\times 10^{6}\ \mathrm {m} )^{2}}}=9+{\frac {795}{2^{10}}}\approx 9.77637\ \mathrm {{m}{\cdot }{s}^{-2}} }$

この式が成り立つのは、均一な球体の重力は、その表面上または表面より上で測定すると、その質量がすべてその中心の一点に集中しているのと同じになるという数学的事実があるからです。この事実により、rに地球の半径を使用することができます。

得られた値はgの測定値とほぼ一致します。この差は、上記の「大きさの変動」で述べたいくつかの要因に起因すると考えられます。

• 地球は均質ではない
• 地球は完全な球体ではないので、その半径には平均値を使用する必要があります。
• この計算されたgの値には、実際の重力のみが含まれます。地球の自転による重力の減少として認識される拘束力の減少や、遠心力によって打ち消される重力の一部は含まれません。

この計算で使用されるrとm ₁の値には大きな不確実性があり、Gの値も正確に測定するのはかなり困難です。

G、g、rが分かっている場合は、逆の計算によって地球の質量を推定できます。この方法はヘンリー・キャベンディッシュによって使用されました。

地球の重力を測定することを重力測定法といいます。

現在、地球の静的および時間変動重力場パラメータは、 GOCE、CHAMP、Swarm、GRACE、GRACE-FOなどの最新の衛星ミッションを使用して決定されています。^{[21] [22]}地球の扁平率や地心の動きなどの最低次のパラメータは、衛星レーザー測距から最もよく決定されます。^[23]

大規模な重力異常は、 GOCEなどの衛星重力ミッションの副産物として、宇宙から検出できます。これらの衛星ミッションは、地球の詳細な重力場モデルの回復を目的としており、通常は地球の重力ポテンシャルの球面調和展開の形で提示されますが、ジオイドの起伏や重力異常のマップなどの代替表現も作成されます。

重力回復・気候実験(GRACE) は、地球全体の重力変化を検出する 2 つの衛星で構成されていました。また、これらの変化は、重力異常の時間的変動として表すこともできます。重力回復・内部実験室(GRAIL) も、月を周回する 2 つの宇宙船で構成されており、2015 年に軌道から外れるまで 3 年間周回していました。

• 高度重力計算機
• GRACE – 重力回復と気候実験 2009-12-01 にWayback Machineでアーカイブ
• GGMplus高解像度データ（2013）
• ジオイド 2011 モデル ポツダム 重力ポテト