アダムス・ウィリアムソン方程式

アダムス・ウィリアムソン方程式は、リーソン・H・アダムスとED・ウィリアムソンにちなんで名付けられた方程式で、半径の関数として密度を決定するために使用され、より一般的には地震波の速度と地球内部の密度の関係を決定するために使用されます。 ^{[ 1 ]} 地球表面の岩石の平均密度と、深さの関数としてのP波とS波の速度のプロファイルが与えられれば、密度が深さとともにどのように増加するかを予測できます。^{[ 2 ]} この方程式は、圧縮が断熱的であり、地球が球対称で均質で、静水圧平衡状態にあることを仮定しています。また、この性質を持つ球殻にも適用できます。これは、予備参照地球モデル（PREM）などの地球内部モデルの重要な部分です。^{[ 3 ] [ 4 ]}

ウィリアムソンとアダムスは1923年にこの理論を初めて提唱した。彼らは「したがって、圧縮のみに基づいて地球の高密度を説明することは不可能である。高密度の内部は、小さな体積に圧縮された通常の岩石で構成されているはずがない。したがって、唯一合理的な代替案、すなわち、より重い物質、おそらく何らかの金属の存在に頼らざるを得ない。地球の地殻、隕石、太陽におけるその豊富さから判断すると、それはおそらく鉄である。」と結論付けた。^{[ 3 ]}

地震波には、圧縮波（P波）とせん断波（S波）の2種類があります。どちらの波も、伝播する媒質の弾性特性、特に体積弾性率K、せん断弾性率μ、密度ρによって速度が決まります。これらのパラメータに関して、P波速度v _pとS波速度v _sは次のようになります。   

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{p}&={\sqrt {\frac {K_{S}+(4/3)\mu }{\rho }}}\\v_{s}&={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}.\end{aligned}}}$

これら2つの速度は地震パラメータとして組み合わせることができる。

等エントロピー体積弾性率の定義、

${\displaystyle K_{S}=-V{\frac {dP}{dV}},}$

と同等

地球の中心から距離rにある領域を静水圧平衡状態にある流体とみなすとします。この領域には、その下にある地球の部分からの重力と、その上にある地球の部分からの圧力が作用します。また、圧縮は断熱的であると仮定します（つまり、熱膨張は密度変化に寄与しません）。圧力P ( r )はrに対して次のように変化します。

ここで、g ( r )は半径rにおける重力加速度である。^{[ 3 ]} 

1、2、3を組み合わせると、アダムス・ウィリアムソン方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dr}}=-{\frac {\rho (r)g(r)}{\Phi (r)}}.}$

この方程式を積分すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \ln \left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)=-\int _{r_{0}}^{r}{\frac {g(r)}{\Phi (r)}}dr,}$

ここで、r ₀は地球表面での半径、ρ ₀は表面での密度です。ρ ₀とP 波および S 波の速度プロファイルが与えられれば、数値積分によって密度の半径方向依存性を決定できます。^{[ 3 ]}