地球の重力

地球の重力（gで表される）は、地球内部の質量分布による重力と地球の自転による遠心力の複合効果によって物体に与えられる正味の加速度である。^{[ 3 ] [ 4 ]} これはベクトル量であり、その方向は振り子の方向と一致し、強さまたは大きさはノルムによって与えられる。${\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}$。

SI 単位では、この加速度はメートル毎秒二乗(記号ではm / s ²または m·s ⁻² ) または同等にニュートン毎キログラム(N/kg または N·kg ⁻¹ ) で表されます。地球表面付近では、重力による加速度は有効数字2 桁で9.8 m/s ² (32 ft/s ² )です。これは、空気抵抗の影響を無視すると、自由落下する物体の速度の垂直成分が毎秒約9.8 メートル毎秒 (32 ft/s)ずつ下向きに増加することを意味します。   

地球の重力の正確な強さは場所によって異なります。標準重力の慣用値は9.806 65  m⋅s ^{−2 ‍ [5 ]}定義により、元々は1901 年にCGPMによって採用されました。 ^{[ 6 ] : 159この量は、} g _n、g _e、g ₀、または単にg (変数ローカル値にも使用されます)などと様々に表記されます。

地球表面上の物体の重さは、ニュートンの運動第二法則で表され、F = ma (力 = 質量 × 加速度) で示される、その物体に働く下向きの力です。重力加速度は全重力加速度に寄与しますが、地球の自転などの他の要因も寄与し、したがって物体の重さに影響を与えます。重力には通常、潮汐効果によって考慮される月と太陽の引力は含まれません。

質量密度が均一な、あるいは密度が中心からの距離のみに依存する（球対称）完全な球体であれば、表面上のあらゆる点で重力場の大きさは均一になるはずです。しかし、地球は自転しており、球対称でもありません。むしろ、極付近はわずかに扁平で、赤道付近は膨らんでいる、扁平回転楕円体です。そのため、地球の表面全体で重力の大きさにわずかなばらつきが生じます。

地球表面の重力は、ペルーのネバド・ワスカラン山の9.7639  m/s ^2から北極海の9.8337 m/s ²まで、約0.7%変化します。^{[ 7 ]}大都市では、クアラルンプール、メキシコシティ、シンガポールの9.7806 m/s ^{2 [ 8 ]}からオスロとヘルシンキの9.825 m/s ²まで変化します。   

高度

地球の表面から高度が上がると、地球の中心からの距離が大きくなるため、重力は減少します。他の条件がすべて同じであれば、海抜から9,000メートル（30,000フィート）まで高度が上がると、体重は約0.29%減少します。 

高所作業用${\displaystyle h>0}$地球表面より上では、重力加速度は逆二乗式で計算できます。^{[ 12 ]}

${\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}$

どこ

• g _hは、海抜hの高さにおける重力加速度です
• Re_は地球の平均半径です。
• g₀は標準重力加速度です_{。この式では、}地球を質量が放射状に対称に分布した完全な球体として扱います。

軌道上の宇宙飛行士は地球の重力から逃れるほど高い高度まで飛行したため無重力状態にあるという誤解がよくあります。実際には、ISSの典型的な軌道に相当する高度400キロメートル（250マイル）では、重力は地球表面の約90%の強さです。無重力状態は、軌道上の物体が自由落下しているために実際に起こります。^{[ 13 ]} 

深さ

地球の中心から距離rにおける重力の近似値は、地球の密度が球対称であると仮定することで得られます。半径rにおける重力は、その半径の球の内部の質量のみに依存します。重力の逆二乗法則の結果として、外部からのすべての寄与は相殺されます。もう 1 つの結果として、重力は、すべての質量が中心に集中している場合と同じになります。したがって、この半径における重力加速度は^{[ 14 ]となります。}

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

ここで、Gは重力定数、Mは半径r内に含まれる全質量である。この結果はシェル定理として知られており、アイザック・ニュートンはこの結果を証明するのに20年を要し、重力に関する研究を遅らせた。^{[ 15 ]： 13}

地球の密度が一定ρであれば、質量はM ( r ) = (4/3) πρr³^となり、重力の深さへの依存性は

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$

深さdにおける重力g′は、 g′ = g (1 − d / R )で与えられます。ここで、 gは地球表面における重力加速度、dは深さ、Rは地球の半径です。密度が中心での密度ρ ₀から表面での密度ρ _{1まで半径の増加とともに直線的に減少する場合、} ρ ( r ) = ρ ₀ − ( ρ ₀ − ρ ₁ ) r / Rとなり、その依存性は次のようになります。

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.}$

地震波の伝播時間から推測される密度と重力の実際の深度依存性（アダムス・ウィリアムソン方程式を参照）を以下のグラフに示す。

予備参照地球モデル（PREM）による地球の半径方向密度分布。^{[ 16 ]}

予備参照地球モデル (PREM) による地球の重力。^{[ 16 ]}比較のために、球対称の地球の 2 つのモデルが含まれています。濃い緑色の直線は、地球の平均密度に等しい一定の密度の場合です。薄い緑色の曲線は、中心から表面に向かって直線的に減少する密度の場合です。中心の密度は PREM と同じですが、表面の密度は球の質量が実際の地球の質量と等しくなるように選択されています。

地域の地形と地質

地形（山の存在など）、地質（周辺の岩石の密度など）、およびより深い地殻構造の局所的な違いにより、地球の重力場に局所的および地域的な違いが生じ、重力異常として知られています。^{[ 17 ]}これらの異常の中には非常に広範囲に及ぶものもあり、海面の隆起や振り子時計の同期ずれを引き起こすことがあります。

これらの異常現象の研究は、重力地球物理学の基礎を形成します。変動は高感度重力計で測定され、地形やその他の既知の要因の影響が差し引かれ、得られたデータから結論が導き出されます。このような技術は現在、石油や鉱物資源の探査に利用されています。密度の高い岩石（しばしば鉱石を含む）は、地球表面で通常よりも高い局所的な重力場を引き起こします。密度の低い堆積岩は、その逆を引き起こします。

地球の重力の大きさは、地球の大気を生成・維持する上で重要な要素であり、ひいては海洋の水を維持する上で不可欠です。重力は、太陽によってエネルギーを与えられたガス分子の運動エネルギーとは逆方向に作用します。一方では、地球の重力は、木星のような大きな惑星とは異なり、水素のような軽いガスが逃げ出すのに十分なほど小さいです。他方では、地球の重力は、より大きな分子を保持するのに十分なほど強いです。さらに、このバランスは動的であり、地球が日周期や年周期で異なる量の熱を受けることで、気象現象が発生します。^{[ 18 ] : 71}

重力加速度はベクトル量であり、大きさに加えて方向も持ちます。球対称の地球では、重力は球の中心に向かってまっすぐに作用します。地球の形状は球面よりもわずかに扁平であるため、重力の方向には大きなずれが生じます。これは基本的に、測地緯度と地心緯度の差に相当します。垂直偏向と呼ばれる小さなずれは、山などの局所的な質量異常によって引き起こされます。

世界中のさまざまな都市の重力の強さを計算するためのツールが存在する。^{[ 19 ]}緯度の影響は、高緯度都市の重力（アンカレッジ（9.826  m/s ²）、ヘルシンキ（9.825  m/s ²））が赤道付近の都市（クアラルンプール（9.776  m/s ²））よりも約0.5%大きいことからも明らかである。 高度の影響は、メキシコシティ（9.776  m/s ²、高度2,240 メートル（7,350フィート））や、デンバー（9.798 m/s ^2、1,616メートル（5,302フィート））とワシントン DC（9.801 m/s ^2、30メートル（98フィート））を比較することで確認できます。どちらも北緯 39 度付近に位置しています。測定値は、TM Yarwood と F. Castle による Physical and Mathematical Tables、Macmillan、改訂版 1970 から入手できます。^{[ 20 ]}      

地形が海抜0メートルであれば、測地基準系1980では、${\displaystyle g\{\phi \}}$緯度における加速度${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} {\cdot }\mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$

これは国際重力公式1967、1967年測地基準系公式、ヘルマートの式、またはクレローの公式です。^{[ 21 ]}

緯度の関数としてのgの別の式は WGS (世界測地系) 84 楕円体重力式です: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{\text{e}}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],}$

どこ

• ${\displaystyle a,\,b}$それぞれ赤道半軸と極半軸である。
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$は、回転楕円体の偏心率の二乗です。
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{e}},\,\mathbb {G} _{\text{p}}\,}$はそれぞれ赤道と極における定義重力である。
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{\text{p}}-a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}{a\,\mathbb {G} _{\text{e}}}}}$（式定数）

それから、${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{p}}=9.8321849378\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}}$[ ^{22 ]​}

${\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m{\cdot }s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}$

地球の半軸の位置は次のとおりです。

${\displaystyle a=6378137.0\,\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle b=6356752.314245\,\,\mathrm {m} }$

WGS-84式とヘルマートの式の差は0.68 μm ·s ⁻²未満である。 

重力異常値を求めるために、さらに削減処理が適用されます（重力異常値の 計算を参照）。

万有引力の法則から、地球の重力によって物体に作用する力は次のように表される。

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m}$

ここで、rは地球の中心と物体の間の距離であり（下記参照）、ここでは、${\displaystyle M_{\oplus }}$を地球の質量、mを物体の質量とする。

さらに、ニュートンの第二法則F = ma ( mは質量、aは加速度) は、

${\displaystyle F=mg}$

2つの式を比較すると、次のことがわかる。

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}}$

したがって、海面での重力加速度を求めるには、重力定数G、地球の質量(キログラム)、m ₁、地球の半径(メートル)、rの値を代入してgの値を取得します。^{[ 23 ]}

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm {{m}^{3}{\cdot }{kg}^{-1}{\cdot }{s}^{-2}} \times {\frac {5.98\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{(6.38\times 10^{6}\ \mathrm {m} )^{2}}}\approx 9.8\ \mathrm {{m}{\cdot }{s}^{-2}} }$

この公式が成り立つのは、均一な球体の重力は、その表面上または表面上で測定した場合、その質量すべてが中心の一点に集中している場合と同じになるからです。このため、rには地球の半径を用いることができるのです。

得られた値は、gの測定値とほぼ一致する。その差は、上記の「大きさの変動」で述べたいくつかの要因に起因する可能性がある。

• 地球は均質ではない
• 地球は完全な球体ではないため、半径には平均値を用いる必要がある。
• この計算されたgの値には、真の重力のみが含まれています。地球の自転によって重力が減少するように見える現象や、遠心力によって重力の一部が相殺される現象は含まれていません。

この計算で使用されるrとm1_の値には大きな不確実性があり、 Gの値も正確に測定するのはかなり困難です。

G、g、rが分かっている場合、逆算によって地球の質量を推定することができる。この方法はヘンリー・キャベンディッシュによって用いられた。

地球の重力を測定することを重力測定法という。

衛星による測定

現在、静的および時間変動する地球の重力場パラメータは、GOCE、CHAMP、Swarm、GRACE、GRACE-FOなどの最新の衛星ミッションを使用して決定されています。^{[ 24 ] [ 25 ]}地球の扁平率や地心運動などの最低次パラメータは、衛星レーザー測距によって最もよく決定されます。^{[ 26 ]}

大規模な重力異常は、衛星重力観測ミッションの副産物として宇宙から検出できる。衛星ミッションの目的は、地球の重力場の詳細なモデルを作成することであり、通常は地球の重力ポテンシャルの球面調和関数展開の形で表現されるが、ジオイドの起伏や重力異常の地図など、別の表現方法も作成される。

重力回復・気候実験（GRACE）は、地球全体の重力変化を検出する2機の衛星で構成されていました。これらの変化は、重力異常の時間的変動として表すことができます。重力回復・内部構造実験室（GRAIL）もまた、2機の宇宙船で構成され、2015年に軌道離脱するまで3年間月を周回しました。

• 高度重力計算機
• GRACE – 重力回復および気候実験（2009年12月1日にWayback Machineにアーカイブ済み）
• GGMplus高解像度データ（2013年）
• ジオイド2011モデルポツダム重力ポテト