2 31 多面体

7次元幾何学では、2 _{31 は}E7群から構成される一様多面体です。

コクセター記号は2 ₃₁で、 2 ノードの枝の端に 1 つのリングがある 分岐コクセター-ディンキン図を表します。

修正された 2 _{31 は}、2 ₃₁の中央の辺にある点によって構成されます。

これらの多面体は、7 次元の127 (または 2 ⁷ −1)個の凸一様多面体の族の一部であり、一様多面体の面と頂点図形で構成され、このコクセター-ディンキン図の環のすべての順列によって定義されます。。

2 ₃₁は、126 の頂点、2016の辺、10080 の面(三角形)、20160 のセル(四面体)、16128 の 4 面 ( 3 単体)、4788 の 5 面 (756 の五面体、4032 の5 単体)、632 の 6 面 (576 の6 単体と 56 の2 ₂₁ ) で構成されます。その頂点図は6 次元半立方体です。その 126 の頂点は、単純リー群E ₇のルートベクトルを表します。

この多面体は、7次元空間3 ₃₁の均一なモザイクの頂点図形です。

• ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV _{126 （頂点数が126であることから）と名付けた。} ^[1]
• これは、2 ノード シーケンスの端に単一のリングを持つ、分岐するCoxeter-Dynkin 図にちなんで、 Coxeterによって2 ₃₁と名付けられました。
• ペンタコンティヘキサ-ペンタコシヘプタコンティヘキサ-エクソン（略称laq） - 56-576ファセットポリエクソン（ジョナサン・バワーズ）^[2]

これは、7 次元空間内の 7 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると、6-単体が残ります。これらの面は576個あります。これらの面は、 3 ₂₁多面体の頂点の位置を中心にしています。。

長さ3の枝の端にあるノードを削除すると、2 ₂₁が残ります。これらの面は56個あります。これらの面は、 1 ₃₂多面体の頂点の位置を中心にしています。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、6次元半立方体、1 ₃₁、。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導出できる。^[3]

平行化された 2 _{31 は}、2 _{31多面体の}平行化であり、 2 ₃₁の辺の中心に新しい頂点を作成します。

• 整流ペンタコンティヘキサ-ペンタコシヘプタコンティヘキサ-エクソン - 整流された56-576ファセットポリエクソン（頭字語rolaq）（ジョナサン・バワーズ）^[4]

これは、7 次元空間内の 7 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると、整流された6単体が残ります。。

2長枝の端の節点を除去すると、6デミキューブが残ります。 。

3長枝の端のノードを削除すると、整流された2 ₂₁が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。

• E7多面体のリスト

• Elte, EL (1912)、「超空間の半正則多面体」、フローニンゲン：フローニンゲン大学
• HSM Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Klitzing、Richard。「7D 均一多面体 (ポリエクサ)」。x3o3o3o *c3o3o3o - laq、o3x3o3o *c3o3o3o - ロラク