位相群の直和

数学において、位相群は2つの 部分群の位相的直和^[1]と呼ばれ、写像が 位相同型である場合、それは同相写像であり群同型であることを意味します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}}$$

より一般的には、写像の 部分群の有限集合の直和は 位相同型と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}}$$

位相群が部分群の族の位相的直和である場合、特に、抽象群（位相を持たない）として、それはまた、族の直和（通常の方法）でもある。${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$${\displaystyle H_{i}.}$

位相群が与えられたとき、その部分群がの位相的な直和である（または から位相的に分離する）とは、 が部分群の直和であり、となるような別の部分群が存在するときのみである。${\displaystyle G,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K\leq G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K.}$

部分群が位相的な直和項となるのは、位相群の拡大が 分裂する場合に限ります。ここで、 は自然な包含であり、 は自然な射影です。 ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi}$

が単位円を部分群として含む局所コンパクトアーベル群であるとする。すると、は位相的な直和項となる。実数についても同様のことが言える^[2]。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 補完部分空間
• 直和 – オブジェクトを「より複雑な」オブジェクトに合成する抽象代数における演算
• 加群の直和 – 抽象代数における演算