重ね合わせの原理

重ね合わせの原理^[1]は重ね合わせの性質としても知られ、すべての線形システムにおいて、2つ以上の刺激によって引き起こされる正味の応答は、各刺激が個別に引き起こす応答の合計であると述べています。つまり、入力A が応答Xを生成し、入力B が応答Y を生成する場合、入力 ( A + B ) は応答 ( X + Y ) を生成します。

重ね合わせの原理を満たす関数は線形関数と呼ばれます。重ね合わせ は、スカラーa の加法性 と同次性という 2 つの単純な特性によって定義できます。 ${\displaystyle F(x)}$ $${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})}$$ $${\displaystyle F(ax)=aF(x)}$$

この原理は物理学や工学で多くの用途があります。多くの物理システムは線形システムとしてモデル化できるからです。たとえば、梁は線形システムとしてモデル化できます。この場合、入力刺激は梁にかかる負荷で、出力応答は梁のたわみです。線形システムの重要性は、数学的に分析しやすいことです。適用できる数学的手法、フーリエ変換やラプラス変換などの周波数領域 線形変換法、線形演算子理論など、多数の手法があります。物理システムは一般に近似的に線形であるため、重ね合わせ原理は真の物理的動作の近似にすぎません。

重ね合わせの原理は、代数方程式、線型微分方程式、およびそれらの形式の方程式のシステムを含む任意の線形システムに適用されます。刺激と応答は、数値、関数、ベクトル、ベクトル場、時間変動信号、または特定の公理を満たすその他のオブジェクトです。ベクトルまたはベクトル場が関係する場合、重ね合わせはベクトルの和として解釈されることに注意してください。重ね合わせが成り立つ場合、勾配、微分、積分（存在する場合）など、これらの関数に適用されるすべての線形演算（定義により）にも自動的に成り立ちます。

非常に一般的な刺激（線形システム）を特定の単純な形式の刺激の重ね合わせとして記述すると、多くの場合、応答の計算が容易になります。

たとえば、フーリエ解析では、刺激は無限個の正弦波の重ね合わせとして表されます。重ね合わせの原理により、これらの正弦波をそれぞれ個別に解析し、その個々の応答を計算することができます。(応答自体は刺激と同じ周波数の正弦波ですが、通常は振幅と位相が異なります。)重ね合わせの原理によれば、元の刺激に対する応答は、すべての個別の正弦波応答の合計 (または積分) になります。

別の一般的な例として、グリーン関数解析では、刺激は無限個のインパルス関数の重ね合わせとして表され、応答はインパルス応答の重ね合わせとして表されます。

フーリエ解析は、特に波動に対してよく使用されます。たとえば、電磁気学では、通常の光は平面波(周波数、偏光、方向が固定された波)の重ね合わせとして説明されます。重ね合わせの原理が成り立つ限り (多くの場合は成り立ちますが、常にそうとは限りません。非線形光学を参照)、あらゆる光波の挙動は、これらのより単純な平面波の挙動の重ね合わせとして理解できます。

波は通常、空間と時間を通じてのいくつかのパラメータの変化によって説明されます。たとえば、水波の高さ、音波の圧力、光波の電磁場などです。このパラメータの値は波の振幅と呼ばれ、波自体は各ポイントでの振幅を指定する 関数です。

波のあるシステムでは、特定の時間における波形は、ソース(つまり、波を生成または影響を与える外部の力 (存在する場合)) とシステムの初期条件の関数です。多くの場合 (たとえば、古典的な波動方程式)、波を記述する方程式は線形です。これが当てはまる場合、重ね合わせの原理を適用できます。つまり、同じ空間を横切る 2 つ以上の波によって生じる正味の振幅は、個々の波によって別々に生成される振幅の合計です。たとえば、互いに向かって移動する 2 つの波は、反対側で歪みが生じることなく、互いを通り抜けます (上の画像を参照)。

波の重ね合わせに関して、リチャード・ファインマンは次のように書いている。^[2]

干渉と回折の違いを満足のいく形で定義できた人はこれまで誰もいません。これは単に使用法の問題であり、両者の間には具体的で重要な物理的違いはありません。大まかに言えば、干渉する発生源が少数、たとえば 2 つしかない場合は、その結果は通常干渉と呼ばれますが、多数の場合は回折という言葉がより頻繁に使用されるようです。

他の著者は次のように述べている: ^[3]

この違いは、便宜性と慣習によるものです。重ね合わせられる波が、たとえば 2 つのコヒーレントな発生源から発生する場合、その効果は干渉と呼ばれます。一方、重ね合わせられる波が、波面を極小のコヒーレントな小波 (発生源) に分割することによって発生する場合、その効果は回折と呼ばれます。つまり、この 2 つの現象の違いは程度の問題だけであり、基本的に、重ね合わせ効果の 2 つの限定されたケースです。

さらに別の情報源も同意している: ^[4]

ヤングが観察した干渉縞は二重スリットの回折パターンであったため、この章 [フラウンホーファー回折] は第 8 章 [干渉] の続きです。一方、マイケルソン干渉計を回折の例として考える光学者はほとんどいません。回折の重要なカテゴリのいくつかは、波面の分割に伴う干渉に関係しているため、ファインマンの観察は、振幅の分割と波面の分割を区別することが難しいことをある程度反映しています。

波間の干渉現象はこの考えに基づいています。2 つ以上の波が同じ空間を通過する場合、各ポイントでの正味の振幅は個々の波の振幅の合計になります。ノイズキャンセリング ヘッドフォンなどの一部のケースでは、合計された変動の振幅はコンポーネントの変動よりも小さくなります。これは、弱め合う干渉と呼ばれます。ライン アレイなどの他のケースでは、合計された変動の振幅は個々のコンポーネントの振幅よりも大きくなります。これは、強め合う干渉と呼ばれます。

最も現実的な物理的状況では、波を支配する方程式は近似的に線形です。これらの状況では、重ね合わせの原理は近似的にしか成り立ちません。原則として、波の振幅が小さくなるにつれて近似の精度は向上する傾向があります。重ね合わせの原理が正確には成り立たない場合に生じる現象の例については、非線形光学および非線形音響の記事を参照してください。

量子力学では、特定の種類の波がどのように伝播し、どのように振る舞うかを計算することが主な仕事です。波は波動関数によって記述され、その振る舞いを支配する方程式はシュレーディンガー方程式と呼ばれます。波動関数の振る舞いを計算するための主なアプローチは、特定の種類の他の波動関数（おそらく無限に多い）の重ね合わせ（「量子重ね合わせ」と呼ばれる）としてそれを記述することです。これは、特に振る舞いが単純な定常状態です。シュレーディンガー方程式は線形であるため、元の波動関数の振る舞いは、このように重ね合わせの原理を通じて計算できます。^[5]

量子力学的状態空間の射影的性質はいくらかの混乱を引き起こす。なぜなら、量子力学的状態は射影ヒルベルト空間における光線であり、ベクトルではないからである。ディラックによれば、「状態に対応する ケット ベクトル にゼロ以外の任意の複素数を乗じた場合、結果として得られる ケット ベクトル は同じ状態に対応する[太字は原文のまま]。」^[6] しかし、重ね合わせられた光線を構成する 2 つの光線の和は定義されていない。その結果、ディラック自身が状態の ケット ベクトル表現を使用して、たとえば ケット ベクトル を次のように 成分 ケット ベクトル の重ね合わせに分解または分割している。 ここで。の同値類により、 の相対位相に明確に定義された意味を与えることができる。^[7]しかし における絶対的な (すべての に対して同じ量の) 位相変化は の同値類には影響しない。 ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle |\phi _{j}\rangle }$$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,}$$${\displaystyle C_{j}\in {\textbf {C}}}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle C_{j}}$${\displaystyle C_{j}}$${\displaystyle C_{j}}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

このページのメインで紹介されている重ね合わせと量子重ね合わせの間には、正確な対応関係があります。たとえば、2 レベルの量子力学システム (量子ビット)の純粋状態を表すブロッホ球は、さまざまな種類の古典的な純粋偏光状態を表すポアンカレ球としても知られています。

それにもかかわらず、量子重ね合わせの話題について、クラマーズは次のように書いている。「[量子]重ね合わせの原理は...古典物理学には類似点がない」^{[要出典] 。}ディラックによれば、「量子力学で発生する重ね合わせは、古典理論で発生するものとは本質的に異なる性質のものである[原文ではイタリック体]。」^{[8]ディラックの推論には観測の原子性が含まれており、これは位相に関しては有効であるが、実際には}時間並進対称性 から派生した位相並進対称性を意味しており、これは上記の古典的偏光状態のように古典的状態にも適用可能である。

境界値問題の一般的なタイプは、（抽象的に言えば） 何らかの境界指定を伴う 何らかの方程式を満たす 関数y を見つけることです 。たとえば、ディリクレ境界条件を伴うラプラス方程式では、Fは領域R内のラプラス演算子、G はy をRの境界に制限する演算子、z はy がRの境界上で等しくなければならない関数になります。 $${\displaystyle F(y)=0}$$$${\displaystyle G(y)=z.}$$

FとG が両方とも線形演算子である場合、重ね合わせの原理によれば、最初の方程式の解の重ね合わせは、最初の方程式の別の解になります。 一方、境界値は重ね合わせます。 これらの事実を使用して、最初の方程式の解のリストをコンパイルできる場合は、これらの解を慎重に重ね合わせ、2 番目の方程式を満たすようにすることができます。これは、境界値問題に取り組む一般的な方法の 1 つです。 $${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\quad \Rightarrow \quad F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0,}$$$${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2}).}$$

次のような単純な線形システムを考えてみましょう。 $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

重ね合わせの原理により、このシステムは次のよう に分解できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

重ね合わせ原理は線形システムにのみ適用できます。しかし、加法状態分解は線形システムと非線形システムの両方に適用できます。次に、 非線形関数 である非線形システムを考えます。加法状態分解により、システムは 次のよう に加法分解できます。 $${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0},}$$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

この分解により、コントローラーの設計を簡素化できます。

• 電気工学では、線形回路において、入力（印加された時間変動電圧信号）は線形変換によって出力（回路内の任意の場所の電流または電圧）に関連付けられます。したがって、入力信号の重ね合わせ（つまり、合計）は応答の重ね合わせを生み出します。
• 物理学では、マクスウェル方程式は、電荷と電流の分布（場合によっては時間とともに変化する）が電場と磁場に線形変換によって関連していることを示しています。したがって、重ね合わせの原理を使用して、特定の電荷と電流の分布から生じる場の計算を簡素化できます。この原理は、熱方程式など、物理学で生じる他の線形微分方程式にも適用されます。
• 工学では、重ね合わせは、効果が線形である場合（つまり、各荷重が他の荷重の結果に影響を与えず、各荷重の影響が構造システムの形状を大幅に変更しない場合）、複合荷重の梁と構造のたわみを解くために使用されます。[ ^9]モード重ね合わせ法は、固有振動数とモード形状を使用して線形構造の動的応答を特徴付けます。^[10]
• 水文地質学では、重ね合わせの原理は、理想的な帯水層で汲み上げている2 つ以上の井戸の水位低下に適用されます。この原理は、解析要素法で使用され、単一のモデルで組み合わせることができる解析要素を開発します。
• プロセス制御では、重ね合わせの原理がモデル予測制御に使用されます。
• 重ね合わせの原理は、非線形システムに対する既知の解からの小さな偏差を線形化によって分析する場合に適用できます。

レオン・ブリルアンによれば、重ね合わせの原理はダニエル・ベルヌーイが1753年に初めて述べたものである。「振動するシステムの一般的な運動は、その固有振動の重ね合わせによって与えられる」。この原理はレオンハルト・オイラーによって否定され、その後ジョセフ・ラグランジュによって否定された。ベルヌーイは、どんな響きのある物体も、明確に定義された振動周波数で一連の単純なモードで振動できると主張した。彼が以前指摘したように、これらのモードを重ね合わせることで、より複雑な振動を生み出すことができる。ベルヌーイの回想録に対する反応で、オイラーは同僚が振動する弦の問題の物理的部分を最もうまく開発したと称賛したが、マルチモードの解決策の一般性と優位性を否定した。^[11]

その後、ジョセフ・フーリエの研究を通じて、この説は広く受け入れられるようになった。^[12]

• 加法状態分解
• ビート（音響）
• コヒーレンス（物理学）
• 畳み込み
• グリーン関数
• インパルス応答
• 干渉
• 量子重ね合わせ

• 重ね合わせの原理に関連するメディア（ウィキメディア・コモンズ）
• ウィクショナリーの干渉の辞書定義