デュアルシステム

Aペアリングまたはフィールド上のペア${\displaystyle \mathbb {K} }$トリプル${\displaystyle (X,Y,b),}$これは次のように表すこともできます${\displaystyle b(X,Y),}$2つのベクトル空間から構成される${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$以上${\displaystyle \mathbb {K} }$そして双線形写像${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$ペアリングに関連付けられた双線形マップ[ ^{1 ]}、または単にペアリングのマップまたはその双線形形式と呼ばれる。ここでの例では、次の場合のみを説明しています^。${\displaystyle \mathbb {K} }$実際の数値${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$しかし、数学理論は一般的である。

すべての${\displaystyle x\in X}$、 定義する $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ そしてすべての${\displaystyle y\in Y,}$定義する $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ 毎${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$は線形汎関数である${\displaystyle Y}$そしてすべての${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$は線形汎関数である${\displaystyle X}$したがって両方とも $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ および }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$線形汎関数 のベクトル空間を形成する。

書くのは一般的な慣習です${\displaystyle \langle x,y\rangle }$の代わりに${\displaystyle b(x,y)}$場合によっては、ペアリングは次のように表される。${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$それよりも${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ただし、この記事では以下の使用を留保します。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$（以下に定義する）正準評価マップについては、この主題に馴染みのない読者の混乱を避けるため、以下のように説明します。

ペアリング${\displaystyle (X,Y,b)}$と呼ばれるデュアルシステム、双対ペア、 ^{[ 2 ]}または二元性${\displaystyle \mathbb {K} }$双線形形式の場合${\displaystyle b}$は非退化であり、つまり、次の2つの分離公理を満たす。

1. ${\displaystyle Y}$点を分離（区別）する${\displaystyle X}$： もし${\displaystyle x\in X}$は、${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$それから${\displaystyle x=0}$または同等に、すべての非ゼロに対して${\displaystyle x\in X}$地図${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$同一ではない${\displaystyle 0}$（つまり、${\displaystyle y\in Y}$そのため${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$各${\displaystyle x\in X}$);
2. ${\displaystyle X}$点を分離（区別）する${\displaystyle Y}$： もし${\displaystyle y\in Y}$は、${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$それから${\displaystyle y=0}$または同等に、すべての非ゼロに対して${\displaystyle y\in Y,}$地図${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$同一ではない${\displaystyle 0}$（つまり、${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$各${\displaystyle y\in Y}$)

この場合${\displaystyle b}$は非退化であり、次のように言える。${\displaystyle b}$場所${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$双対性において（あるいは、冗長ではあるが明確に言えば、分離双対性において）、そして${\displaystyle b}$は、三重項の双対性ペアリングと呼ばれます。${\displaystyle (X,Y,b)}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

サブセット${\displaystyle S}$の${\displaystyle Y}$と呼ばれる合計は、${\displaystyle x\in X}$、$${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{すべての }}s\in S について}$$暗示する${\displaystyle x=0.}$ 合計サブセット${\displaystyle X}$も同様に定義される（脚注を参照）。^{[注1 ]}したがって${\displaystyle X}$ポイントを分離します${\displaystyle Y}$かつその場合に限り${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X}$、同様に${\displaystyle Y}$。

ベクトル${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$直交しており、${\displaystyle x\perp y}$、 もし${\displaystyle b(x,y)=0}$2つのサブセット${\displaystyle R\subseteq X}$そして${\displaystyle S\subseteq Y}$直交しており、${\displaystyle R\perp S}$、 もし${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$つまり、${\displaystyle b(r,s)=0}$すべての人々のために${\displaystyle r\in R}$そして${\displaystyle s\in S}$部分集合がベクトルに直交するという定義は、同様に定義される。

部分集合の直交補集合または零集合${\displaystyle R\subseteq X}$は $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$したがって${\displaystyle R}$は、${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle R^{\perp }}$等しい${\displaystyle \{0\}}$。

3つ組が与えられた場合${\displaystyle (X,Y,b)}$ペアリングを定義する${\displaystyle \mathbb {K} }$絶対極集合または部分集合の極集合${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$セットは次のとおりです。$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$対称的に、絶対極集合または部分集合の極集合${\displaystyle B}$の${\displaystyle Y}$は、$\displaystyle B^{\circ }}$そして定義される $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

双対性の両側の反対称性を追跡するのに役立つ簿記を使用するには、部分集合の絶対極性${\displaystyle B}$の${\displaystyle Y}$絶対前極性または前極性とも呼ばれる${\displaystyle B}$そして、次のように表すことができる。${\displaystyle ^{\circ }B}$[ ^{3 ]​}

極地$\displaystyle B^{\circ }}$は必然的に凸集合であり、${\displaystyle 0\in Y}$もし${\displaystyle B}$バランスが取れているなら、$\displaystyle B^{\circ }}$そしてもし${\displaystyle B}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X}$それなら$\displaystyle B^{\circ }}$ベクトル部分空間${\displaystyle Y.}$^{[ 4 ]}

もし${\displaystyle A}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$そしてこれは、${\displaystyle A.}$もし${\displaystyle A\subseteq X}$そして双極性${\displaystyle A}$、と表記される$\displaystyle A^{\circ \circ }}$は、の直交補空間の極です。${\displaystyle A}$つまり、集合${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$同様に、${\displaystyle B\subseteq Y}$そして双極性${\displaystyle B}$は${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

ペアリングが与えられた場合${\displaystyle (X,Y,b),}$新しいペアリングを定義する${\displaystyle (Y,X,d)}$どこ${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle y\in Y}$[ ^{1 ]​}

双対性理論には、ペアリングの定義が常に一貫しているというテーマがあります。${\displaystyle (X,Y,b)}$ペアリングに対応する双対定義がある${\displaystyle (Y,X,d).}$

慣例と定義：ペアリングの定義が与えられた場合${\displaystyle (X,Y,b),}$ペアリングに適用することで、双対定義が得られる。${\displaystyle (Y,X,d).}$これらの慣例は定理にも適用される。

例えば、「${\displaystyle X}$点を区別する${\displaystyle Y}$" (resp, "${\displaystyle S}$は、${\displaystyle Y}$「」が上記のように定義されると、この規約は直ちに「」の双対定義を生成する。${\displaystyle Y}$点を区別する${\displaystyle X}$" (resp, "${\displaystyle S}$は、${\displaystyle X}$「」）。

この次の表記法はほぼ普遍的であり、記号を割り当てることを避けることができます。${\displaystyle d.}$

慣例と表記法：定義とペアリングの表記法${\displaystyle (X,Y,b)}$順序によります${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$（例えば、マッキー位相の定義）${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$の上${\displaystyle X}$) 次に、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y,}$つまり、定義が適用されるのは${\displaystyle (Y,X,d)}$（同じ例を続けると、トポロジー${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$実際にはトポロジーを表す${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$)

別の例として、${\displaystyle X}$は定義され、で表されます。${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$そうすれば、この二重定義は自動的にペアリングに適用されます${\displaystyle (Y,X,d)}$弱トポロジーの定義を得るために${\displaystyle Y}$、そしてこのトポロジーは で表される。${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$それよりも${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$。

仮に${\displaystyle (X,Y,b)}$ペアリングです。${\displaystyle M}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X,}$そして${\displaystyle N}$はベクトル部分空間である${\displaystyle Y}$すると、​${\displaystyle (X,Y,b)}$に${\displaystyle M\times N}$ペアリングは${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$もし${\displaystyle (X,Y,b)}$が双対性である場合、制約が双対性にならない可能性がある（例：${\displaystyle Y\neq \{0\}}$そして${\displaystyle N=\{0\}}$)

この記事では、制限を示す一般的な方法を使用します。${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$による${\displaystyle (M,N,b).}$

仮に${\displaystyle X}$はベクトル空間であり、${\displaystyle X^{\#}}$の代数的双対空間を表す${\displaystyle X}$（つまり、すべての線形汎関数の空間${\displaystyle X}$) 正統的な二元性がある${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$どこ${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$これは評価マップまたは自然または正準双線形関数と呼ばれます。${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ 特に、任意の${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$これは単に別の言い方で${\displaystyle x^{\prime }}$; つまり${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

もし${\displaystyle N}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X^{\#}}$すると、${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$に${\displaystyle X\times N}$これは正準ペアリングと呼ばれ、このペアリングが双対性である場合は、代わりに正準双対性と呼ばれます。明らかに、${\displaystyle X}$常にポイントを区別する${\displaystyle N}$、したがって、正準ペアリングは、次の場合に限り双対システムである。${\displaystyle N}$ポイントを分離します${\displaystyle X.}$ 以下の表記法は、双対性理論において現在ではほぼ普遍的に用いられている。

評価マップは次のように表される。${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$（${\displaystyle c}$） そして${\displaystyle \langle X,N\rangle }$代わりに${\displaystyle (X,N,c).}$

前提：一般的な慣例に従い、${\displaystyle X}$はベクトル空間であり、${\displaystyle N}$は線形汎関数のベクトル空間である${\displaystyle X,}$特に明記されていない限り、それらは標準的なペアリングに関連付けられているとみなされます。${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

もし${\displaystyle N}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X^{\#}}$それから${\displaystyle X}$点を区別する${\displaystyle N}$（または同等に、${\displaystyle (X,N,c)}$（双対性）の場合に限り${\displaystyle N}$点を区別する${\displaystyle X,}$または同等に${\displaystyle N}$合計 (つまり、${\displaystyle n(x)=0}$すべての人々のために${\displaystyle n\in N}$暗示する${\displaystyle x=0}$). ^{[ 1 ]}

仮定する${\displaystyle X}$は連続双対空間を持つ位相ベクトル空間（TVS）である。${\displaystyle X^{\prime }.}$ すると、正準双対性の制約が${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$に${\displaystyle X}$×${\displaystyle X^{\prime }}$ペアリングを定義する${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$そのために${\displaystyle X}$ポイントを分離します${\displaystyle X^{\prime }.}$ もし${\displaystyle X^{\prime }}$ポイントを分離します${\displaystyle X}$（例えば、${\displaystyle X}$がハウスドルフ局所凸空間である場合、このペアリングは双対性を形成する。^{[ 2 ]}

前提: 一般的に行われているように、${\displaystyle X}$TVS の場合、特に指定がない限り、それは標準的なペアリングに関連付けられているとみなされます。${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

以下の結果は、 TVS上の連続線形汎関数が、原点の近傍で有界な線形汎関数と正確に一致することを示している。

ヒルベルト以前の空間${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$は、以下の場合に限り双対ペアリングである。${\displaystyle H}$はベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle H}$寸法がある${\displaystyle 0.}$ここでは、半双線形形式が想定されている。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は、第2座標に関して共役同次であり、第1座標に関して同次である。

• もし${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$それは実ヒルベルト空間である${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$二重システムを形成する。
• もし${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$複素ヒルベルト空間である場合${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$双対システムを形成するのは、${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$もし${\displaystyle H}$非自明な場合${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$内積が双線形ではなく半双線形であるため、ペアリングすら形成されない。^{[ 1 ]}

仮に${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$は、スカラー乗算が通常どおり並置またはドットで表される複素プレヒルベルト空間です。${\displaystyle \cdot .}$ マップを定義する $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ ここで右辺はスカラー乗算を使用する${\displaystyle H.}$ させて${\displaystyle {\overline {H}}}$の複素共役ベクトル空間を表す${\displaystyle H,}$どこ${\displaystyle {\overline {H}}}$は、${\displaystyle (H,+)}$（つまりベクトル加算は${\displaystyle {\overline {H}}}$これはベクトル加算と同じです${\displaystyle H}$）ただし、スカラー乗算では${\displaystyle {\overline {H}}}$地図であること${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$（スカラー乗算の代わりに）${\displaystyle H}$（～を授かっている）。

地図${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$定義される${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$は両方の座標で線形であり^{[注2 ]}、したがって${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$2つのペアを形成する。

• 仮定する${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$そしてすべての${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$させて$${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$それから${\displaystyle (X,Y,b)}$は、次のようなペアリングである。${\displaystyle X}$点を区別する${\displaystyle Y,}$しかし${\displaystyle Y}$点を区別しない${\displaystyle X.}$さらに、${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• させて${\displaystyle 0<p<\infty ,}$${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$（どこ${\displaystyle q}$は、${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$）、 そして${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$それから${\displaystyle (X,Y,b)}$双対システムである。
• させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$同じ体上のベクトル空間である${\displaystyle \mathbb {K} .}$次に双線形形式${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$場所${\displaystyle X\times Y}$そして${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$二元性において。^{[ 2 ]}
• シーケンス空間${\displaystyle X}$そしてそのベータ版${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$双線形写像は次のように定義される。${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}} for${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X^{\beta }}$二重システムを形成する。

サブセット${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$は${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界であるのは、 $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$どこ${\displaystyle b(S,y):=\{b(s,y):s\in S\}.}$

もし${\displaystyle (X,Y,b)}$がペアリングである場合、以下は同等です。

1. ${\displaystyle X}$点を区別する${\displaystyle Y}$;
2. 地図${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$から注入を定義します${\displaystyle Y}$代数双対空間へ${\displaystyle X}$; ^{[ 1 ]}
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ハウスドルフです。^{[ 1 ]}

以下の定理は双対性理論にとって根本的に重要である。なぜなら、それは連続双対空間を完全に特徴づけるからである。${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

したがって、連続双対空間${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$は $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

標準的なペアリングに関して、もし${\displaystyle X}$連続デュアル空間のTVSです${\displaystyle X^{\prime }}$点を分離する${\displaystyle X}$（つまり、${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$これはハウスドルフであり、${\displaystyle X}$は必然的にハウスドルフでもあるので、連続双対空間は${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$は、すべての「ある点での評価」の集合に等しい。${\displaystyle x}$「マップとして${\displaystyle x}$範囲は${\displaystyle X}$（つまり、送信する地図）${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$に${\displaystyle x^{\prime }(x)}$これは一般的に次のように書かれます。 $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$この非常に重要な事実は、強双対位相 などの連続双対空間上の極位相の結果が${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$の上${\displaystyle X^{\prime }}$例えば、オリジナルのTVSにも適用できることが多い${\displaystyle X}$; 例えば、${\displaystyle X}$同一視される${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$トポロジー${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$の上${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$代わりに、上のトポロジーとして考えることができる${\displaystyle X.}$ さらに、もし${\displaystyle X^{\prime }}$より細かいトポロジーを備えている${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$すると、連続双対空間${\displaystyle X^{\prime }}$必然的に含まれる${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$部分集合として。例えば、${\displaystyle X^{\prime }}$は強い双対位相を備えている（したがって、と表記される）。${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$） それから $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ （とりわけ）${\displaystyle X}$例えば、強双対位相によって誘導される部分空間位相を付与される${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$（この位相は強双対位相とも呼ばれ、反射空間の理論、すなわちハウスドルフ局所凸TVSに現れる。）${\displaystyle X}$半反射的であるとは、${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$さらに強い双対位相が成り立つ場合、それは反射的と呼ばれる。${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$の上${\displaystyle X}$に等しい${\displaystyle X}$の元の/開始トポロジー）。

もし${\displaystyle (X,Y,b)}$任意の部分集合に対してペアリングである${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$そしてこのセットは${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-閉じられた; ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^{[ 1 ]}
  • したがって、${\displaystyle S}$は${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉ベクトル部分空間${\displaystyle X}$それから${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• もし${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$は家族です${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉ベクトル部分空間${\displaystyle X}$それから $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$^{[ 1 ]}
• もし${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$は、 の部分集合のファミリーです。${\displaystyle X}$それから ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle X}$規範空間であるならば、正準双対性の下では、${\displaystyle S^{\perp }}$ノルムは閉じている${\displaystyle X^{\prime }}$そして${\displaystyle S^{\perp \perp }}$ノルムは閉じている${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

仮に${\displaystyle M}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X}$そして${\displaystyle (M,Y,b)}$制限を表す${\displaystyle (X,Y,b)}$に${\displaystyle M\times Y.}$ 弱いトポロジー${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$の上${\displaystyle M}$これは部分空間トポロジーと同一であり、${\displaystyle M}$から継承する${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

また、${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$はペア空間（${\displaystyle Y/M^{\perp }}$手段${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$） どこ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$定義される $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

トポロジー${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$は部分空間トポロジーに等しい${\displaystyle M}$から継承する${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$^{[ 5 ]} さらに、もし${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$が二重システムであれば、${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$^{[ 5 ]}

仮に${\displaystyle M}$はベクトル部分空間である${\displaystyle X.}$ それから${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$はペアになった空間で、${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$定義される $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

トポロジー${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$これは、によって誘導される通常の商位相と同一である。${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$の上${\displaystyle X/M.}$^{[ 5 ]}

もし${\displaystyle X}$は局所凸空間であり、${\displaystyle H}$は連続双対空間の部分集合である${\displaystyle X^{\prime },}$それから${\displaystyle H}$は${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-有界であるのは、${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$樽の一部${\displaystyle B}$で${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

以下の結果は、極性トポロジーを定義する上で重要である。

もし${\displaystyle (X,Y,b)}$ペアリングと${\displaystyle A\subseteq X,}$そして：^{[ 1 ]}

1. 極地${\displaystyle A^{\circ }}$の${\displaystyle A}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. 以下のセットの極座標は同一です: (a)${\displaystyle A}$（b）凸包${\displaystyle A}$（c）バランスの取れた船体${\displaystyle A}$（d）${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-閉鎖${\displaystyle A}$（e）${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-凸平衡包の閉鎖${\displaystyle A.}$
3. 双極定理：双極の${\displaystyle A,}$で示される${\displaystyle A^{\circ \circ },}$に等しい${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-凸平衡包の閉鎖${\displaystyle A.}$
   • 特に双極定理は「双対性を扱う上で不可欠なツールである」[ ^{4 ] 。}
4. ${\displaystyle A}$は${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界であるのは、${\displaystyle A^{\circ }}$夢中になっている${\displaystyle Y.}$
5. さらに${\displaystyle Y}$点を区別する${\displaystyle X}$それから${\displaystyle A}$は${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-有界であるのは、それが${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-完全に制限されている。