連続線形拡張

関数解析では、まず の稠密な部分集合上で線型変換を定義し、次に下の定理によって空間全体に連続的に拡張することにより、完全なノルムベクトル空間 上で線型変換を定義すると便利な場合がよくあります。結果として得られる拡張は線型かつ有界のままであり、したがって連続的であるため、連続線型拡張になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$

この手順は連続線形拡張として知られています。

ノルムベクトル空間から完備ノルムベクトル空間へのすべての有界線型変換は、の 完備化からへの有界線型変換に一意に拡張できる。さらに、の演算子ノルムはのノルムがである場合に限り、${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\ワイドハット {L}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\ワイドハット {L}}}$${\displaystyle c.}$

この定理はBLT 定理と呼ばれることもあります。

例えば、リーマン積分の定義を考えてみましょう。閉区間上のステップ関数は 、次の形式の関数です。 ここで、は実数、は集合の指示関数を表します。ノルムでノルムされた、上のすべてのステップ関数の空間（Lp空間を参照）は、次のように表されるノルム付きベクトル空間です。ステップ関数の積分を次のように定義します。関数は、からへの有界線形変換であるため、 ^[1] ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f\equiv r_{1}\mathbf {1} _{[a,x_{1})}+r_{2}\mathbf {1} _{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}\mathbf {1} _{[x_{n-1},b]}}$${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$${\displaystyle a=x_{0}、x_{1}、x_{n-1}、x_{n}=b、}$${\displaystyle \mathbf {1} _{S}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$$${\displaystyle I\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\mathbf {1} _{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}$$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

を、ノルムとともに右から連続する、有界で区分的に連続な関数の空間とします。この空間は で稠密なので、BLT定理を適用して、線型変換をから への有界線型変換に拡張することができます。これにより、 のすべての関数のリーマン積分が定義されます。${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {PC}},}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\widehat {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {PC}},}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\widehat {I}}(f).}$

上記の定理は、 がで稠密である場合、有界線型変換をからへの有界線型変換に拡張するために使用できます。がで稠密でない場合、ハーン-バナッハの定理を使用して、拡張 が存在することを示す場合があります。ただし、拡張は一意ではない可能性があります。 ${\displaystyle T:S\to Y}$${\displaystyle {\bar {S}}=X}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$

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• リード、マイケル、バリー・サイモン（1980年）。現代数理物理学の方法、第1巻：関数解析。サンディエゴ：アカデミック・プレス。ISBN 0-12-585050-6。