円錐（圏論）

数学の一分野である圏論において、関数の錐は、その関数の極限を定義するために使用される抽象概念です。錐は圏論の他の場面でも登場します。

F  : J → CをCの図式とします。正式には、図式はJからCへの関数にすぎません。用語の変更は、 FをC内のオブジェクトと射の族をインデックス付けするものとして考えるという事実を反映しています。カテゴリJは「インデックス カテゴリ」として考えられます。これは、集合論におけるオブジェクトのインデックス付き族の概念と類似して考えるべきでしょう。主な違いは、ここでは射も存在することです。したがって、たとえば、J が離散カテゴリである場合、それは集合論におけるインデックス付き族の概念に最も密接に対応します。もう 1 つの一般的でより興味深い例では、J をスパンとします。J は空のカテゴリと見なすこともできます。その場合、最も単純な錐になります。

N をCの対象とする。NからFへの錐は射の族である 。

${\displaystyle \psi _{X}\colon N\to F(X)\,}$

Jの各オブジェクトXに対して、 Jのすべての射f  : X → Yに対して次の図が可換となる。

これらすべての三角形の（通常は無限の）集合は、頂点Nを持つ円錐の形で（部分的に）描くことができます。円錐 ψ は、頂点Nと底辺F を持つと言われることもあります。

上記の矢印を全て反転させることで、 FからNへの双対錐（コ錐とも呼ばれる）の概念を定義することもできる。明示的に言うと、 FからNへのコ錐は、射の族である。

${\displaystyle \psi _{X}\colon F(X)\to N\,}$

Jの各オブジェクトXに対して、 Jのすべての射f  : X → Yに対して次の図が可換となる:

一見すると、円錐は圏論において少し異常な構成のように見えます。円錐はオブジェクトから関数への写像です(またはその逆)。圏論の精神に則って、円錐を適切なカテゴリー内の射またはオブジェクトとして定義したいと思います。実際、両方を行うことができます。

J を小さなカテゴリとし、 C ^{J を}C内のタイプJの図のカテゴリとします (これは関数カテゴリに過ぎません)。対角関数Δ : C → C ^{J を}次のように定義します。Δ( N ) : J → Cは、 C内のすべてのNに対してNへの定数関数です。

F がCのJ型の図である場合、次のステートメントは同等です。

• ψはNからFへの円錐である
• ψはΔ( N )からFへの自然変換である。
• ( N , ψ) はコンマカテゴリ(Δ ↓ F )内のオブジェクトです。

二重のステートメントも同等です。

• ψはFからNへの余錐である
• ψはFからΔ( N )への自然変換である。
• ( N , ψ) はコンマカテゴリ( F ↓ Δ)内のオブジェクトです。

これらの記述はすべて、定義をそのまま適用することで検証できます。円錐を自然な変換として考えると、円錐はC ^J内の射影写像であり、ソース (またはターゲット) は定数関数であることが分かります。

上記により、Fへの錐のカテゴリをコンマカテゴリ (Δ ↓ F ) として定義できます。錐の射は、このカテゴリ内の射に過ぎません。この同値性は、定数関数 Δ( N )、Δ( M ) 間の自然写像が N と M 間の射に対応するという観察に基づいています。この意味で、対角関数は矢印に対して自明に作用します。同様に、定数関数Δ( N )からFへの自然写像の定義を書き下ろすと、上記と同じ図が得られます。予想どおり、錐 ( N、 ψ) から錐 ( L、 φ) への射は、すべての「明らかな」図が可換となるN → L の射に過ぎません (次のセクションの最初の図を参照)。

同様に、Fからの余錐のカテゴリはコンマカテゴリ ( F ↓ Δ) です。

極限と余極限は普遍錐として定義されます。つまり、他のすべての錐が因数分解できる錐です。L からFへの錐 φ が普遍錐であるのは、 NからFへの他の任意の錐 ψ に対してψ から φ への一意の射が存在する場合です。

同様に、 Fへの普遍錐は、Δ からFへの普遍射（ C ^J内のオブジェクトとして考えられます）、または（Δ ↓  F ）内の終端オブジェクトです。

双対的に、 FからLへの円錐 φ は、 FからNへの他の任意の円錐 ψ に対してφ から ψ への一意の射が存在する場合、普遍円錐となります。

同様に、 Fからの普遍錐はFから Δ への普遍射、または( F ↓ Δ ) の初期オブジェクトです 。

Fの極限はFへの普遍錐であり、余極限はFからの普遍錐です。すべての普遍構成と同様に、普遍錐はすべての図式Fに対して存在するとは限りませんが、存在する場合は、一意の同型（コンマカテゴリ（Δ ↓  F）内）を除いて一意です。

• 逆極限#円錐 – 圏論における構成

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