ビオクトニオン

数学において、複素八元数または複素八元数は、( p,q ) のペアであり、 pとq は双四元数です。

2つの双四元数の積は、双四元数の乗算と双共役p → p*を使用して定義されます。

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*}).}$

二元数z = ( p,q )は共役なz * = ( p *, – q )を持つ。

すると、二項多項式zのノルムN ( z ) はzz * = pp * + qq *となり、8 つの項を持つ複素二次形式になります。

双八元数代数は、単に実八元数の複素化として導入されることもありますが、抽象代数では、複素数体、自明な反転、および二次形式 z ²から始まるケーリー・ディクソン構成の結果です。双八元数の代数は、八元数代数の一例です。

任意の二元数yとzのペアについて、

${\displaystyle N(yz)=N(y)N(z),}$

N は合成を許容する二次形式であり、したがって二元数は合成代数を形成することを示しています。

ガイ・ルースは、ビオクトニオンが例外的な対称領域を表現するためにどのように使用されるかを説明した：^[1]

例外領域の明示的な記述には、複素八元数のケーリー グレーブス代数 O _Cの要素を持つ 3x3 行列が含まれます。ケーリー共役に関してエルミートであるこのような行列の空間には、通常の正方行列の対称化積を自然な方法で一般化する積を使用するジョルダン代数の構造を与えることができます。この代数は、アルバート代数または例外ジョルダン代数として知られています。これは、次元 27 の例外対称領域を記述する自然な場所です。2 番目の例外対称領域 (複素次元 16) は、八元数の要素を持つ 2x1 行列の空間にあります。${\displaystyle H_{3}(O_{C})}$${\displaystyle x\circ y={\tfrac {1}{2}}(xy+yx)}$${\displaystyle M_{2,1}(O_{C})}$

複素八元数はクォークとレプトンの世代を記述するために使われてきた。^[2]

• JD Edmonds (1978) 9次元ベクトル、複素八元数/四元数超複素数、リー群と「現実」世界、Foundations of Physics 8(3-4): 303–11、doi :10.1007/BF00715215、 PhilPapersからのリンク。
• J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008)「複素八元数を用いた角運動量演算子の非結合分解」、アメリカ物理学会での発表
• DG Kabe (1984)「超複雑多変量正規分布」、Metrika 31(2):63−76 MR 744966
• AA エリオヴィッチ & VI サンユク (2010)「ポリノルム」、理論数学物理学162(2) 135−48 MR 2681963