潮汐テンソル

ニュートンの万有引力理論や、一般相対性理論などの様々な相対論的古典重力理論では、潮汐テンソルは

1. （電気的に中性で回転しない）試験粒子の雲の潮汐加速度、
2. 周囲の重力場に浸された小さな物体の潮汐応力。

潮汐テンソルは、微小距離だけ離れた 2 つの試験質量の重力による相対加速度を表します。 成分は、方向の変位によって生成される方向の相対加速度を表します。 ${\displaystyle \Phi _{{a}{b}}}$${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {b}}}$

潮汐の最も一般的な例は、球体（例えば、惑星や月）の周りの潮汐力です。ここでは、孤立した球対称の巨大な物体の外側の重力場の潮汐テンソルを計算します。ニュートンの万有引力の法則によれば、中心質量mから距離rでの加速度aは、

${\displaystyle a=-Gm/r^{2}}$

(計算を簡単にするために、以下の導出では重力定数G を 1 に設定する規則を使用します。微分加速度を計算するには、結果に G を掛けます。)

3次元ユークリッド空間に極座標系のフレームを採用し、半径方向と方位方向の微小変位、およびを考えます。これらにはそれぞれ下付き文字1、2、3が与えられます。 ${\displaystyle \partial _{r},\partial _{\theta },}$${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

このフレームで表現される潮汐テンソルの各成分を直接計算します。まず、中心物体からの距離がhだけ異なる同じ放射状線上にある 2 つの近くの物体にかかる重力を比較します。

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

テンソルについて議論する際には多重線型代数を扱っているので、1 次項のみを保持します。したがって、 です。 半径方向の変位によるまたは方向の加速は発生しないため、他の半径方向の項はゼロです。 ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Phi _{12}=\Phi _{13}=0}$

同様に、同じ半径にあるが、（無限小）距離hだけずれている2人の近くの観測者にかかる重力を比較することができます。基本的な三角法と小角近似を使用すると、力のベクトルは球に接するベクトルだけ異なり、その大きさは ${\displaystyle r=r_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

微小角度近似を使用することで、 の次数のすべての項を無視したので、接線成分は です。また、方位角方向のいずれの変位による半径方向の加速もないため、他の方位角項はゼロです。 ${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$${\displaystyle \Phi _{21}=\Phi _{31}=0}$

この情報を組み合わせると、潮汐テンソルはフレーム成分と対角であることがわかります。 これは、ニュートン物理学における球対称中心力場の クーロン形式特性 です。${\displaystyle \Phi _{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatorname {diag} (-2,1,1)}$

より一般的なケースでは、質量が単一の球対称の中心物体ではないため、潮汐テンソルは重力ポテンシャル から導出でき、ポアソン方程式に従います。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Delta U=4\pi \,\mu }$

ここで、は存在する物質の質量密度、 はラプラス演算子です。この式は、真空溶液では、ポテンシャルが単なる調和関数であることを意味していることに注意してください。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Delta }$

潮汐テンソルはトレースレス部分 ^[1]によって与えられる。

${\displaystyle \Phi _{ab}=J_{ab}-{\frac {1}{3}}\,{J^{m}}_{m}\,\eta _{ab}}$

ヘッセン人の

${\displaystyle J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b}}}}$

ここで、 E ³の標準直交座標とユークリッド計量テンソル

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;-\infty <x,y,z<\infty }$

ベクトル計算の標準的な結果を使用すると、これは極座標球面図などの他の座標図で有効な式に簡単に変換できます。

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle 0<\rho <\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

例として、ヘッセ行列を使って球体の潮汐テンソルを計算することができます。次に、重力ポテンシャルをヘッセ行列に代入してみましょう。上の式を極球座標で有効な式に変換するか、代入する前にポテンシャルを直交座標に変換することができます。2番目の方法を採用すると、 となり、 ${\displaystyle U=-m/\rho }$${\displaystyle U=-m/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\-3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matrix}}\right]}$

極球座標に適合したフレームの回転後、この式は以前の結果と一致します。これを確認する最も簡単な方法は、 をゼロに設定して非対角項と を消滅させ、球対称性を呼び出すことです。 ${\displaystyle y,z}$${\displaystyle \rho =x}$

一般相対論では、潮汐テンソルはリーマン曲率テンソルによって一般化されます。弱場極限では、潮汐テンソルは曲率テンソルの成分によって与えられます。 ${\displaystyle \Phi _{ij}={R}_{i0j0}}$

• 潮汐力
• 応力テンソル

• Sperhake, Ulrich. 「パート II 一般相対性理論講義ノート」(PDF) : 19 。2018 年1 月 13 日閲覧。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=(ヘルプ)が必要です
• Renaud, F.; Boily, CM; Naab, T.; Theis, Ch. (2009 年 11 月 20 日). 「銀河合体における完全圧縮潮汐」. The Astrophysical Journal . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Bibcode :2009ApJ...706...67R. doi :10.1088/0004-637X/706/1/67. S2CID  15831572.
• Duc, Pierre-Alain; Renaud, Florent. 「重力ポテンシャルと潮汐テンソル」. ned.ipac.caltech.edu . Caltech . 2018年1月13日閲覧。