動機（代数幾何学）

代数幾何学において、モチーフ（フランス語ではモチーフとも呼ばれる）は、特異コホモロジー、ド・ラームコホモロジー、エタールコホモロジー、結晶コホモロジーなど、同様に振る舞うコホモロジー理論の膨大な配列を統一するために、1960年代にアレクサンダー・グロタンディークによって提唱された理論である。哲学的には、「モチーフ」は多様体の「コホモロジーの本質」である。

グロタンディークの滑らかな射影多様体に対する定式化では、モチーフは三つ組 であり、 は滑らかな射影多様体、は冪等対応、m は整数であるが、このような三つ組は、から への射影が次数 の対応によって与えられる、グロタンディークの純粋モチーフのカテゴリのコンテキスト外では、ほとんど何の情報も含まない。よりオブジェクトに重点を置いたアプローチは、ピエール・ドリーニュのLe Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Pointsで採​​用されている。その論文では、モチーフは「実現のシステム」、つまり組である。 ${\displaystyle (X,p,m)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\vdash X}$${\displaystyle (X,p,m)}$${\displaystyle (Y,q,n)}$${\displaystyle nm}$

${\displaystyle \left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)}$

モジュールで構成されている

${\displaystyle M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}}$

リングを越えて

${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},}$

それぞれ、様々な比較同型

${\displaystyle \operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }}$

これらのモジュールの明らかな基底変換、フィルタリング、への- 作用、およびの「フロベニウス」自己同型の間には、次のような関係があります。このデータは、滑らかな射影 - 多様体のコホモロジーと、それらが許容する構造および互換性に基づいてモデル化されており、モチーフにどのような情報が含まれているかについてのアイデアを提供します。 ${\displaystyle W,F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M_{\mathbb {A} ^{f}},}$ ${\displaystyle \phi _{p}}$${\displaystyle M_{\operatorname {cris} ,p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

モチーフ理論はもともと、ベッティコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、l進コホモロジー、結晶コホモロジーなど、急速に増加している一連のコホモロジー理論を統一する試みとして予想された。一般的な期待は、次のような方程式が

• [射影直線] = [直線] + [点]
• [射影平面] = [平面] + [直線] + [点]

は、深い意味を持つ、ますます強固な数学的基盤の上に成り立つことができます。もちろん、上記の方程式は、CW 複体の意味では「+」が結合セルに対応し、さまざまなコホモロジー理論の意味で「+」が直和に対応するなど、多くの意味ですでに正しいことが知られています。

別の観点から見ると、動機は、多様体上の有理関数から多様体上の因子、多様体の Chow 群への一般化の連続を継続します。動機は有理同値より多くの種類の同値に関して考慮できるため、一般化は複数の方向に発生します。許容される同値は、適切な同値関係の定義によって与えられます。

純粋動機のカテゴリは、多くの場合、3 つのステップで進行します。以下では、kが任意の体であるChow 動機の場合について説明します。 ${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

のオブジェクトは、単にk上の滑らかな射影多様体です。 射は対応です。 は、 内のグラフに関連付けることができる多様体の射を、上の固定次元のChow サイクルに一般化します。 ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\times Y}$

における射影は次数 0 の対応であるが、任意の次数の対応を記述することは有用である。詳しくは、XとY を滑らかな射影多様体とし、 Xを連結成分に分解することを考える。 ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.}$

ならば、 XからYへのr次の対応は ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),}$

ここで、 は余次元kの Chow サイクルを表します。対応は多くの場合、「⊢」表記法を使用して表されます (例: ) 。任意の および に対して、それらの合成は次のように定義されます。 ${\displaystyle A^{k}(X)}$${\displaystyle \alpha :X\vdash Y}$${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}$${\displaystyle \beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}$

ここで、点は Chow リングの積 (つまり、交差) を表します。

カテゴリの構築に戻ると、次数 0 の対応の合成は次数 0 であることに注意してください。したがって、 の射を次数 0 の対応として定義します。 ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k),}$${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

次の関連付けは関手です（ここではのグラフを表します）。 ${\displaystyle \Gamma _{f}\subseteq X\times Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}}$

カテゴリーが直和（X ⊕ Y  := X ∐ Y）とテンソル積（X ⊗ Y  := X × Y）を持つのと同様、これは前加法カテゴリーである。射の和は次のように定義される。 ${\displaystyle \operatorname {SmProj} (k),}$${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).}$

モチーフへの移行は、の擬似アーベル包絡線を取ることによって行われます。 ${\displaystyle \operatorname {Corr} (k)}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=Split(\operatorname {Corr} (k))}$。

言い換えれば、有効なチョウのモチーフは滑らかな射影多様体Xと冪等対応 α: X ⊢ Xのペアであり、射影は特定のタイプの対応です。

${\displaystyle \operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.}$

合成は上記で定義された対応の合成であり、( X、α )の恒等写像はα  : X ⊢ Xと定義されます。

協会は、

${\displaystyle h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}}$、

ここで、Δ _X  := [ id _X ] はX × Xの対角線を表し、関数です。動機 [ X ] は、多様体X に関連付けられた動機と呼ばれることがよくあります。

意図したとおり、Chow ^eff ( k ) は擬似アーベル圏である。有効動機の直和は次のように与えられる。

${\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),}$

有効動機のテンソル積は次のように定義さ れる。

${\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),}$

どこ

${\displaystyle \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.}$

射のテンソル積も定義できる。f 1  : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) とf ₂  : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) をモチーフの射とする。そして、_γ 1 _∈ A * ⁽ X 1 _× Y 1 ₎とγ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ × Y _{2 ) を}f ₁とf ₂の代表とする。すると、

${\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}}$、

ここでπ _i  : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _iは投影です。

動機に進むために、Chow ^eff ( k )に、テンソル積に関して形式的に逆であるレフシェッツ動機と呼ばれる動機を付加する。その結果、動機はペアではなくトリプルになる。レフシェッツ動機Lは

${\displaystyle L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})}$。

自明なテイト動機と呼ばれる動機1を1  :=h(Spec( k ))と定義すると、エレガントな方程式

${\displaystyle [\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L}$

成立する。

${\displaystyle \mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).}$

レフシェッツ動機のテンソル逆はテイト動機、T  := L ⁻¹として知られています。そして、純粋なチョウ動機のカテゴリを次のように定義します。

${\displaystyle \operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]}$。

動機は3つある

${\displaystyle (X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )}$

射は対応関係によって与えられる

${\displaystyle f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,}$

そして、射の合成は対応の合成から生じます。

意図したとおり、これは剛性擬似アーベルカテゴリ です。${\displaystyle \operatorname {Chow} (k)}$

交差積を定義するには、サイクルが「移動可能」でなければならず、一般的な位置で交差できる必要があります。サイクルの適切な同値関係を選択すると、すべてのサイクルのペアが一般的な位置で交差できる同等のペアを持つことが保証されます。Chow グループは有理同値を使用して定義されますが、他の同値も可能であり、それぞれが異なる種類の動機を定義します。最も強いものから最も弱いものの順に、同値の例を以下に示します。

• 合理的な同等性
• 代数的同値性
• スマッシュ零零同値（ヴォエヴォツキー同値とも呼ばれる）
• ホモロジー同値性（ヴェイユコホモロジーの意味で）
• 数値の等価性

文献では、あらゆる種類の純粋動機を Chow 動機と呼ぶことがありますが、その場合、代数的同値性に関する動機は、代数的同値性を法とする Chow 動機と呼ばれます。

固定された基底体kに対して、混合モチーフのカテゴリは、反変関数を伴う 予想アーベルテンソルカテゴリである。 ${\displaystyle MM(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (k)\to MM(k)}$

全ての多様体（純粋モチーフの場合のように滑らかな射影多様体だけではなく）上の値を取る。これは、

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}$

代数的K理論によって予測されるものと一致し、適切な意味でのChowモチーフのカテゴリ（およびその他の特性）を含みます。このようなカテゴリの存在は、Alexander Beilinsonによって推測されました。

そのようなカテゴリを構築する代わりに、デリーニュは、導出カテゴリに期待される特性を持つカテゴリDMを最初に構築することを提案した。

${\displaystyle D^{b}(MM(k))}$。

DMからMM を取り戻すことは、（推測上の）動機的t 構造によって達成されます。

理論の現状では、適切なカテゴリDMが存在します。このカテゴリはすでに応用に役立っています。ウラジミール・ヴォエヴォツキーによるフィールズ賞を受賞したミルナー予想の証明では、これらの動機が重要な要素として使用されています。

ハナムラ、レヴァイン、ヴォエヴォツキーによる異なる定義があります。ほとんどの場合、それらは同等であることが知られており、以下ではヴォエヴォツキーの定義を示します。このカテゴリには、完全なサブカテゴリとしてチョウのモチーフが含まれており、「正しい」モチーフ コホモロジーが与えられます。ただし、ヴォエヴォツキーは、(整数係数を使用して) モチーフ t 構造を許容しないことも示しています。

ここで特性kのフィールドを固定します。0とし、係数環をとします。k 上の準射影多様体のカテゴリを有限型の分離スキームとして設定します。また、を滑らかな多様体のサブカテゴリとします。 ${\displaystyle A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {Var}}/k}$${\displaystyle {\mathcal {Sm}}/k}$

滑らかな多様体 Xと多様体 Yが与えられたとき、 X上で有限かつYの成分上で射影的な整閉部分スキームをXからYへの素対応と呼びます。次に、 XからYへの素対応の集合を取り、自由A加群を構築できます。その要素は有限対応と呼ばれます。次に、滑らかな多様体をオブジェクトとし、滑らかな対応によって射が与えられる加法カテゴリを形成できます。この「定義」の唯一の重要な部分は、合成を記述する必要があるという事実です。これらは、Chow 環の理論からのプッシュプル式によって与えられます。 ${\displaystyle W\subset X\times Y}$${\displaystyle C_{A}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {SmCor}}}$

素対応の典型的な例は、多様体の射のグラフから得られます。 ${\displaystyle \Gamma _{f}\subset X\times Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

ここから、滑らかな対応の有界複体のホモトピー圏 を形成することができる。ここで滑らかな多様体は と表記される。この圏を、射を含む最小の厚い部分圏（つまり拡大の下で閉じている）に関して 局所化すると、${\displaystyle K^{b}({\mathcal {SmCor}})}$${\displaystyle [X]}$

${\displaystyle [X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]}$

そして

${\displaystyle [U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}$

すると、有効幾何学的モチーフの三角形化カテゴリを形成できます。最初のクラスの射は多様体の局所的な-ホモトピーであるのに対し、2番目のクラスは幾何学的混合モチーフのカテゴリにマイヤー-ヴィートリス列を与えることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

また、このカテゴリは多様体の積によって与えられるテンソル構造を持つことに注意してください。 ${\displaystyle [X]\otimes [Y]=[X\times Y]}$

三角形構造を使って三角形を作ることができる

${\displaystyle \mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}}$

を正準写像 から定義します。これをテイト動機と呼び、これを設定しましょう。反復テンソル積を取ることで を構築できます。有効な幾何学的動機M がある場合、と表します。さらに、これは関数的に動作し、三角形の関数を形成します。最後に、有効な幾何学的混合動機Mとテイト動機によるねじれを表す整数nのペアのカテゴリとして、幾何学的混合動機のカテゴリを定義できます。ホム群は、余極限です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle A(1)=\mathbb {L} [-2]}$${\displaystyle A(k)}$${\displaystyle M(k)}$${\displaystyle M\otimes A(k).}$${\displaystyle {\mathcal {DM}}_{gm}}$${\displaystyle (M,n)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}$

モチーフには、簡単にアクセスできる基本的な例がいくつかあります。その 1 つが、モチーフのカテゴリの構築に使用される係数に応じて、、、または と表記される Tate モチーフです。これらは、アーベル多様体に加えて「他の部分」を形成するため、モチーフのカテゴリの基本的な構成要素です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$${\displaystyle A(n)}$

曲線のモチーフは比較的簡単に明示的に理解できます。チョウ環は任意の滑らかな射影曲線にのみ適用されるため、ヤコビアンはモチーフのカテゴリに埋め込まれます。 $${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$${\displaystyle C}$

数学でよく使われる手法は、特定の構造を持つオブジェクトを、その構造を保存する射影を持つカテゴリを導入することによって研究することです。次に、与えられた 2 つのオブジェクトが同型である場合を尋ね、各同型クラスで「特に優れた」代表を求めることができます。代数多様体の分類、つまり代数多様体の場合にこのアイデアを適用することは、オブジェクトの高度に非線形な構造のため、非常に困難です。双有理同型までの多様体を研究するという緩やかな質問は、双有理幾何学の分野につながりました。この問題を扱う別の方法は、与えられた多様体Xに、より線形な性質を持つオブジェクト、つまり線型代数の手法に馴染みのあるオブジェクト、たとえばベクトル空間を関連付けることです。この「線形化」は通常、コホモロジーという名前で呼ばれます。

多様体のさまざまな構造的側面を反映する重要なコホモロジー理論がいくつかあります。(部分的に推測的な)モチーフ理論は、代数多様体を線型化する普遍的な方法を見つける試みです。つまり、モチーフはこれらすべての特定のコホモロジーを具体化するコホモロジー理論を提供すると考えられています。たとえば、曲線の興味深い不変量である滑らかな射影曲線Cの種数は整数であり、これはCの最初のベッティ コホモロジー群の次元から読み取ることができます。したがって、曲線のモチーフには種数情報が含まれている必要があります。もちろん、種数はかなり粗い不変量であるため、Cのモチーフはこの数だけではありません。

各代数多様体Xには対応するモチーフ [ X ] があるため、モチーフの最も単純な例は次のとおりです。

• [ポイント]
• [射影直線] = [点] + [直線]
• [射影平面] = [平面] + [直線] + [点]

これらの「方程式」は、ド・ラーム・コホモロジーやベッティ・コホモロジー、l進コホモロジー、任意の有限体上の点の数、局所ゼータ関数の乗法表記など、多くの状況で成立します。

一般的な考え方は、1 つのモチーフは、形式的な性質が良好な任意の合理的なコホモロジー理論で同じ構造を持つというものです。特に、任意のヴェイユ コホモロジー理論はそのような性質を持ちます。ヴェイユ コホモロジー理論にはさまざまなものがあり、さまざまな状況に適用され、さまざまなカテゴリの値を持ち、問題の多様体のさまざまな構造的側面を反映します。

• ベッティコホモロジーは複素数（の部分体）上の多様体に対して定義され、整数上で定義されるという利点があり、位相不変量である。
• ド・ラームコホモロジー（ 上の多様体に対して）は混合ホッジ構造を伴うため、微分幾何不変量である。${\displaystyle \mathbb {C} }$
• l進コホモロジー（特性≠lの任意の体上）は標準ガロア群作用を持ち、つまり（絶対）ガロア群の表現に値を持つ
• 結晶コホモロジー

これらのコホモロジー理論はすべて、マイヤー・ヴィートリス列の存在、ホモトピー不変性、Xとアフィン直線の積など、共通の性質を持っています。さらに、それらは比較同型によって結び付けられており、たとえば、有限係数を持つ上の滑らかな多様体Xのベッティコホモロジーは、有限係数を持つl進コホモロジーと同型です。 ${\displaystyle H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),}$${\displaystyle H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

動機理論は、これらすべての特定のコホモロジーとその構造を具体化し、次のような「方程式」の枠組みを提供する普遍的な理論を見つけようとする試みである。

[射影直線] = [直線]+[点]。

特に、任意の多様体Xのモチーフを計算すると、いくつかの Weil コホモロジー理論H ^* _Betti ( X )、H ^* _DR ( X ) など に関するすべての情報が直接得られます。

グロタンディークに始まり、人々は長年にわたってこの理論を正確に定義しようと試みてきました。

モチーフコホモロジー自体は、代数K理論による混合モチーフの創造以前に発明されていた。上記のカテゴリは、それを（再）定義するための巧妙な方法を提供している。

${\displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),}$

ここで、nとm は整数であり、Tate オブジェクトのm番目のテンソルのべき乗です。これは、Voevodsky の設定では、複素数を -2 シフトしたものです。[n] は、三角カテゴリでの 通常のシフトを意味します。${\displaystyle \mathbb {Z} (m)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (1),}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt} }$

標準的な予想は、代数的サイクルとヴェイユコホモロジー理論の相互作用の観点から最初に定式化されました。純粋動機のカテゴリは、これらの予想にカテゴリ的なフレームワークを提供します。

標準的な予想は一般に非常に困難であると考えられており、一般的な場合には未解決である。グロタンディークはボンビエリとともに、標準的な予想が成り立つと仮定して、ヴェイユ予想（これはデリーニュによって別の方法で証明されている）の条件付き（非常に短く簡潔な）証明を提示し、動機的アプローチの深さを示した。

たとえば、代数的サイクルπ ⁱ ⊂ X × Xが存在し、標準射影H ^* ( X ) → H ⁱ ( X ) ↣ H ^* ( X ) (任意のヴェイユコホモロジーHに対して) を誘導すると述べるキュネス標準予想は、すべての純粋モチーフM が重みnの次数付き断片に分解される: M​​ = ⨁ Gr _n Mを意味します。重みという用語は、たとえば滑らかな射影多様体のド・ラームコホモロジーの同様の分解に由来しています。ホッジ理論を参照してください。

予想 Dは、数値的同値性とホモロジー的同値性の一致を述べており、ホモロジー的同値性および数値的同値性に関して純粋モチーフの同値性を意味します。(特に、前者のモチーフのカテゴリは、ヴェイユコホモロジー理論の選択に依存しません)。Jannsen (1992) は、次の無条件結果を証明しました。体上の (純粋) モチーフのカテゴリは、選択された同値関係が数値的同値性の場合にのみ、アーベルかつ半単純です。

ホッジ予想 は、動機 を使って簡潔に再定式化できます。つまり、の部分体上の有理係数を持つ任意の純粋動機をそのホッジ構造に写像するホッジ実現が完全関数(有理ホッジ構造) である場合に限り、ホッジ予想は成立します。ここで純粋動機とは、ホモロジー同値性に関する純粋動機を意味します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }}$

同様に、テイト予想は次と同等です。いわゆるテイト実現、すなわち ℓ 進コホモロジーは、半単純表現で値を取る完全な関数（ホモロジー同値性までの純粋動機、基底体kの絶対ガロア群の連続表現）です。（ホッジ類似体の場合、後半部分は自動的です）。 ${\displaystyle H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))}$

（予想的）モティヴィックガロア群を動機付けるために、体kを固定し、関手

kの有限可分拡大K → kの絶対ガロア群の（連続）推移作用を持つ空でない有限集合

これはK をkの代数閉包へのKの (有限) 埋め込み集合に写像します。ガロア理論では、この関手はカテゴリの同値であることが示されています。体は 0 次元であることに注意してください。この種の動機はアルティン動機と呼ばれます。上記のオブジェクトを -線形化することにより、上記を表現する別の方法は、アルティン動機がガロア群の作用を伴う有限 -ベクトル空間に同値であると言うことです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

モチーフ・ガロア群の目的は、上記の同値性を高次元多様体に拡張することです。これを行うために、タナキアン・カテゴリー理論（タナカ・クラインの双対性に遡りますが、純粋に代数的な理論です）の技術的な仕組みが使用されます。その目的は、代数的サイクル理論における未解決の問題であるホッジ予想とテイト予想の両方に光を当てることです。ヴェイユ・コホモロジー理論Hを固定します。これは、M _num（数値同値性を使用した純粋モチーフ）から有限次元-ベクトル空間への関数を提供します。前者のカテゴリーはタナキアン・カテゴリーであることが示されます。ホモロジー同値性と数値同値性の同値性、つまり上記の標準予想D を仮定すると、関数Hは正確な忠実なテンソル関数です。 Tannakian形式論を適用すると、M _{num は}、モティヴィックガロア群として知られる 代数群Gの表現のカテゴリと同等であると結論付けられます。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

モチーフ群とモチーフ理論の関係は、マンフォード-テイト群とホッジ理論の関係と同じです。もう一度大まかに言えば、ホッジ予想とテイト予想は不変理論の一種です(正しい定義を設定すれば、道徳的に代数サイクルである空間は、群の下での不変性によって選択されます)。モチーフ群には、周囲の表現理論があります。 (ガロア群ではありませんが、テイト予想とエタールコホモロジー上のガロア表現の観点から、ガロア群の像、より正確にはリー代数を予測します。)

• ピリオドの輪
• モチーフコホモロジー
• 転送付きプレシェーブ
• 混合ホッジモジュール
• 動機のL関数

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• Q についての考察 ( 1 / 4 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (1/4)} : 楕円曲線上の算術スピン構造
• 「Fractional Motives」とは何ですか?

• ウィキクォートにおける動機（代数幾何学）に関する引用