転送付きプレシェーブ

代数幾何学において、転移を伴う前層とは、大まかに言えば、コホモロジー理論のように、プッシュフォワード、つまり「転移」写像を伴う前層です。正確には、定義により、有限対応の圏（以下で定義）からアーベル群の圏への反変加法関手です（圏論では、「前層」は反変関手の別名です）。

転送を伴う前層Fが滑らかな分離スキームのサブカテゴリに制限されている場合、それはスキームの射からだけでなく、 XからYへの有限対応からも来る追加のマップを持つカテゴリ上の前層として見ることができる。${\displaystyle F(Y)\to F(X)}$

転送を伴う前層F は、任意のXに対してであるとき、-ホモトピー不変であるといわれます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle F(X)\simeq F(X\times \mathbb {A} ^{1})}$

たとえば、チャウ群とモティヴィックコホモロジー群は、転送を伴う前層を形成します。

を代数スキーム（つまり、体上の有限型で分離したもの）とし、が滑らかであるとする。このとき、基本対応は、射影が有限かつ射影的であるような、Xの連結成分である既約な閉部分スキームである。 ^{[1] を}XからYへの基本対応によって生成される自由アーベル群とする。このとき、 の元は有限対応と呼ばれる。 ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W\subset X_{i}\times Y}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Supp} (W)\to X_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}$

によって表される有限対応のカテゴリは、オブジェクトが体上の滑らかな代数スキームであるカテゴリです。ここで、Hom 集合は次のように与えられます。 また、合成は交差理論で次のように定義されます。からへの基本対応とからへの基本対応が与えられている場合、それらの合成は次のようになります。 ${\displaystyle コル}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=\operatorname {Cor} (X,Y)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \beta \circ \alpha =p_{{13},*}(p_{12}^{*}\alpha \cdot p_{23}^{*}\beta )}$

ここで、 は交差積およびなどを表します。各 Hom 集合はアーベル群である ため、カテゴリは加法カテゴリであることに注意してください。${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle p_{12}:X\times Y\times Z\to X\times Y}$${\displaystyle コル}$${\displaystyle \operatorname {Cor} (X,Y)}$

このカテゴリには、次の意味で、滑らかな代数スキームのカテゴリがサブカテゴリとして含まれます。オブジェクトをそれ自体に送信し、射を のグラフに送信する忠実な関手が存在します。 ${\displaystyle {\textbf {Sm}}}$${\displaystyle {\textbf {Sm}}\to Cor}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$

モノイド演算としてスキームの積をとると、カテゴリは対称モノイドカテゴリになります。 ${\displaystyle コル}$

さまざまな理論の根底にある基本的な概念は、転送を伴う前層である。これらは反変加法関数である。

${\displaystyle F:{\text{Cor}}_{k}\to {\text{Ab}}}$

そして、それらに関連するカテゴリは通常 と表記されます。または、基礎となる体が理解されている場合は単に と表記されます。このセクションの各カテゴリはアーベルカテゴリであるため、ホモロジー代数を実行するのに適しています。 ${\displaystyle \mathbf {PST} (k)}$${\displaystyle \mathbf {PST} }$

これらは、任意のスキームへの制約がエタール層であるような、転送を伴う前層として定義される。つまり、がエタール被覆であり、が転送を伴う前層である場合、シーケンス${\displaystyle X}$${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle 0\to F(X){\xrightarrow {\text{diag}}}F(U){\xrightarrow {(+,-)}}F(U\times _{X}U)}$

は正確であり、同型性がある

${\displaystyle F(X\coprod Y)=F(X)\oplus F(Y)}$

任意の固定された滑らかなスキームの場合。 ${\displaystyle X,Y}$

転送を伴うニスネビッチ層にも同様の定義があり、そこではエタール位相がニスネビッチ位相と入れ替わります。

単位層は転送を伴う前層である。任意の対応は上の有限次写像を誘導するため、誘導射が存在する。${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}$${\displaystyle W\subset X\times Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}(Y)\to {\mathcal {O}}^{*}(W){\xrightarrow {N}}{\mathcal {O}}^{*}(X)}$^[2]

これは転送を伴う前束であることを示しています。

転送を伴う前層の基本例の1つは、表現可能な関数によって与えられます。滑らかなスキームが与えられた場合、を送信する転送を伴う前層が存在します。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle U\mapsto {\text{Hom}}_{Cor}(U,X)}$

の転送に関連する前層はと表記されます。 ${\displaystyle {\text{Spec}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

基本的な例の別のクラスは、を伴う尖頭スキームから来ます。この射は、コカーネルが で示される射を誘導します。構造射から分割があるため、誘導マップ があり、したがって となります。 ${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}$${\displaystyle x_{*}:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X,x)}$${\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{tr}(X,x)}$

と表記される尖端スキームに関連付けられた表現可能な関数が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=(\mathbb {A} ^{1}-\{0\},1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m})}$

有向スキームの有限族が与えられた場合、転送を伴う関連する前層が存在し、これはそれらのスマッシュ積から^[2]とも表記される。これは、${\displaystyle (X_{i},x_{i})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}((X_{1},x_{1})\wedge \cdots \wedge (X_{n},x_{n}))}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n})}$

${\displaystyle {\text{coker}}\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times {\hat {X}}_{i}\times \cdots \times X_{n}){\xrightarrow {id\times \cdots \times x_{i}\times \cdots \times id}}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times X_{n})\right)}$

例えば、2つの尖ったスキームが与えられた場合、関連する前層があり、その転送は余核の${\displaystyle (X,x),(Y,y)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X\wedge Y)}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)\oplus \mathbb {Z} _{tr}(Y){\xrightarrow {\begin{bmatrix}1\times y&x\times 1\end{bmatrix}}}\mathbb {Z} _{tr}(X\times Y)}$^[3]

これは、同値関係が を除いた位相幾何学におけるスマッシュ積に類似しています。 ${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)}$${\displaystyle X\times \{y\}\cup \{x\}\times Y}$

尖端空間の有限のくさびは と表記されます。この構成の一例は で、これはモティヴィックコホモロジーで使用されるモティヴィック複体の定義で使用されます。 ${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X^{\wedge q})=\mathbb {Z} _{tr}(X\wedge \cdots \wedge X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})}$${\displaystyle \mathbb {Z} (q)}$

転送を伴う前層は、射影射影があらゆる滑らかなスキームに対して同型を誘導する場合、ホモトピー不変である。単体ホモロジーの類似物を使用して、転送を伴うすべての前層に対してホモトピー不変層^[2]を関連付ける構成がある。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle p:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X}$${\displaystyle p^{*}:F(X)\to F(X\times \mathbb {A} ^{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$

計画がある

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1}}\right)}$

は共単体図 を与え、ここで射はで与えられる。つまり、${\displaystyle \Delta ^{*}}$${\displaystyle \partial _{j}:\Delta ^{n}\to \Delta ^{n+1}}$${\displaystyle x_{j}=0}$

${\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1)}}\to {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1,x_{j})}}}$

は誘導射 を与える。すると、転送 を持つ前層 には、転送 を持つ前層の関連複体が存在し、${\displaystyle \partial _{j}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C_{*}F}$

${\displaystyle C_{i}F:U\mapsto F(U\times \Delta ^{i})}$

そして誘導連鎖射を持つ

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\partial _{i}^{*}:C_{j}F\to C_{j-1}F}$

は、転送を伴う前層 の複合体を与えます。転送を伴うホモロジー不変な前層はホモトピー不変です。特に、 は、に関連付けられた転送を伴う普遍ホモトピー不変な前層です。 ${\displaystyle H_{i}(C_{*}F)}$${\displaystyle H_{0}(C_{*}F)}$${\displaystyle F}$

と記します。射影の同型である誘導全射が存在します。 ${\displaystyle H_{0}^{sing}(X/k):=H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X))({\text{Spec}}(k))}$${\displaystyle H_{0}^{sing}(X/k)\to {\text{CH}}_{0}(X)}$${\displaystyle X}$

のゼロ次ホモロジーは、ホモトピー同値性が次のように与えられる場合です。および となるような射が存在する場合、2 つの有限対応は -ホモトピー同値です。 ${\displaystyle H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(Y))(X)}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{Cor}(X,Y)/\mathbb {A} ^{1}{\text{ homotopy}}}$${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle h:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X}$${\displaystyle h|_{X\times 0}=f}$${\displaystyle h|_{X\times 1}=g}$

ヴォエヴォツキーの混合モチーフのカテゴリでは、に関連付けられた モチーフはにおけるのクラスです。 の基本的なモチーフ複合体の1つはであり、 のクラスによって定義されます。${\displaystyle M(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle DM_{Nis}^{eff,-}(k,R)}$${\displaystyle \mathbb {Z} (q)}$${\displaystyle q\geq 1}$

${\displaystyle \mathbb {Z} (q)=C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[-q]}$^[2]

のようなアーベル群に対しては、モティヴィック複体が存在する。これらは、次のように定義されるモティヴィックコホモロジー群を与える。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }$${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,\mathbb {Z} (q))}$

は、モティヴィック複体がのザリクシ層の複体に制限されるためである。^{[2]これらは、}重みの - 番目のモティヴィックコホモロジー群と呼ばれる。これらは、任意のアーベル群 に拡張することもできる。${\displaystyle \mathbb {Z} (q)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,A)=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,A(q))}$

重みの係数を持つモティビックコホモロジーを与える。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle q}$

明示的に分析できる特殊なケースがいくつかあります。つまり、 の場合です。これらの結果は、Clay Math の本の第 4 講義に記載されています。 ${\displaystyle q=0,1}$

この場合、これは（17ページ上部）と準同型であり、 ^[2]したがって重みコホモロジー群は${\displaystyle \mathbb {Z} (0)\cong \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge 0})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle H^{p,0}(X,\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} (X)&{\text{if }}p=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

オープンカバーな ので${\displaystyle \mathbb {Z} (X)={\text{Hom}}_{Cor}(X,{\text{Spec}}(k))}$

この場合はより多くの作業が必要ですが、最終結果はと の間の準同型です。これにより、2つのモティヴィックコホモロジー群が得られます。${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}[-1]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{0}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\mathcal {O}}^{*}(X)\\H^{2,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\text{Pic}}(X)\end{aligned}}}$

ここで、中間のコホモロジー群はザリスキコホモロジーです。

一般に、完全体 上では、を...${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {Z} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})}$

${\displaystyle C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))\simeq C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[n]}$

したがって

${\displaystyle \mathbb {Z} (n)\simeq C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))[-2n]}$

これは、一連の準同型とともに分割技法を使用して見つけられます。詳細は、Clay Math ブックの講義 15 に記載されています。

• 相対サイクル
• モチーフコホモロジー
• 複雑な動機（数学）
• エタールトポロジー
• ニスネヴィッチ位相幾何学

• https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf+with+transfer