シュワルツ積分公式

数学の一分野である複素解析において、ヘルマン・シュワルツにちなんで名付けられたシュワルツの積分公式は、虚定数までの正則関数をその実部の境界値から 復元することを可能にします。

fを閉単位円板上の正則関数とする{z∈C  ||  z | ≤1  } 。すると

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|\zeta |=1}{\frac {\zeta +z}{\zeta -z}}\operatorname {Re} (f(\zeta ))\,{\frac {d\zeta }{\zeta }}+i\operatorname {Im} (f(0))}$

すべての | z | < 1 に対して。

fを 閉上 半平面{ z∈C  |Im( z )≥0}上の正則関数とし、あるα>0に対して^|zαf ( z ) |が 閉上半平面上で有界であるとする。すると  

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\zeta ,0)}{\zeta -z }}\,d\zeta ={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (f)(\zeta +0i )}{\ゼータ -z}}\,d\ゼータ }$

すべてのIm( z )>0に対して。

単位ディスクのバージョンと比較すると、この式では積分に任意の定数が追加されていないことに注意してください。これは、追加の減衰条件によってこの式の条件がより厳しくなるためです。

この式はuに適用される ポアソン積分公式から導かれる：^{[1] [2]}

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(e^{i\psi })\operatorname {Re} {e^ {i\psi }+z \over e^{i\psi }-z}\,d\psi \qquad {\text{for }}|z|<1.}$

等角写像を用いることで、この式を任意の単連結な開集合に一般化することができます。

• アルフォース、ラース V. (1979)、複素解析、第 3 版、McGraw-Hill、ISBN  0-07-085008-9
• Remmert、Reinhold (1990)、『複素関数の理論』、第 2 版、Springer、ISBN 0-387-97195-5 
• Saff, EB、および AD Snider (1993)、「数学、科学、工学のための複素解析の基礎」、第 2 版、Prentice Hall、ISBN 0-13-327461-6