ライプニッツ演算子

数理論理学の一分野である抽象代数論理学において、ライプニッツ演算子は演繹体系を分類するために使用されるツールであり、演繹体系は正確な技術的定義を持ち、多数の論理を捕捉する。ライプニッツ演算子は、この分野の創始者の2人であるヴィム・ブロックとドン・ピゴッツィによって、ブール代数を古典的な命題計算に関連付ける有名なリンデンバウム・タルスキー過程を抽象化し、それを可能な限り幅広い種類の文論理に適用できるようにする手段として導入された。これは、その宇宙に対する帰結演算を伴う項代数として認識される、与えられた文論理の与えられた理論に、理論と互換性のある代数上の 最大の合同を割り当てる演算子である。

この記事では、古典的な命題計算の特殊なケースでライプニッツ演算子を紹介し、次にそれを任意の文論理に適用される一般的な概念に抽象化し、最後に抽象代数論理の理論での使用による最も重要な結果のいくつかをまとめます。

させて

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\langle {\rm {Fm}},\vdash _{\mathcal {S}}\rangle }$

は古典的な命題計算を表す。古典的なリンデンバウム・タルスキ過程によれば、 の理論が与えられたとき、 が の式の集合上の二項関係を表す場合、 は次のように定義される。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \equiv_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \phi \equiv _{T}\psi }$もし、もし、${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \psi ,}$

ここで、 は通常の古典的な命題同値結合子を表し、 は 式代数上の合同であることがわかります。さらに、商は ブール代数であり、すべてのブール代数はこのように形成できます。 ${\displaystyle \leftrightarrow}$${\displaystyle \equiv_{T}}$${\displaystyle {\rm {Fm}}/{\equiv _{T}}}$

したがって、ブール代数の多様体は、代数論理の用語では、古典的な命題計算の同等の代数的意味論（代数的対応物）であり、項代数をそれらの特別な種類の合同によって適切に商することによって形成されるすべての代数のクラスです。

条件に注意してください

${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \psi }$

定義は 条件と同等である ${\displaystyle \phi \equiv _{T}\psi }$

すべての式について、の場合に限ります。${\displaystyle \chi}$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi \leftrightarrow \chi }$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\psi \leftrightarrow \chi }$

ここで、恣意的な文法的論理に移ります

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\langle {\rm {Fm}},\vdash _{\mathcal {S}}\rangle ,}$

理論 が与えられた場合、に関連するライプニッツ合同は で表され、 はすべての に対して で定義されます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \オメガ (T)}$${\displaystyle \phi ,\psi \in {\rm {Fm}}}$

${\displaystyle \phi \オメガ (T)\psi }$

変数を含み 、リスト内の他の変数も含むすべての式、および と同じ長さのリストを形成するすべての式について、次の式が成り立つ 場合のみ、 ${\displaystyle \alpha (x,{\vec {y}})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\vec {\chi }}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\alpha (\phi ,{\vec {\chi }})}$の場合に限ります。${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\alpha (\psi ,{\vec {\chi }})}$

この二項関係は、数式代数上の合同関係であり、実際には、かつならば、 も成り立つという意味で、理論 と両立する数式代数上の最大の合同として特徴付けられる場合もあります。この合同は、任意の文論理の文脈で上で説明した従来のリンデンバウム-タルスキ過程で使用される合同と同じ役割を果たします。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \phi \オメガ (T)\psi }$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\phi }$${\displaystyle T\vdash _{\mathcal {S}}\psi }$

しかし、任意の文論理の場合、異なる理論上のこれらのライプニッツ合同による項代数の商が、文論理の自然な代数的対応物を形成するクラスのすべての代数を生成するわけではありません。この現象は「良い」論理の場合にのみ発生し、抽象代数論理の主な目標の 1 つは、この意味での論理が「良い」という漠然とした概念を数学的に正確にすることです。

ライプニッツ演算子

${\displaystyle \オメガ}$

与えられた論理の理論をライプニッツ合同に マッピングする演算子である。${\displaystyle T}$

${\displaystyle \オメガ (T),}$

理論と関連している。したがって、正式には、

${\displaystyle \Omega :\mathrm {Th} ({\mathcal {S}})\rightarrow {\rm {Con}}({\rm {Fm}})}$

コレクションからのマッピングです

${\displaystyle {\rm {Th}}({\mathcal {S}})}$文論理の理論の

${\displaystyle {\mathcal {S}}}$コレクションへ

${\displaystyle {\rm {Con}}({\rm {Fm}})}$

文論理の 公式代数上のすべての合同。${\displaystyle {\rm {Fm}}}$

ライプニッツ演算子と、特定の文論理で満たされる場合と満たされない場合があるそのさまざまな特性の研究により、抽象代数階層または文論理のライプニッツ階層として知られるものが生まれました。論理は、論理とその代数的対応物の間に存在する結びつきの強さに応じて、この階層のさまざまなレベルに分類されます。

論理を分類するのに役立つライプニッツ演算子の特性は、単調性、単射性、連続性、逆置換による可換性です。たとえば、階層内で最も広いクラス (つまり、階層の最下部にあり、他のすべてのクラスを含むクラス) を形成する原代数論理は、その理論におけるライプニッツ演算子の単調性によって特徴付けられます。その他の注目すべきクラスは、同値論理、弱代数化可能論理、代数化可能論理などによって形成されます。

範疇的抽象代数論理の文脈では、ライプニッツ演算子の一般化があり、これにより、以前は文論理フレームワークでのみ適用可能だったさまざまな手法を、π {\displaystyle \pi } -制度として形式化された論理に適用することが可能になります。-制度フレームワークは、言語に複数のシグネチャと量指定子を組み込むことができ、統語論に基づかない論理を処理するメカニズムを提供するため、文論理のフレームワークよりも範囲がかなり広くなります。 ${\displaystyle \pi}$

• D. Pigozzi (2001)。「抽象代数論理」。M. Hazewinkel (編)。数学百科事典: 補足第 3 巻。Springer。pp. 2–13。ISBN 1-4020-0198-3。
• Font, JM、Jansana, R.、Pigozzi, D.、(2003)、抽象代数論理の調査、Studia Logica 74: 13–79。
• ヤヌシュ・チェラコウスキー (2001)。原代数論理。スプリンガー。ISBN 978-0-7923-6940-0。

• スタンフォード哲学百科事典のラモン・ジャンサナによる「代数的命題論理」の項目